Aufgabe 4094

1. Teilaufgabe:

Es liegt eine Gleichung 4-ten Grades mit 5 Unbekannten vor. Wir benötigen daher 5 Gleichungen. 4 Gleichungen erhalten wir, indem wir die gegebenen Punkte A, B, C und D in die Funktionsgleichung einsetzen. Die 5. Gleichung erhalten wir, weil laut Angabe im Punkt C die Tangente horizontal, also die 1. Ableitung der Funktion bzw. k gleich null sein muss. 

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\\ f'\left( x \right) = 4 \cdot a \cdot {x^3} + 3 \cdot b \cdot {x^2} + 2 \cdot c \cdot x + d\\ \\ Gl.1:A\left( {0\left| 0 \right.} \right):f\left( 0 \right) = 0\\ Gl.2:B\left( {1,1\left| {2,2} \right.} \right):f\left( {1,1} \right) = 2,2\\ Gl.3:C\left( {9,4\left| {5,1} \right.} \right):f\left( {9,4} \right) = 5,1\\ Gl.4:D\left( {12\left| 0 \right.} \right):f\left( {12} \right) = 0\\ Gl.5:C = HP\left( {9,4\left| {5,1} \right.} \right):f'\left( {9,4} \right) = 0 \end{array}\)

Wir können somit 4 Gleichungen in f und 1 Gleichung in f‘ für die 5 Unbekannten a, b, c, d und e wie folgt anschreiben:

\(\begin{array}{l} Gl.1:f\left( {x = 0} \right) = a \cdot {0^4} + b \cdot {0^3} + c \cdot {0^2} + d \cdot 0 + e = 0\\ Gl.2:f\left( {x = 1,1} \right) = a \cdot {1,1^4} + b \cdot {1,1^3} + c \cdot {1,1^2} + d \cdot 1,1 + e = 2,2\\ Gl.3:f(x = 9,4) = a \cdot {9,4^4} + b \cdot {9,4^3} + c \cdot {9,4^2} + d \cdot 9,4 + e = 5,1\\ Gl.4:f(x = 12) = a \cdot {12^4} + b \cdot {12^3} + c \cdot {12^2} + d \cdot 12 + e = 0\\ Gl.5:f'(x = 9,4) = 4 \cdot a \cdot {9,4^3} + 3 \cdot b \cdot {9,4^2} + 2 \cdot c \cdot 9,4 + d = 0 \end{array}\)

Komprimiert dargestellt:

\(\begin{array}{l} e = 0\\ a \cdot {1,1^4} + b \cdot {1,1^3} + c \cdot {1,1^2} + d \cdot 1,1 + e = 2,2\\ a \cdot {9,4^4} + b \cdot {9,4^3} + c \cdot {9,4^2} + d \cdot 9,4 + e = 5,1\\ a \cdot {12^4} + b \cdot {12^3} + c \cdot {12^2} + d \cdot 12 + e = 0\\ 4 \cdot a \cdot {9,4^3} + 3 \cdot b \cdot {9,4^2} + 2 \cdot c \cdot 9,4 + d = 0 \end{array}\)

2. Teilaufgabe:

Die Berechnung der Koeffizienten erfolgt mittels Technologieeinsatz

GeoGebra:

Wir nützen die Vereinfachung dass e=0 gilt und geben jeder der 4 verbleibenden Gleichungen in die CAS Ansicht ein. Danach wählen wir alle 4 Gleichungen aus und klicken auf das 8 Symbol für "numerische Lösung"

Bild

Copy-Pase Code für Wolfram Alpha:

solve (1.1^(4)a+1.1^(3)b+1.1^(2)c+1.1d=2.2) and (9.4^(4)a+9.4^(3)b+9.4^(2)c+9.4d=5.1) and (12^(4)a+12^(3)b+12^(2)c+12d=0) and (3322.336a+265.08b+18.8c+d=0)

Die Lösung lautet:

\(\begin{array}{l} a \approx - 0,0066295\\ b \approx 0,14613\\ c \approx - 1,0476\\ d \approx 2,9844\\ e = 0 \end{array}\)