Grad einer Gleichung

Gleichungen

Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet.

Gleichungssystem

Mehrere zusammengehörende Gleichungen bezeichnet man als Gleichungssystem. Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden. Wenn man eine Lösung gefunden hat, empfiehlt sich die Probe durch einsetzen der Werte der Variablen in die Gleichungen des Gleichungssystems.

\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1}.y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2}.y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)

wobei:

Homogenes und inhomogenes Gleichungssystem

• Bei einer homogenen Gleichung steht auf der rechten Seite der Gleichung eine Null. Wenn also in obigem Gleichungssystem alle c_i=0 sind, dann spricht man von homogenen Gleichungssystemen
• Bei einer inhomogenen Gleichung steht auf der rechten Seite der Gleichung keine Null. Wenn also in obigem Gleichungssystem mindestens ein c_i=0 ist, dann spricht man von inhomogenen Gleichungsystemen

Anzahl unterschiedlicher Variablen in einer Gleichung

Die Anzahl der unterschiedlichen Variablen in einer Gleichung muss gleich sein der Anzahl der von einander unabhängigen Gleichungen, damit das Gleichungssystem sicher eindeutig lösbar ist.

Gleichung mit keiner Variablen: Eine Gleichung ohne Variable ist eine triviale Aussage. Hier kann man nur prüfen ob es sich bei der Gleichung um eine wahre Aussage handelt, oder nicht
Beispiel:
\(1 + 3 = 4\)

Gleichung mit einer Variablen: Eine Gleichung mit einer Variablen formt man so um, dass die Variable explizit wird.
Beispiel:
\(x + 3 = 5 \to x = 2\)

Gleichungssystem mit mehreren Variablen: Gibt es zwei oder mehrere Variablen, so muss es auch zwei oder mehrere Gleichungen geben. Dann spricht man von einem Gleichungssystem. Die Lösung muss alle Gleichungen erfüllen
Beispiel:
\(\eqalign{ & {a_{11}} \cdot {x_1} + {a_{12}} \cdot {x_2} + ... + {a_{1n}} \cdot {x_n} = {c_1} \cr & {a_{21}} \cdot {x_1} + {a_{22}} \cdot {x_2} + ... + {a_{2n}} \cdot {x_n} = {c_2} \cr & ... \cr & {a_{m1}} \cdot {x_1} + {a_{m2}} \cdot {x_2} + ... + {a_{mn}} \cdot {x_n} = {c_m} \cr} \)

Es sei m die Anzahl der linearen (unabhängigen) Gleichungen und n die Anzahl der Variablen

• m=n → das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
• m>n → überbestimmtes Gleichungssystem; Es gibt mehr Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem kann eindeutig lösbar sein
• m<n → unterbestimmtes Gleichungssystem; Es gibt weniger Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar

Grad der Variablen in einer Gleichung

Der Grad der Gleichung entspricht dem höchsten Exponenten der Variablen und er entspricht zudem der Anzahl der Lösungen.

lineare Gleichung → Grad = 1 → eine Lösung
Lineare Gleichungen in einer Variablen sind eindeutig lösbar, d.h. sie haben genau eine Lösung.
Beispiel:
\(a \cdot x + b = 0\) → \(x_1 = - \dfrac{b}{a}\)

quadratische Gleichung → Grad = 2 → zwei Lösungen
Beispiel:
\({x^2} = 9 \to {x_{1,2}} = \root 2 \of 9 = \pm 3\)

Gleichung höheren Grades → Grad >2 →​ mehrere Lösungen
Beispiel:
\({x^3} = 27 \to {x_{1,2,3}} = \root 3 \of {27} = 3\)

Implizite und Explizite Darstellung der Variablen in einer Gleichung

Um Gleichungen lösen zu können, d.h. jenes x zu ermitteln, welches die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, strebt man an, dass die Variable x alleine (ohne Koeffizienten) auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. Man spricht dann von der expliziten Darstellung, andernfalls von der impliziten Darstellung.

Explizite Darstellung:
Bei der expliziten Darstellung steht die Variable x alleine auf einer Seite vom Gleichheitszeichen.
Beispiel:
\(x = - \dfrac{b}{a}\)

Implizite Darstellung:
Bei der impliziten Darstellung steht die Variable x in Form eines Terms auf einer oder auf beiden Seiten vom Gleichheitszeichen. Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable alleine auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
Beispiel.
\(a \cdot x + b = 0\)

Lösung einer Gleichung, bzw. eines Gleichungssystems

Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. Pro Variable benötigt man genau eine unabhängige Gleichung.

Beispiel:
\(1 + x = 3 \to x = 2 \to 1 + 2 = 3{\text{ wahre Aussage}}\)