Aufgabe 4485
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grundstücke - Aufgabe B_518
Teil b
Ein anderes dreieckiges Grundstück wird erweitert. Die neue Grenze soll nun nicht mehr direkt vom Koordinatenursprung zum Punkt C verlaufen, sondern über die beiden markierten Punkte P1 und P2 (siehe nachstehende Abbildung).
Der Verlauf dieser neuen Grenze soll durch den Graphen einer Polynomfunktion f mit
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von f.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Koeffizienten von f.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, um wie viele Quadratmeter der Flächeninhalt des Grundstücks durch die Erweiterung zunimmt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Damit wir die 4 Variablen a, b, c und d berechnen können, benötigen wir 4 unabhängige Gleichungen. Diese erhalten wir, indem wir die 4 bekannten Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen:
\(\begin{array}{l} f\left( {x = 0} \right) = a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 0 \to d = 0\\ \\ f\left( {x = 12} \right) = a \cdot {12^3} + b \cdot {12^2} + c \cdot 12 = 2\\ f(x = 18) = a \cdot {18^3} + b \cdot {18^2} + c \cdot 18 = 6\\ f(x = 22) = a \cdot {22^3} + b \cdot {22^2} + c \cdot 22 = 12 \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
\(\begin{array}{l} {12^3}a + {12^2}b + 12c = 2\\ {18^3}a + {18^2}b + 18c = 6\\ {22^3}a + {22^2}b + 22c = 12 \end{array}\)
Lösung mittels Technologieeinsatz:
Wolfram Alpha:
12^(3)a+12^(2)b+12c=2; 18^(3)a+18^(2)b+18c=6; 22^(3)a+22^(2)b+22c=12;
\(\begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{396}} \approx 0,00252\\ b = - \dfrac{{19}}{{396}} \approx - 0,0479\\ c = \dfrac{{25}}{{66}} \approx 0,378\\ d = 0 \end{array}\)
Somit:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{396}} \cdot {x^3} - \dfrac{{19}}{{396}} \cdot {x^2} + \dfrac{{25}}{{66}} \cdot x\)
3. Teilaufgabe:
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Wir berechne zunächst die Fläche vom rechtwinkeligen Dreieck 0(0|0); R(22|0); C(22|12) und ziehen davon die Fläche die unterhalb der Funktion und oberhalb der x-Achse liegt ab:
\(\begin{array}{l} A = 22 \cdot \dfrac{{12}}{2} - \int\limits_0^{22} {f\left( x \right)} \,\,dx = \\ = 132 - \int\limits_0^{22} {\left( {\dfrac{1}{{396}}{x^3} - \dfrac{{19}}{{396}}{x^2} + \dfrac{{25}}{{66}}x} \right)} \,\,dx = \\ = 132 - \dfrac{{1870}}{{27}} = \dfrac{{1694}}{{27}} \approx 62,74 \end{array}\)
Lösung mittels Technologieeinsatz:
Wolfram Alpha: 132-Integrate[((1)/(396)x^(3)-(19)/(396)x^(2)+(25)/(66)x),0,22]
→ Der Flächeninhalt des Grundstücks nimmt durch die Erweiterung um rund 63 m2 zu.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\begin{array}{l} f\left( {x = 0} \right) = a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 0 \to d = 0\\ \\ f\left( {x = 12} \right) = a \cdot {12^3} + b \cdot {12^2} + c \cdot 12 = 2\\ f(x = 18) = a \cdot {18^3} + b \cdot {18^2} + c \cdot 18 = 6\\ f(x = 22) = a \cdot {22^3} + b \cdot {22^2} + c \cdot 22 = 12 \end{array}\)
2. Teilaufgabe
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{396}} \cdot {x^3} - \dfrac{{19}}{{396}} \cdot {x^2} + \dfrac{{25}}{{66}} \cdot x\)
3. Teilaufgabe
Der Flächeninhalt des Grundstücks nimmt durch die Erweiterung um rund 63 m2 zu.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Erstellen des Gleichungssystems.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Koeffizienten von f.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Flächeninhalts.