Lagebeziehung zweier Ebenen

Lagebeziehung zweier Ebenen

Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden

Schnittwinkel zweier Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen - so sie sich überhaupt schneiden - entspricht dem spitzen Winkel zwischen den Normalvektoren der beiden Ebenen, wobei diese beiden Normalvektoren einen gemeinsamen Punkt auf der Schnittgerade der beiden Ebenen haben müssen.

1. Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:

\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\matrix{ {{n_{1x}}} \cr {{n_{1x}}} \cr {{n_{1z}}} \cr } } \right)\)

2. Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:

\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\matrix{ {{n_{2x}}} \cr {{n_{2y}}} \cr {{n_{2z}}} \cr } } \right)\)

Somit errechnet sich der Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen:

\(\eqalign{ & \varphi = \arccos \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \circ \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} \cr & \varphi = \arccos \frac{{\left| {{n_{1x}} \cdot {n_{2x}} + {n_{1y}} \cdot {n_{2y}} + {n_{1z}} \cdot {n_{2z}}} \right|}}{{\sqrt {{n_{1x}}^2 + {n_{1y}}^2 + {n_{1z}}^2} .\sqrt {{n_{2x}}^2 + {n_{2y}}^2 + {n_{2z}}^2} }} \cr} \)