Aufgabe 1868
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktion und Stammfunktion
Die Polynomfunktion f hat die Ableitungsfunktion f‘ und die Stammfunktion F.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Der Ausdruck F(a) gibt die Steigung von f an der Stelle a für alle a ∈ ℝ an.
- Aussage 2: Die Stammfunktion F ist eindeutig bestimmt. Es gibt somit keine weitere Stammfunktion von f.
- Aussage 3: Die Ableitungsfunktion f‘ ist eindeutig bestimmt. Es gibt somit keine weitere Ableitungsfunktion von f.
- Aussage 4: Der Ausdruck F‘(0) gibt die Steigung der Funktion f an der Stelle 0 an.
- Aussage 5: Es gilt: F‘(a) = f(a) für alle a ∈ ℝ.
Lösungsweg
Es gelten folgende Zusammenhänge zwischen einer Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung f'(x) und ihrer Stammfunktion F(x):
\(\eqalign{ & F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C \cr & F'\left( x \right) = f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} \,\,dx \cr & F''\left( x \right) = f'\left( x \right) \cr} \)
- Aussage 1: Falsch, weil die Steigung von f(x) an der Stelle a entspricht der 1. Ableitung f‘(x=a) und nicht dem Integral F(x=a)
- Aussage 2: Falsch, weil es zu jeder Funktion f(x) unendlich viele Stammfunktionen F(x) gibt, die sich durch eine Konstante – die Integrationskonstante unterscheiden. Die Graphen aller Stammfunktionen sind entlang der y-Achse parallel verschoben.
- Aussage 3: Richtig, weil die 1. Ableitung f‘(x) entspricht der Steigung der Tangente an jeden Punkt von f(x). Die Eindeutigkeit ist gegeben, weil es in jedem Punkt vom Graph von f(x) nur genau eine Tangente gibt.
- Aussage 4: Falsch, weil die 1. Ableitung der Stammfunktion an der Stelle 0 entspricht dem Funktionswert f(0). Für die Steigung wäre die 2. Ableitung der Stammfunktion erforderlich.
- Aussage 5: Richtig, weil die 1. Ableitung der Stammfunktion an der Stelle a entspricht dem Funktionswert f(a)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- 1. Aussage: Falsch
- 2. Aussage : Falsch
- 3. Aussage: Richtig
- 4. Aussage: Falsch
- 5. Aussage: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.