Aufgabe 1453
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}}\)
- Aussage 1: \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}} + \dfrac{1}{2}\)
- Aussage 2: \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}} - 1\)
- Aussage 3: \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}}\)
- Aussage 4: \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2} + \dfrac{1}{2}\)
- Aussage 5: \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}}\)
- Aussage 6: \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2}\)
Aufgabenstellung:
Welche von den oben durch ihre Funktionsgleichungen angegebenen Funktionen F ist Stammfunktion von f und verlauft durch den Punkt P = (0|1)? Kreuzen Sie die zutreffende Antwort an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Stammfunktion
\(\eqalign{ & F'(x) = f(x) \cr & {\text{wobei}}:x \in {D_f} \cr}\)
Eine reelle Funktion F(x) heißt Stammfunktion der reellen Funktion f(x), wenn gilt: F´(x) = f(x); Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für f(x) heißt unbestimmtes Integrieren.
Exponentialfunktionen differenzieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)
Wenn wir meinen, eine Aussage stellt eine korrekte Ableitungsfunktion F'=f von F dar, dann müssen wir noch durch Einsetzen von x die Probe machen, ob y=f(x) durch den gegebenen Punkt P verläuft.
Lösungsweg
- Aussage 1: Falsch, weil \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}} + \dfrac{1}{2}\)→ \(F'(x) = 2{e^{2x}} \ne f(x)\)
- Aussage 2: Falsch, weil \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}} - 1\)→ \(F'(x) = 2 \cdot 2{e^{2x}} = 4{e^{2x}} \ne f(x)\)
- Aussage 3: Falsch, weil \(F\left( x \right) = 2 \cdot {e^{2 \cdot x}}\) → \(F'(x) = 2 \cdot 2{e^{2x}} = 4{e^{2x}} \ne f(x)\)
- Aussage 4: Richtig, weil \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2} + \dfrac{1}{2}\) → \(F'(x) = \frac{{2{e^{2x}}}}{2} = {e^{2x}} = f(x)\) und \(F(0) = \dfrac{{{e^{2 \cdot 0}}}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\)
- Aussage 5: Falsch, weil \(F\left( x \right) = {e^{2 \cdot x}}\) → \(F'(x) = 2{e^{2x}} \ne f(x)\)
- Aussage 6: Falsch, weil \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2 \cdot x}}}}{2}\) → \(F'(x) = \dfrac{{2{e^{2x}}}}{2} = {e^{2x}} = f(x)\) aber \(F(0) = \dfrac{{{e^{2 \cdot 0}}}}{2} = \dfrac{1}{2} \ne 1\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die richtige Aussage angekreuzt ist.