Aufgabe 1381
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionsgleichungen
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} + 2\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Funktionsgleichungen von zwei verschiedenen Funktionen F1 und F2 an, deren Ableitungsfunktion die Funktion f ist!
F1(x) =
F2(x) =
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir durch unbestimmtes Integrieren die Stammfunktion zur gegebenen Polynomfunktion aufsuchen.
Wir wenden die Summenregel der Integralrechnung und die Regel für das Integrieren von Potenzen wie folgt an:
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} \,\,dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} \,\,dx = \int {3{x^2}\,\,dx + \int {2\,\,dx} } = 3 \cdot \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2x + C = {x^3} + 2x + C\)
Um die 2 gesuchten Stammfunktionen F1 und F2 zu erhalten, kann man für die Integrationskonstante C jeden Wert mit c ∈ ℝ einsetzen, zB 0, 1 oder 1,5.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & F\left( x \right) = {x^3} + 2x + C \cr & {F_1}\left( x \right) = {x^3} + 2x + 0 \cr & {F_2}\left( x \right) = {x^3} + 2x + 1 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe von zwei verschiedenen korrekten Funktionsgleichungen, wobei alle Funktionen in der Form \(F\left( x \right) = {x^3} + 2x + C{\text{ mit }}c \in {\Bbb R}\) als richtig zu werten sind.