Grundlagen der Wirtschaftsmathematik
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Formeln
Zinseszinsrechnung
Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen am Ende der Zinsperiode dem Kapital einmalig zugeschlagen, sodass sie in der darauffolgenden Zinsperiode mit verzinst werden. Der Aufzinsungsfaktor q gibt an, um welchen Faktor ein Kapital innerhalb einer Zinsperiode bei einem Zins von p anwächst.
K0 | Anfangskapital in € |
Kn | Endkapital in € |
n | Laufzeit in Jahren |
p | Zinssatz in % |
i | Jährliche Zinssatz, dimensionslose Dezimalzahl |
q=1+i | Aufzinsungsfaktor, dimensionslos |
Aufzinsungsfaktor
\(q = 1 + i\)
mit \(i = \dfrac{p}{{100\% }}{\rm{ und }}\left[ i \right] = \left[ q \right] = 1\)
Bei einer n-jährigen Veranlagung mit Zinseszins beträgt der Aufzinsungsfaktor qn.
Beispiel:
\({\text{p = 5% }} \to {\text{i = 0}}{\text{,05}} \to {\text{q = 1}}{\text{,05}}\)
Endkapital Kn gesucht
→ Die Aufzinsung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital Kn man erhalten wird, wenn man das Anfangskapital K0 bei einem Zins von p% für n Jahren anlegt.
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Beispiel:
K0=12.500€ … Anfangskapital
P=2,75% … Zins in %
n=1 Jahr und 9 Monate bzw. 21/12 … Laufzeit in Jahren
\(\eqalign{ & {K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)^n} \cr & {K_{\frac{{21}}{{12}}}} = 12500 \cdot {\left( {1 + \frac{{2,75}}{{100}}} \right)^{\frac{{21}}{{12}}}} \approx 13107,75 \cr} \)
Anfangskapital K0 gesucht
→ Die Diskontierung gemäß der leibnizschen Zinseszinsformel dient zur Beantwortung der Fragestellung welches Kapital K0 man anlegen muss, um bei einem Zinssatz von p% nach n Jahren über das Endkapital von Kn zu verfügen.
\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = \dfrac{{{K_n}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}^n}}}\)
Beispiel:
Kn=742€ .. Endkapital
p=3% ... Zins in %
n=5 Jahre ... Laufzeit
\(\eqalign{ & {K_0} = \frac{{{K_n}}}{{{q^n}}} \cr & p = 3\% \to i = 0,03 \to q = 1,03 \cr & {K_0} = \frac{{742}}{{{{1,03}^5}}} \approx 640,05 \cr} \)
Laufzeit n gesucht
→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung für wie viele Jahre n man ein Anfangskapital K0 bei einem Zins von p% veranlagen muss, damit man das Endkapital Kn erhält.
\(n = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log q}} = \dfrac{{\log \dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}}}{{\log \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}}\)
Zins p in % gesucht
→ Dient zur Beantwortung der Fragestellung, welcher Zins erwirtschaftet werden muss, damit nach n Jahren aus dem Anfangskapital K0 das Endkapital Kn wird.
\(p = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100\)
Unterjährige Raten
Für unterjährige Raten gilt
\(\eqalign{ & {i_p} = {\left( {1 + {i_m}} \right)^{\frac{m}{p}}} - 1 \cr & {i_m} = \root {\frac{m}{p}} \of {{i_p} + 1} - 1 \cr & \cr & r = 1 + i = {(1 + {i_m})^m} \cr & {r_p} = \root p \of r = \root p \of {{{\left( {1 + {i_m}} \right)}^m}} = {\left( {1 + {i_m}} \right)^{\frac{m}{p}}} \cr & \cr & {B_{{\text{nachsch }}}} = R \cdot \frac{{1 - {r_p}^{ - n}}}{{{i_p}}} \cr & {B_{{\text{vorsch = }}}}R \cdot \frac{{1 - {r_p}^{ - n}}}{{{i_p}}} \cdot {r_p} \cr & \cr & {E_{{\text{nachsch }}}} = R \cdot \frac{{{r_p}^n - 1}}{{{i_p}}} \cr & {E_{{\text{vorsch }}}} = R \cdot \frac{{{r_p}^n - 1}}{{{i_p}}} \cdot {r_p} \cr} \)
mit
im | unterjähriger Zinssatz |
m | Anzahl der unterjährigen Verzinsungsperioden; Semester → m=2; Quartal → m=4 |
ip | äquivalenter auf die Rentenperiode bezogener Zinssatz |
p | Anzahl der Raten pro Jahr |
R | Rate |
Unterjährige Verzinsung
Bei der unterjährigen Verzinsung ist die Anlagedauer ein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode. Die Zinsen werden dabei mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen, z.B. Verzinsungsperiode = vierteljährig → Zinsen werden an jedem Quartalsende dem Kapital zugeschlagen
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}}\)
\({p_m} = \dfrac{p}{m}\)
pm | unterjähriger Zinssatz |
m | Anzahl der Zinsperioden pro Jahr |
n | Anzahl der Veranlagungsjahre |
Beispiel:
\(\eqalign{ & n = 1{\text{ }}...{\text{ Laufzeit ist 1 Jahr}} \cr & {{\text{K}}_0} = 100 \cr & {p_{nom}} = 12\% {\text{ }}...{\text{ nomineller Jahreszinssatz}} \cr & m = 4{\text{ }}...{\text{ Quartalsweise Verzinsung}} \cr & \to {\text{ }}{{\text{p}}_m} = \dfrac{{12\% }}{4} = 3\% \cr & {K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{m \cdot n}} \cr & {K_n} = 100 \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{4 \cdot 1}} = 112,55 \cr} \)
Da bei der unterjährigen Verzinsung die Zinsen nach jedem Quartal dem Kapital zugeschlagen und fortan ebenfalls verzinst werden, rechnen wir nun noch aus wie hoch der Effektivzinssatz ist. Wir nützen dabei die weiter oben stehende Formel "Zins in % gesucht"
\(\eqalign{ & {p_{eff}} = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100 \cr & {p_{eff}} = \left( {\root 1 \of {\dfrac{{112.55}}{{100}}} - 1} \right)*100 = 12,55\% \cr} \)
→ Durch die unterjährige Verzinsung ist der Effektivzinssatz mit 12,55% tatsächlich höher als der nominelle Jahreszinssatz von 12%
Gemischte Verzinsung
Bei der gemischten Verzinsung ist die Anlagedauer kein ganzzahliges Vielfaches einer Verzinsungsperiode
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}}} \right)^{{n_v}}} \cdot \left( {1 + \dfrac{{{p_m}}}{{100}} \cdot {n_r}} \right)\)
\({n_r} = \dfrac{{{\text{Anzahl der Monate der angebrochenen Verzinsungsperiode}}}}{{{\text{Anzahl der Monate einer vollern Verzinsungsperiode}}}}\)
nv | Anzahl der vollen Verzinsungsperioden, wird mit Zinseszins berechnet |
nr | restliche Zeit als Teil der lediglich angebrochenen Verzinsungsperiode, wird mit einfachem Zins berechnet |
Stetige oder kontinuierliche Verzinsung
Bei der stetigen oder kontinuierlichen Verzinsung konvergiert die Dauer einer Verzinsungsperiode mit anschließender Wiederveranlagung gegen Null, während die Anzahl der Zinsperioden gegen Unendlich geht. Der Zinsertrag steigt mit der Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr. Der zusätzliche Zinsertrag bei sukzessiver Steigerung der jährlichen Zinsperioden nimmt jedoch immer weiter ab und nähert sich einem Grenzwert, der mit Hilfe nachfolgender Exponentialfunktion berechnet wird.
\({K_n} = {K_0} \cdot {e^{\left( {\dfrac{p}{{100}} \cdot n} \right)}}\)
Beispiel:
Wir nehmen die selben Daten wie im Beispiel oben für die quartalsweise Verzinsung
\( \eqalign{ & n = 1{\text{ }}...{\text{ Laufzeit ist 1 Jahr}} \cr & {{\text{K}}_0} = 100 \cr & {p_{nom}} = 12\% {\text{ }}...{\text{ nomineller Jahreszinssatz}} \cr & {\text{kontinuierliche Verzinsung}} \cr & {K_n} = {K_0} \cdot {e^{\left( {\dfrac{p}{{100}} \cdot n} \right)}} \cr & {K_n} = 100 \cdot{e^{\left( {\dfrac{{12}}{{100}}} \right)}} = 112,75 \cr & {p_{eff}} = \left( {\root 1 \of {\dfrac{{112,75}}{{100}}} - 1} \right) \cdot 100 = 12,75\% \cr} \)
→ Wir sehen, dass sich durch den Übergang von quartalsweiser auf kontinuierliche Verzinsung der Effektivzinssatz nur geringfügig von 12,55% auf 12,75% erhöht hat.
Endfälliges-, Tilgungs- versus Annuitätendarlehen
Wenn man ein Darlehen aufnimmt, muss dieses während der Darlehenslaufzeit getilgt, also zurückbezahlt, werden, andernfalls handelt es sich um ein endfälliges Darlehen.
- Für endfällige Darlehen gibt es üblicherweise einen Ansparplan, mit dem Ziel am Ende der Darlehenslaufzeit soviel angespart zu haben, damit man das Darlehen auf einmal zurückzahlen kann. Der Ansparplan besteht meist aus Aktien und Anleihen. Man geht dabei das Risiko ein, dass sich der Aktienmarkt nicht so entwickelt wie erwartet und man am Laufzeitende zu wenig angespart hat um die gesamte Schuld zurückzahlen zu können.
- Bei Darlehen, die während der Laufzeit zurückgezahlt werden, unterscheidet man zwischen Tilgungs- und Annuitätendarlehen.
- Beim Tilgungsdarlehen bleibt die Tilgungsrate über die Laufzeit gleich, man zahlt also monatlich einen konstanten Betrag von der Schuld zurück. Da die Zinsen von der Restschuld berechnet werden, sinken die Zinszahlung während der Laufzeit kontinuierlich. Die Annuität, bzw. die Kreditrate, als Summe aus Zins- und Tilgungsanteil, ist am Anfang der Laufzeit am höchsten und nimmt während der Laufzeit ab.
- Beim Annuitätendarlehen bleibt die Annuität bzw. die Kreditrate über die Laufzeit unverändert gleich. Von der monatlich konstanten Ratenzahlung dominiert Anfangs der Zinsanteil, gegen Ende der Tilgungsanteil.
Annuität
Die Annuität ist ein über die Laufzeit gleichbleibender regelmäßiger Betrag, der (etwa monatlich) zur Tilgung eines Darlehens zurückbezahlt wird. Die Annuität setzt sich zusammen aus einem Anteil zur Kapitaltilgung T (Abbau der Schuld) und einer Zinszahlung P, die für die Rückzahlung der Zinsen anfällt.
Am Anfang der Laufzeit (hoher Schuldenstand) zahlt man vorwiegend für die Zinsen und zahlt kaum das Kapital selbst zurück, während man am Ende der Laufzeit (geringer Schuldenstand) vorwiegend das Kapital tilgt und kaum mehr Zinsen bezahlt. Die Höhe der regelmäßig zu bezahlenden Annuität wird so berechnet, dass sie betragsmäßig konstant bleibt, obgleich der Anteil an der Tilgung im Laufe der Zeit zunimmt und die Zinszahlung im Laufe der Zeit abnimmt.
\(A = \dfrac{{{K_n} \cdot {q^n}}}{{\dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}}}\)
A | Annuität, bleibt über die Laufzeit konstant |
Kn | Endkapital nach n Jahren |
i | Jährlicher Zinssatz (Dezimalzahl) |
q=1+i | Aufzinsungsfaktor |
Tilgungsplan
Der Tilgungsplan ist eine tabellarische (z.B. monatliche) Aufstellung über die Kreditlaufzeit, aus der man die Zinszahlung P, die Kapitaltilgung T, die Annuität A und die Restschuld Kn übersichtlich ablesen kann.
K0 | Höhe des Kredits |
i | Jährlicher Zinssatz (Dezimalzahl) |
Ti | Tilgungsanteil |
Der Tilgungsplan sieht dann wie folgt aus
Zeit |
Zinszahlung Zinsanteil P |
Kapitaltilgung Tilgungsanteil T |
Annuität, Kreditrate A=P+T |
Restschuld Kn \({K_n} = {K_{n + 1}} + {T_{n + 1}}\) |
0 | K0 | |||
1 | \(P={K_0} \cdot i\) | T1 | \({A_1} = {K_0} \cdot i + {T_1}\) | \({K_1} = {K_0} - {T_1}\) |
... | ... | ... | ... | ... |
Beispiel:
Veranschaulichung der dramatischen Wirkung vom Zinseszins (Die Idee vom Josephspfennig):
- Hätte Joseph zur Zeit von Jesus Geburt 1€ mit 3% Zinsen bei seiner Hausbank veranlagt und nie etwas abgehoben, so hätten seine Nachkommen im Jahr 2019 ein Guthaben von: \(1\mbox{€} \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{2019}} = 82\,\,862\,\,241\,\,987\,\,585\,\,880\,\,104\,\,141\,\,897\mbox{€} = 8,3 \cdot {10^{25}}\mbox{€}\)
- Bei 8,3 Milliarden Menschen hätte im Jahr 2019 jeder Mensch ein Guthaben von \(\dfrac{{8,3 \cdot {{10}^{25}}}}{{8,3 \cdot {{10}^9}}} = 1 \cdot {10^{16}}\mbox{€} \overset{\wedge}\to{=} 10{\text{ Billiarden }}\mbox{€}\).
- Hätte er länger gespart und das doppelte Anfangskapital veranlagt, so hätte er heute ein Guthaben von: \(2\mbox{€} \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{2019}} = 165\,\,724\,\,483\,\,975\,\,171\,\,760\,\,208\,\,283\,\,795\mbox{€} = 1,7 \cdot {10^{26}}\mbox{€}\)
- D.h. doppelt so langes sparen, ehe man das Ersparte veranlagt, bringt langfristig nichts.
- Hätte Josef statt 3% sogar 4%, also um 1% mehr an Zinsen heraus verhandelt, so hätte er heute ein Guthaben von: \(1\mbox{€} {\left( {1 + \dfrac{4}{{100}}} \right)^{2019}} = 24\,\,564\,\,732\,\,784\,\,631\,\,725\,\,180\,\,258\,\,122\,\,392\,\,563\,\,155\mbox{€} = 2,5 \cdot {10^{34}}\mbox{€}\)
- D.h. etwas höhere Zinsen wirken sich langfristig dramatisch aus. (1034 >> 1026)
- Der Plantet Erde würde in purem Gold (1 kg Gold = 41.000€; Gewicht der Erde = \({\rm{6}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{24}}kg\)) somit \(\left( {{\rm{6}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{24}}} \right) \cdot \left( {4,1 \cdot {{10}^4}} \right) \approx 2,5 \cdot {10^{29}}\mbox{€}\)kosten.
- D.h. die Bank müsste im Jahr 2019: \(\dfrac{{2,5 \cdot {{10}^{34}}}}{{2,5 \cdot {{10}^{29}}}} = 1 \cdot {10^5}\)also 10.000 Planeten Erde aus purem Gold auszahlen... Wer soll das wegtragen und wie soll man das je ausgeben?
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Kosten- und Preistheorie
In der Kosten- und Preistheorie versucht man Kosten, Preise sowie Erlöse und Gewinne durch einfache mathematische Funktionen zu modellieren. Es handelt sich dabei um ein Teilgebiet der Mikroökonomie, welches die Preisbildung als Folge des Aufeinandertreffens von Angebot und Nachfrage auf verschiedenen Märkten untersucht.
Die wichtigsten Funktionen sind die
\(K\left( x \right) = {K_{fix}} + {K_{{\mathop{\rm var}} }}\left( x \right)\) | Kostenfunktion, beschreibt die gesamten Kosten als Summe der Fixkosten und der variablen Kosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge |
\(P\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\) | Preisfunktion, beschreibt den erzielbaren Preis pro Stück |
\(E\left( x \right) = P\left( x \right) \cdot x\) | Erlösfunktion, beschreibt den Erlös pro Stück |
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\) | Gewinnfunktion, beschreibt den Gewinn als Differenz von Erlös und Gesamtkosten |
Einfache Verzinsung
Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen einmalig für die gesamte Laufzeit vom Anfangskapital K0 berechnet. Es wird daher nur das Angangskapital verzinst, die Zinsen selbst werden nicht verzinst.Bei "einfacher Veranlagung" werden die jährlichen Zinsen im darauffolgenden Jahr nicht wieder mitverzinst, sondern zuvor ausbezahlt. Der jährliche (einfache) Zins Z (in €, $,..) ohne Zinseszins, ist proportional dem Anfangskapital K0 , sowie dem Zinssatz p in %, sowie der Laufzeit n in Jahren.
Z | Zins in € |
Zd | Zins auf täglich fälliges Kapital |
K0 | Anfangskapital in € |
p | Zinssatz in %/Jahr, es ist aber üblich das "pro Jahr" wegzulassen |
n | Laufzeit in Jahren |
Zins ohne Zinseszins
Der Zins ohne Zinseszins errechnet sich aus dem Produkt vom Anfangskapital multipliziert mit der Laufzeit in Jahren und dem Zinssatz in Prozent dividiert durch 100.
Nachfolgende Formel dient der Beantwortung der Fragestellung, wie viel Zinsen Z in € man ohne Zinseszinsen (=einfache Verzinsung) erhält, wenn man das Anfangskapital K0 für die Dauer von n Jahren bei einem Zinssatz von p% veranlagt.
\(Z = {K_0} \cdot \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}}\)
Beispiel
Welche Kredithöhe kann bei einer Bank aufnehmen, wenn man bereit ist 720€ an Zinsen in einem Jahr zu bezahlen?
\(\eqalign{ & Z = 720\mbox{€} \cr & p = 4\% \cr & n = 1 \cr & {K_0} = ? \cr & \cr & Z = {K_0} \cdot \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}} \to {K_0} = Z \cdot \dfrac{{100\%}}{{p \cdot n}} \cr & {K_0} = 720\mbox{€} \cdot \dfrac{{100}}{4} = 18.000\mbox{€} \cr} \)
Endkapital ohne Zinseszins
Das Endkapital ohne Zinseszins errechnet sich aus dem Anfangskapital multipliziert mit der Summe aus 1 plus der Laufzeit in Jahren mal dem Zins in Prozent dividiert durch 100.
Das Endkapital Kn ist die Summe aus dem Anfangskapital und dem Zins. Das Endkapital ohne Zinseszins dient der Bewertung von Finanztransaktionen mit kurzen Laufzeiten. Die erzielten Zinsen werden dabei dem Anfangskapital K0 nicht für eine weitere Verzinsung hinzugerechnet. Dies steht im Gegensatz zur Zinseszinsrechnung, bei der eine exponentielle Verzinsung stattfindet, was vor allem bei langfristigem Investment von entscheidender Bedeutung ist.
Nachfolgende Formel dient der Beantwortung der Fragestellung, welches Endkapital Kn man ohne Zinseszinsen erhält (=einfache Verzinsung), wenn man das Anfangskapital K0 für die Dauer von n Jahren bei einem Zinssatz von p% veranlagt.
\({K_n} = {K_0} \cdot \left( {1 + \dfrac{{p \cdot n}}{{100\%}}} \right)\)
Beispiel
\(\eqalign{ & {K_0} = 400\,\,\mbox{€} {\text{ }}...{\text{ Anfangskapital}} \cr & n = \dfrac{5}{{12}}{\text{ }}...{\text{ Laufzeit beträgt 5 Monate}} \cr & p = 6\% {\text{ }}...{\text{ Zinssatz in % }} \cr & {K_n} = {K_0} \cdot \left( {1 + \dfrac{{p \cdot n}}{{100}}} \right) \cr & {K_{\dfrac{5}{{12}}}} = 400 \cdot \left( {1 + \dfrac{{6 \cdot \dfrac{5}{{12}}}}{{100}}} \right) = 410\,\,\mbox{€} \cr} \)
Tagesgeld
Ein Tagesgeldkonto ist ein fest verzinstes Konto, auf das bzw. von dem der Kontoinhaber täglich in beliebiger Höhe einzahlen und abheben kann. Ein Tagesgeldkonto hat keine Laufzeit. Der Zinssatz ist wesentlich geringer als bei Veranlagungen mit fixer Laufzeit, da die Bank das Geld kaum reinvestieren kann, da es ja jederzeit wieder abgehoben werden kann.
Ein Bankjahr hat dabei fix 360 Tage bzw. 12 Monate zu je fix 30 Tagen
\(\eqalign{ & {Z_d} = Z \cdot \dfrac{d}{{360}} = {K_0} \cdot \dfrac{p}{{100\%}} \cdot \dfrac{d}{{360}} \cr & {K_0} = {Z_d} \cdot \dfrac{{100\%}}{p} \cdot \dfrac{{360}}{d} \cr} \)
Beispiel
Ein Kapital von 7.000€ wird für die Dauer von 3 Monaten zu einem Zinssatz von 0,75% für täglich fälliges Geld veranlagt. Wie hoch belaufen sich die Zinsen?
\(\eqalign{ & {K_0} = 7000\mbox{€} \cr & p = 0,75\% \cr & d = 90 \cr & {Z_{d = 90}} = ? \cr & \cr & {Z_{90}} = 7000\mbox{€} *\frac{{0.75}}{{100}}*\frac{{90}}{{360}} = 13,125\mbox{€} \cr} \)
Kostenfunktion
Die Kostenfunktion, auch Gesamtkostenfunktion genannt, beschreibt den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den gesamten dafür anfallenden Kosten. Sie gibt also an, wie viel es in Summe kostet x-Stück zu produzieren. Die Gesamtkosten setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten zusammen.
\(K\left( x \right) = {K_f} + {K_v}\left( x \right)\)
Fixkosten
Fixkosten sind Kosten die auch dann anfallen, wenn nicht produziert wird. Sie sind von der Höhe der Erzeugung unabhängig. \({K_{fix}} = K\left( 0 \right) > 0\)
Variable Kosten
Variable Kosten sind Kosten, die von der produzierten Mengeneinheit abhängen. \(K'\left( x \right) > 0\) daraus folgert, dass die Kosten streng monoton steigen.
Deckungsbeitrag
Der Deckungsbeitrag sind jene Einnahmen, die nach Abzug der variablen Kosten von den Verkaufsnettoerlösen übrig bleiben. Der Deckungsbeitrag gibt an, wie viel ein verkauftes Stück zur Deckung der Fixkosten beiträgt. Ist der Deckungsbeitrag negativ, dann verliert das Unternehmen Geld bei jedem zusätzlich verkauften Stück.
\(D\left( x \right) = E\left( x \right) - {K_v}\left( x \right)\)
Der Deckungsbeitrag ist der Beitrag der Erlöse zur Deckung der Fixkosten. Der Deckungsbeitrag ist Null, wenn man durch die Erlöse nur mehr die variablen Kosten decken kann, aber kein Beitrag zur Deckung der Fixkosten übrigbleibt. Erwirtschaftet ein Geschäft keinen Deckungsbeitrag, macht es wirtschaftlich keinen ursächlichen Sinn mehr, das Geschäft weiter zu betreiben.
Ausgaben
Ausgaben sind Abgänge an Zahlungsmittel in einer Abrechnungsperiode. Ein Gut welches ins Lager kommt, verursacht Ausgaben, aber keine Aufwendungen.
Aufwendungen
Aufwendungen sind der Geldwert aller verbrauchten Güter und der in Anspruch genommener Dienstleistungen in einer Abrechnungsperiode. Ein Gut, welches aus dem Lager genommen und verbraucht wird, ist eine Aufwendung, aber keine Ausgabe.
Kosten
Kosten sind Aufwendungen, die auf den eigentlichen Betriebszweck bezogen in der betrachteten Periode anfallen und nicht außerordentlich sind. Unternehmerlohn, Abschreibungen oder Mieten stellen zwar (kalkulatorische) Kosten, aber keine Aufwendungen dar.
Lineare Kostenfunktion
Die einfachste Modellierung ist jene mit einer linearen Kostenfunktion. Die lineare Kostenfunktion ist streng monoton steigend und hat keine Extremstellen.
\(K\left( x \right) = kx + d\)
- Fixkosten einer linearen Kostenfunktion: \( K_f=K\left( 0 \right)=d\)
- variable Kosten einer linearen Kostenfunktion: \(K_v\left( x \right) = K\left( x \right) - K\left( 0 \right) = \left( {kx + d} \right) - \left( d \right) = kx\)
Illustration zur Veranschaulichung der linearen Kostenfunktion
Stückkosten einer linearen Kostenfunktion
Die Stückkosten sind die Produktionskosten einer Mengeneinheit. Man unterscheidet zwischen den
- durchschnittlichen Stückkosten, sinken bei höherer Produktion
- marginalen Stückkosten, konstant weil unabhängig von der Höhe der Produktion
Durchschnittliche Stückkosten
Die durchschnittlichen Stückkosten geben die Kosten für die Produktion von einer beliebigen Mengeneinheit an. Auch wenn die Kostenfunktion K(x) selbst linear ist, handelt es sich bei den durchschnittlichen Stückkosten \(\overline K (x) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} + \dfrac{{{K_F}}}{x}\) um keine lineare Funktion, weil der Anteil der Fixkosten d mit der wachsenden Mengen x gemäß \(\dfrac{d}{x}\) immer kleiner wird.
\(\overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x} = \dfrac{{k \cdot x + d}}{x} = k + \dfrac{d}{x}\)
Marginale Stückkosten (Grenzkosten) einer linearen Kostenfunktion
Die marginalen Stückkosten geben die Mehrkosten für eine zusätzliche Mengeneinheit an. Die Grenzkosten sagen, um wie viel sich die Kosten erhöhen, wenn man noch zusätzlich eine (unendlich kleine ≠ 1 Stk) Mengeneinheit produziert, unabhängig davon wie viel man bereits produziert hat.
\(K\left( {x + 1} \right) - K\left( x \right) = \left[ {k \cdot \left( {x + 1} \right) + d} \right] - \left[ {\left( {kx + d} \right)} \right] = k\)
In der Praxis ist der Verlauf der marginalen Kosten meist nicht konstant. Man erhält die Grenzkostenfunktion K' auf jeden Fall durch einmaliges Ableiten der Gesamtkostenfunktion K(x). Dabei fallen die Fixkosten weg, da sie unabhängig von der Stückzahl sind, und Konstante beim Ableiten wegfallen.
\(K'\left( x \right) = \dfrac{{dK\left( x \right)}}{{{\mathop{\rm dx}\nolimits} }} = {\left( {k \cdot x + d} \right)^\prime } = k\)
Illustration zur Veranschaulichung der Zusammenhänge
Ertragsgesetzliche Kostenfunktion
In der Praxis verläuft die Kostenfunktion gemäß einer Funktion 3. Grades. Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist streng monoton steigend, hat keine Extremstellen aber einen Wendepunkt, den man Kostenkehre nennt.
\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
Für die Koeffizienten einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion gilt (ohne Herleitung)
- \(a > 0\) weil für \(x \to \infty \) strebt \(K\left( x \right) \to \infty \)
- \(b < 0\) genauer: \(b = - 3a \cdot {x_{KK}}\)
- \(c \ge 0\) bzw. \(c \ge {b^2} - 3a\)
- \(d \ge 0\) Dies entspricht den Fixkosten und diese sind zumindest Null oder höher. d hat keinen Einfluss auf den Verlauf vom Graph der Funktion, sondern verschiebt diesen nur entlang der y-Achse.
- \({x_{kk}} = - \dfrac{b}{{3a}}\) muss für die produzierte Menge an der Kostenkehre gelten
Degressiver Kostenverlauf
Bis zum Wendepunkt der Kostenfunktion (Kostenkehre) verläuft diese degressiv (Wegfall von Stillstandszeiten, Output steigt bei zunehmenden Arbeitseinsatz … ). Degressiv = negativ, rechts bzw. konvex gekrümmt.
\(K''\left( x \right) < 0\): Erhöht sich die Stückzahl um n%, so stiegen die Kosten um weniger als n%.
Progressiver Kostenverlauf
Ab dem Wendepunkt der Kostenfunktion (Kostenkehre) verläuft diese progressiv (zu viele Arbeitskräfte behindern sich gegenseitig, Mangel an Facharbeitern, es wird zunehmend teurer, eine Mengeneinheit zu produzieren)
\(K''\left( x \right) > 0\): Erhöht sich die Stückzahl um n%, so stiegen die Kosten um mehr als n%.
In der betrieblichen Praxis kennt man die Kostenfunktion mitunter nicht. Aus der innerbetrieblichen Kostenrechnung kann man aber
- für bestimmte Produktionsmengen die zugehörigen Gesamtkosten erhalten
- diese in eine Punktwolke einzeichnen um dann
- mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate
die ertragsgesetzliche Kostenfunktion bilden.
Illustration zur Veranschaulichung der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion
- Das Betriebsminimum wird als Tangente aus dem Punkt (0|Fixkosten) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion konstruiert. Das Betriebsminimum liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten ihr Minimum haben.
- Das Betriebsoptimum wird als Tangente aus dem Punkt (0|0) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion konstruiert. Das Betriebsoptimum liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat.
Marginale Stückkosten (Grenzkosten) einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion
Man erhält die Grenzkostenfunktion K' durch einmaliges Ableiten der Gesamtkostenfunktion K(x).
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d{\text{ mit }}a > 0;\,\,d > 0; \cr & K'\left( x \right) = 3 \cdot a \cdot {x^2} + 2 \cdot b \cdot x + c \cr} \)
Dabei fallen die Fixkosten Kf (Parameter d) weg, da sie unabhängig von der Stückzahl sind, und Konstante beim Ableiten wegfallen.
Kennt man die Grenzkostenfunktion und die Fixkosten, so kann man die ertragsgesetzliche Kostenfunktion wie folgt anschreiben:
\(K\left( x \right) = {K_v} + {K_f} = \int {K'\left( x \right)} \,\,dx + {K_f}\)
Dort wo die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K ihren Wendepunkt hat (Kostenkehre) dort hat die u-förmig verlaufende Grenzkostenfunktion ihr Minimum. Die Grenzkostenfunktion K' muss im ganzen Definitionsbereich positiv sein.
Illustration zur Veranschaulichung der kurz- bzw. langfristigen Preisuntergrenze bei einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion
- Die kurzfristige Preisuntergrenze, das sind Kosten pro Stück, liegt dort wo die variable Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat.
- Die langfristige Preisuntergrenze, das sind Kosten pro Stück, liegt dort, wo die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat.
Kostenkehre
Die Kostenkehre ist der Wendepunkt der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K(x) (an der Stelle xKK), bzw. der Tiefpunkt der Grenzkostenfunktion K'(x)
Betriebsoptimum
Das Betriebsoptimum ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze. Es liegt bei jener Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten minimal sind bzw die Durchschnittskostenfunktion \(\overline K (x) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x} + \dfrac{{{K_F}}}{x}\) ihr Minimum hat. Konstruiert wird das Betriebsoptimum als Tangente aus (0|0) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Das Betriebsoptimum errechnet sich durch Nullsetzen der 1. Ableitung der Stückkostenfunktion. Es ist das Minimum der durchschnittlichen Kosten. Das Betriebsoptimum ist in der Regel nicht ident mit dem Gewinnmaximum.
\(\begin{array}{l} \overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x}\\ {\overline K ^\prime }\left( {{x_{opt}}} \right) = 0 \end{array}\)
Langfristige Preisuntergrenze
Die langfristige Preisuntergrenze liegt dort wo die Stückkosten minimal sind. Es handelt sich dabei um das Betriebsoptimum xopt . Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsoptimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten und seine variablen Kosten. Wird ein höherer Preis als die langfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so macht das Unternehmen Gewinn.
Betriebsminimum
Das Betriebsminimum ist zugleich die kurzfristige Preisuntergrenze. Das Betriebsminimum liegt bei jener Produktionsmenge x, bei der die variablen Durchschnittskosten \(\overline {{K_v}} = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x}\) minimal sind. Konstruiert wird das Betriebsminimum als Tangente aus (0|Fixkosten) bzw. (0|d) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Rechnerisch bestimmt man xmin durch Ableiten und Nullsetzen des variablen Anteils von der Stückkostenfunktion.
\(\begin{array}{l} \overline {{K_v}} \left( x \right) = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x}\\ {\overline {{K_v}} ^\prime }\left( {{x_{\min }}} \right) = 0 \end{array}\)
Kurzfristige (absolute) Preisuntergrenze
Die kurzfristige Preisuntergrenze entspricht den Stückkosten im Betriebsminimum xmin . Sie liegt dort wo die variablen Durchschnittskosten \(\overline {{K_v}} = \dfrac{{{K_v}\left( x \right)}}{x}\) ihr Minimum haben. Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsminimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten nicht und das Unternehmen macht Verluste. Die Verluste sind gleich hoch, als ob das Unternehmen gar nichts produzieren würde. Das macht nur Sinn, um kurzfristig Marktanteile zu halten. Wird hingegen ein höherer Preis als die kurzfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so entsteht ein Deckungsbeitrag für die Fixkosten.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht diese Zusammenhänge
Preisfunktionen von Angebot bzw. Nachfrage
Die Preisfunktion beschreibt den erzielbaren Preis pro Stück. Der Preis pro Stück stellt dabei ein Gleichgewicht zwischen der nachgefragten und der angebotenen Menge dar, wobei dieser Ausgleich am besten in Märkten mit vollständiger Konkurrenz erfolgen kann. Der Preis ist dabei eine Bewertung in Geldeinheiten für die Knappheit eines Gutes. Anbieterseitig lenkt der Preis die produzierte Menge, nachfragerseitig lenkt der Preis die konsumierte Menge des Produkts.
\(P\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\)
- Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der nachgefragten Menge an. Steigt die Nachfrage, so wird das Gut zunächst seltener und es steigt der Preis.
\({p_N}\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\) - Die Preisfunktion des Angebots gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der angebotenen Menge an. Steigt der Preis so wird von den Anbietern mehr von dem Gut produziert wodurch größere Mengen verfügbar werden und der Preis sinkt.
- Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotene und die nachgefragte Menge überein.
Preisfunktion der Nachfrage bzw. Preis-Absatzfunktion
Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der nachgefragten (=abgesetzten) Menge xN an.
\({p_N} = {p_N}\left( x \right)\) ... Preis pro Mengeneinheit, in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge
Im Allgemeinen ist die Preisfunktion der Nachfrage streng monoton fallend. (Hoher Preis → geringe Nachfrage)
- Der Prohibitivpreis bzw. Höchstpreis pH ist jener Preis, bei dem die nachgefragte Menge Null wird \({p_N}\left( {x = 0} \right) = {p_H}\), weil niemand mehr bereit ist, zu einem so hohen Preis eine Produktionseinheit zu kaufen. Der Prohibitivpreis heißt daher auch Höchst- oder Maximalpreis.
- Die Sättigungsmenge xS ist jene Menge, wo auch zum Preis Null nicht mehr Produkteinheiten am Markt nachgefragt werden \({p_N}\left( {{x_S}} \right) = 0\), weil es keinen weiteren Bedarf gibt, selbst wenn das Produkt verschenkt wird. Grafisch handelt es sich um den Schnittpunkt der Preis-Absatzkurve mit der x bzw. Mengenachse. Die Sättigungsmenge ist also die Nullstelle der Preis-Absatz-Funktion. Nicht jede Preis-Absatzfunktion muss auch eine Nullstelle haben.
Nachfragefunktion
Die Nachfragefunktion ist die Inverse der Preis-Absatzfunktion.
\({x_N} = x_N\left( p \right)\) ... Menge in der ein Gut nachgefragt wird, in Abhängigkeit vom Preis
Die Funktion ist monoton fallend, denn ein tiefer Preis führt zu einer hohen Nachfrage und umgekehrt. In der Praxis hat die Nachfragefunktion Unstetigkeitsstellen, denn die Nachfrage ist bei einem Preis von 9,99 € mitunter aus psychologischen Gründen größer als bei einem Preis von 10,01 €, obwohl de facto kein Preisunterschied besteht.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge p=p(x) bzw. von x=x(p) - es handelt sich ja um den selben Funktionsgraph:
Preiselastizität der Nachfrage
Die Preiselastizität der Nachfrage ist ein Maß (ein sogenanntes Reagibilitätsmaß) dafür, um wie viele Prozent sich die Nachfrage der Konsumenten ändert, wenn sich der Preis um einen bestimmten Prozentsatz ändert. Die Elastizität ist somit neben der relativen Änderungsrate und der momentanen Änderung (1. Ableitung) ein Maß dafür, wie sich eine Funktion innerhalb eines Intervalls ändert.
Die mathematische Definition im Falle einer differenzierbaren Nachfragefunktion lautet:
\(\varepsilon \left( x \right) = \dfrac{{{p_N}^\prime \left( x \right)}}{{{p_N}\left( x \right)}} \cdot x\)
Mikroökonomische Definition der Preiselastizität:
\({\varepsilon _N} = \dfrac{{\dfrac{{\Delta {x_N}}}{{{x_N}}}}}{{\dfrac{{\Delta p}}{p}}} = \dfrac{{{\text{relative Mengenänderung}}}}{{{\text{relative Preisänderung}}}}\)
Da die Nachfragefunktion \({p_N}\left( x \right)\) eine fallende Funktion, also k<0 ist, gilt
- die 1. Ableitung \({p_N}^\prime \left( x \right)\) ist negativ
- die Elastizität \(\varepsilon \left( x \right) < 0\) ist ebenfalls negativ, höchstens Null
In der nachfolgenden Übersicht verwenden wir daher nicht das negative \(\varepsilon \) sondern dessen Betrag \(\left| \varepsilon \right|\)
\(\left| \varepsilon \right| = 0\) | vollkommen unelastische Nachfrage | Eine Preisänderung von \( \pm x\% \) bewirkt keine Änderung der Nachfrage |
\(\left| \varepsilon \right| < 1\) | Preisunelastische Nachfrage | Eine Preisänderung von \( \pm x\% \) bewirkt eine unterproportionale Änderung der Nachfrage um \( \mp y\% \) mit x>y Eine Preissenkung führt zu einer Absatzerhöhung aber zu einer Gewinnreduktion Für den optimalen Gewinn ist eine Preiserhöhung notwendig |
\(\left| \varepsilon \right| = 1\) | proportional elastische Nachfrage | Eine Preisänderung von \( \pm x\% \) bewirkt eine Änderung der Nachfrage um \( \mp x\% \) Umsatzmaximaler Preis |
\(\left| \varepsilon \right| > 1\) | Preiselastische Nachfrage | Eine Preisänderung von \( \pm x\% \) bewirkt eine überproportionale Änderung der Nachfrage um \( \mp y\% \) mit x<y Eine Preissenkung führt zu einer Absatzerhöhung und Gewinnerhöhung |
\(\left| \varepsilon \right| = \infty \) | vollkommen elastische Nachfrage | Eine kleine Preisänderung bewirkt eine ganz erhebliche Änderung der Nachfrage |
Illustration zur Veranschaulichung von preiselastischer bzw. preisunelastischer Nachfrage
Beispiel:
Preiselastizität 1,5 → 1,5>1 → Preiselastische Nachfrage ⇔ überproportionale Änderung der Nachfrage
- Eine Preissteigerung um 10% bewirkt einen Absatzrückgang um \((10\% \cdot 1,5 = )15\% \)
- Eine Preissenkung um 10% bewirkt eine Absatzzuwachs um \((10\% \cdot 1,5 = )15\% \)
Preisfunktion des Angebots
Die Preisfunktion des Angebots gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der angebotenen Menge xA an
\({p_A} = {p_A}\left( x \right)\) ... Preis pro Mengeneinheit, in Abhängigkeit von der angebotenen Menge
Im allgemeinen ist die Preisfunktion des Angebots streng monoton steigend. (Hoher Preis → hohes Angebot)
Mindestpreis
Der Mindestpreis pMin ist jene Preisuntergrenze, bei der sich erstmals ein Anbieter findet um das Produkt auf den Markt zu bringen.
Angebotsfunktion
Die Angebotsfunktion gibt die Menge in der ein Gut angeboten wird in Abhängigkeit vom Preis an
\({x_A} = x_A\left( p \right)\) ... Menge in der ein Gut angeboten wird, in Abhängigkeit vom Preis
In der Regel handelt es sich um eine monoton steigende Funktion. Es erfordert einen bestimmten Mindestpreis, damit Anbieter anfangen ihre Produkte zu verkaufen. Der Mindestpreis ergibt sich aus den Herstellkosten HK und einer Vertriebsspanne VSP, die der Verkäufer erzielen will. Je höher der erzielbare Preis, umso mehr Anbieter bringen eine immer größere Menge auf den Markt. Zufolge des so entstehenden Überangebots reduziert sich der Preis wieder, da die Verbraucher nicht mehr entsprechend nachfragen und Anbieter wieder aus dem Markt aussteigen.
Illustration zum Auffinden des Marktgleichgewichts
Marktgleichgewicht
Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotene und die nachgefragte Menge überein. Es gibt keine Über- und keine Unterversorgung.
\({p_A}\left( x \right) = {p_N}\left( x \right)\)
Gleichgewichtspreis
Der Gleichgewichtspreis ist jener Preis, bei dem die nachgefragte und die angebotene Menge auf einem vollkommenen Markt genau übereinstimmen. Es kommt zu keinem Nachfrage- oder Angebotsüberschuss.
Marktpreis ist gleich Gleichgewichtspreis
Die Nachfrager können genau jene Menge kaufen, die sie beim Gleichgewichtspreis kaufen wollen. Die Anbieter können genau jene Menge produzieren und verkaufen, die sie beim Gleichgewichtspreis verkaufen wollen. Es kommt zu keinem Nachfrage- oder Angebotsüberschuss.
Marktpreis ist ungleich Gleichgewichtspreis
Bei einem vom Gleichgewichtspreis abweichendem Preis gibt es entweder eine Übernachfrage (=Unterangebot) oder ein Überangebot.
- Preisobergrenze liegt über dem Gleichgewichtspreis → Überangebot
Es entsteht ein Überangebot am Markt. Die Preisobergrenze wirkt nicht als Schutz der Nachfrager, da sie weit über und nicht unter dem Gleichgewichtspreis liegt. Die Preisobergrenze wird als nicht bindend bezeichnet, wenn sie über dem Gleichgewichtspreis liegt.
Preisobergrenzen bzw. Höchstpreise dienen dem Schutz der Nachfrager vor zu hohen Preisen. Sie führen zu einem Nachfrageüberschuss und zu Warteschlangen vor den Geschäften, da die Produzenten keine wirtschaftliche Motivation haben, zu investieren oder mehr zu produzieren. Dies führt langfristig dazu, dass der Nachfrageüberschuss immer größer wird und immer mehr Konsumenten das begehrte Produkt mangels Angebot nicht mehr kaufen können.
- Preisobergrenze liegt unter dem Gleichgewichtspreis → Übernachfrage bzw. Unterangebot
Es entsteht ein Unterangebot am Markt.
Preisuntergrenzen bzw. Mindestpreise dienen dem Schutz der Anbieter vor Preisdumping durch den Mitbewerber und führen zu Angebotsüberschüssen. Die Preisobergrenze wird als bindend bezeichnet, wenn sie unter dem Gleichgewichtspreis liegt.
Eine Gegenmaßnahme ist die Kontingentierung, d.h. die Angebotsmenge wird durch einen Regulator beschränkt, sodass weniger Produkte auf den Markt kommen.
- Preisuntergrenze liegt über dem Gleichgewichtspreis → Angebotsüberschuss
Liegen etwa die Löhne über dem Gleichgewichtspreis, so bieten immer mehr Arbeitnehmer ihre Arbeitsleistung am Markt an. Auf Grund der hohen Löhne sind aber weniger Arbeitgeber als beim Gleichgewichtspreis (-lohn) bereit, so viele Arbeitnehmer einzustellen. Es kommt zu Arbeitern ohne Arbeit, also zu Arbeitslosigkeit.
- Preisuntergrenze liegt unter dem Gleichgewichtspreis → Unterangebot
Liegen etwa die Löhne unter dem Gleichgewichtspreis, so bieten immer weniger Arbeitnehmer ihre Arbeitsleistung am Markt an. Auf Grund der niederen Löhne sind immer mehr Arbeitgeber an zusätzlichen Arbeitnehmern interessiert, die sie am Arbeitsmarkt nicht finden, wodurch offene unbesetzte Stellen entstehen. Es gibt mehr freie Stellen, als zu dem niederen Lohn (=Preis) besetzt werden können.
Beispiel: Die Nachfrage- (Demand)- und Angebotsfunktionen (Supply) nach einer Dienstleistung sind gegeben durch:
\(\eqalign{ & {Q_D} = 1200 - 2p \cr & {Q_S} = 1100 + 2p \cr} \)
Wir formulieren die gegebenen Gleichungen so um, dass der Preis p eine Funktion der Menge x ist. Damit wird, so wie wir es gewohnt sind, der Preis auf der y-Achse und die Menge auf der x-Achse dargestellt.
\( \eqalign{ & {Q_D} = 1200 - 2p \to {p_D} = 600 - 0,5 \cdot x \cr & {Q_S} = 1100 + 2p \to {p_S} = - 550 + 0,5 \cdot x \cr} \)
Anmerkung: Würden wir diese Umformung nicht machen, käme natürlich das selbe Resultat heraus, es würden lediglich auf der x-Achse der Preis und auf der y-Achse die Menge dargestellt werden.
Nun setzen wir die beiden Gleichungen einander gleich, um die Gleichgewichtsmenge zu bestimmen:
\(\eqalign{ & 600 - 0,5 \cdot x = - 550 + 0,5 \cdot x \cr & 1150 = x \cr} \)
Im Preis, bei dem sich das Marktgleichgewicht einstellt, stimmen die angebotene Menge und die nachgefragte Menge überein. Diese Gleichgewichtsmenge kennen wir gemäß x=1150, daher bestimmen wir noch den Gleichgewichtspreis, indem wir in die Preis-Absatzkurve bzw. die Angebotsfunktion einsetzen. Es kommt jedes Mal der idente Gleichgewichtspreis von 25 GE heraus:
\(\eqalign{ & x = 1150 \cr & \cr & {p_D}\left( {x = 1150} \right) = 600 - 0,5 \cdot 1150 = 600 - 575 = 25 \cr & {p_S}\left( {x = 1150} \right) = - 550 + 0,5 \cdot 1150 = - 550 + 575 = 25 \cr & \cr & {p_D} = {p_S} = 25 \cr} \)
Bei einem Preis von 25 Geldeinheiten wird eine Menge von 1150 Dienstleistungseinheiten nachgefragt. Es gibt keine Über- oder Unterversorgung.
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Zinsrechnung
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.
Prozentrechnung | Zinsrechnung |
Prozentsatz p, Prozentueller Anteil vom Prozentwert am Grundwert |
Zinssatz p, Prozentueller Anteil vom Prozentwert am Kapital |
Prozentwert P, Anteil am Grundwert |
Zinsen Z, Anteil am Grundwert |
Grundwert G | Kapital K |
\({\text{Prozentsatz = }}\dfrac{{{\text{Prozentwert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 100\% \) | \({\text{Zinssatz = }}\dfrac{{{\text{Zinsen}}}}{{{\text{Kapital}}}} \cdot 100\% \) |
Gläubiger
Unter einem Gläubiger versteht man eine natürliche oder juristische Person (Kreditunternehmen) welche einer anderen natürlichen oder juristischen Person, dem Schuldner, temporär Kapital zur Verfügung stellt.
Schuldner
Unter einem Schuldner versteht man eine natürliche oder juristische Person, die von einer anderen natürlichen oder juristischen Person, dem Gläubiger, temporär Kapital gegen Zahlung einer Überlassungsgebühr, den Zinsen, leiht.
Kapital
Das Kapital ist jener Geldbetrag, den ein Kreditgeber einem Kreditnehmer gegen Bezahlung von Zinsen am Anfang der Verzinsungsperiode überlässt.
\(K = \dfrac{Z}{p} \cdot 100\% \)
Zinssatz
Der Zinssatz ist ein in Prozent ausgedrücktes Entgelt für den Kreditgeber, damit dieser temporär auf Liquidität zu Gunsten des Kreditnehmers verzichtet. Für den Zinssatz p gilt üblicherweise: \(0 \leqslant p \leqslant 1\). Der Zinssatz bezieht sich immer auf einen bestimmten Zeitraum, welcher Verzinsungsperiode genannt wird. Eines negativen Zinssatzes bedient man sich, wenn man Bankguthaben für Anleger unattraktiv machen möchte, etwa um sie zu motivieren in andere Anlageformen (Aktien) zu investieren.
\(p = \dfrac{Z}{K} \cdot 100\% \)
Zinsen
Die Zinsen sind ein in Geldeinheiten (€, $,..) ausgedrückter Preis für die Überlassung von Kapital vom Kreditgeber an den Kreditnehmer. Der Kreditgeber verzichtet temporär auf Liquidität und erhält den Zins als Entschädigung für das Risiko, das eingesetzte Kapital nicht vollständig vom Schuldner zurück zu erhalten.
\(Z = K \cdot \dfrac{p}{{100\% }}\)
Zinseszinsen
Zinseszinsen sind Zinsen auf Zinsen. Die Zinsen aus der ersten Zinsperiode werden dem Kapital zugeschlagen und zukünftig mitverzinst.
Zinsperiode
Zinsen werden zu bestimmten Terminen zur Zahlung fällig. Die zeitliche Differenz zweier aufeinanderfolgender Zinszahlungstermine bezeichnet man als Zinsperiode. Übliche Zinsperioden sind ein Jahr oder ein Quartal, also alle drei Monate bzw. viermal im Jahr.
Verzinsungsmodelle
Bei den verschiedenen Verzinsungsmodellen sind immer Geldzahlungen, Zahlungszeitpunkt bzw. Verzinsungsperioden sowie der Zinssatz von zentraler Bedeutung.
Es werden 2 verschiedene Verzinsungsmodelle unterschieden
- Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen einmalig für die gesamte Laufzeit vom Anfangskapital K0 berechnet. Es wird daher nur das Angangskapital verzinst, die Zinsen selbst werden nicht verzinst.
- Bei der Verzinsung mit Zinseszinsen werden die anfallenden Zinsen am Ende der jeweiligen Verzinsungsperiode dem Kapital zugeschlagen und fortan ebenfalls der Verzinsung unterworfen. Verbreitete Verzinsungsperioden sind die jährliche, die quartalsweise und die kontinuierliche Verzinsung.
Erlösfunktion
Die Erlösfunktion (auch Umsatz- bzw. Ertragsfunktion), gibt den Erlös E (oft auch R für revenue) in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge x an.
\(E\left( x \right) = p\left( x \right) \cdot x\)
In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis p(x) abhängig von der absetzbaren Menge x. Man kann daher ohne weiteres Wissen nichts über den Verlauf der Erlösfunktion aussagen. Aber eines gilt immer: Wenn man nichts produziert, kann man auch nichts verkaufen und somit nichts erlösen. Dh alle Erlösfunktionen müssen bei x=0 Null sein, also E(0)=0
Illustration von der Erlösfunktion und vom Grenzerlös
Ist die abgesetzte Menge null, dann ist auch der Erlös null. Bei geringer Angebotsmenge steigen die erzielbaren Preise und somit auch die Erlöse, bis bei weiter steigender Angebotsmenge zufolge eines Angebotsüberschusses die Preise und somit die Erlöse wieder zu sinken beginnen. Ist letztlich bei der Sättigungsmenge der erzielbare Preis null, so wird auch der Erlös ein zweites Mal zu null. Produziert man über die Sättigungsmenge hinaus, so wird der Erlös negativ.
Erlös bzw. Umsatz:
Der Erlös errechnet sich als Produkt vom Verkaufspreis mal der Anzahl der verkauften Mengeneinheiten.
Erlösfunktion bei vollständiger Konkurrenz
In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis abhängig von der absetzbaren Menge. In einem Polypol, wo viele Anbieter vielen Abnehmern gegenüber stehen, sodass niemand die Marktmacht hat, den Marktpreis wesentlich zu beeinflussen, ist der erzielbare Preis jedoch eine Konstante, also unabhängig von der absetzbaren Menge. Da bei vollständiger Konkurrenz der Marktpreis unbeeinflussbar ist, muss jeder Anbieter die von ihm angebotene Menge anpassen.
\(E\left( x \right) = R\left( x \right) = p \cdot x\)
Illustration von der Erlösfunktion und vom Grenzerlös bei vollständiger Konkurrenz, also bei konstantem weil mengenunabhängigem Preis
Bei konstantem Verkaufspreisen steigt der Erlös linear mit der abgesetzten Menge an. Der Grenzerlös, er ist die 1. Ableitung der linearen Erlösfunktion, ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand p.
Die Erlösfunktion bei einem monopolistischen Anbieter
In der Erlösfunktion ist der erzielbare Preis abhängig von der absetzbaren Menge. In einem Monopol, wo ein einziger Anbieter den Preis und die angebotene Menge einseitig bestimmen kann, wird der Monopolist genau jene Menge anbieten, für die er den gewinnmaximalen Preis erzielt. Den Monopolisten bezeichnet man daher als "Mengenfixierer". Er gibt die angebotene Menge vor, somit ergibt sich der zugehörige Preis, den die Abnehmer bereit sind zu bezahlen.
\(E\left( x \right) = {p_N}\left( x \right) \cdot x\)
Grenzerlös
Der Grenzerlös ist der Erlöszuwachs, der aus dem Verkauf einer zusätzlichen marginal kleinen Mengeneinheit (dx) resultiert. Der Erlös ist dort maximal, wo der Grenzerlös null ist. An der Stelle wo der Grenzerlös null wird, liegt die optimale Produktionsmenge, bei welcher der maximale Ertrag erwirtschaftet wird.
\(E'\left( x \right) = \dfrac{{dE\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)
Beispiel:
Gegeben ist die Umsatz- bzw. Erlösfunktion
\(E\left( x \right) = 540 \cdot x - {x^2}\)
Gesucht sind die optimale Produktionsmenge und der sich einstellende Preis und der zugehörige Gesamterlös!
\(\eqalign{
& E\left( x \right) = 540 \cdot x - {x^2} \cr
& 540 \cdot x - {x^2} = 0 \cr
& {x_1} = 0 \cr
& {x_2} = 540 \cr} \)
Die Erlösfunktion ist zwischen 0 und 540 Stück positiv. Bei 540 Stück liegt die Sättigungsmenge. Werden mehr Stück produziert, dann wird der Erlös negativ. Der Erlös ist dort maximal, wo der Grenzerlös E‘(x) null ist:
\(\eqalign{
& E'\left( x \right) = 540 - 2 \cdot x \cr
& E'\left( x \right) = 0 \cr
& 540 - 2 \cdot x = 0 \cr
& 540 = 2 \cdot x \cr
& x = \frac{{540}}{2} = 270 \cr} \)
Die optimale Produktionsenge beträgt 270 Stück.
\(\eqalign{
& E(x = 270) = 540 \cdot 270 - {270^2} = 72.900 \cr
& p\left( x \right) = \frac{{E\left( x \right)}}{x} = \frac{{72.900}}{{270}} = 270 \cr} \)
Dabei ergibt sich Gesamterlös von 72.900 Geldeinheiten und ein Preis von 270 Geldeinheiten pro Stück
Wenn die Produktionseinschränkungen durch Ungleichungen gegeben sind, die den zulässigen Lösungsbereich umfassen, dann liegt die optimale Produktionsmenge im optimlaen Punkt und dieser liegt dort, wo die Gerade der Zielfunktion den zulässigen Lösungsbereich berührt.
Im Fall von einem Angebotsüberschuss sinken die Preise, sodass mit jedem zusätzlich verkauften Produkt der Grenzerlös abnimmt. Wird letztlich der Grenzerlös kleiner als die Kosten der Herstellung eines zusätzlichen Produkts, dann bewirkt der zusätzliche Verkauf keine Gewinnsteigerung mehr, sondern im Gegenteil einen Verlust.
Illustration vom maximalen Ertrag
Gewinnfunktion
Der Gewinn ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten. Der Gewinn ist bei kleinen Stückzahlen zunächst negativ, wird beim Erreichen der Gewinnschwelle positiv und wird bei einer großen Stückzahl ab der Gewinngrenze wieder negativ.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Grenzgewinn
Der Grenzgewinn ist jener Gewinn, der für eine zusätzliche, marginal kleine (dx), abgesetzte Produktmenge erzielt werden kann.
\(G'\left( x \right) = \dfrac{{dG\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)
Break-Even-Point, Gewinnschwelle
Als Break-Even-Point, auch Gewinnschwelle genannt, bezeichnet man jenen Punkt an dem Kosten und Erträge gleich hoch sind. Erzielt ein Unternehmen einen höheren Ertrag liegt es in der Gewinnzone, bei einem niedrigeren Ertrag macht es Verluste.
\(\eqalign{ & G\left( x \right) = 0 \cr & E\left( x \right) = K\left( x \right) \cr} \)
Den Break-Even-Point ermittelt man, in dem man:
- die 1. Nullstelle der Gewinnfunktion ermittelt.
- als den 1. Schnittpunkt aus Erlös- und Kostenfunktion
Zur Ermittlung vom Break-Even-Point muss man
- die Fixkosten, die variablen Kosten und den Deckungsbeitrag kennen. Dividiert man die Fixkosten durch den Deckungsbeitrag erhält man die Mindestumsatzmenge.
\(\eqalign{ & x \cdot p = x \cdot {K_v} + {K_f} \cr & x = \dfrac{{{K_f}}}{{p - {K_v}}} = \dfrac{{{K_f}}}{{DB}} \cr} \)
Gewinnzone
Die Gewinnzone erhält man, wenn man G(x)=0 setzt.
- 1. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinnschwelle bzw. Break-Even-Point: Erstmals wird ein positiver Gewinn wird erzielt, sobald der Erlös die Gesamtkosten übersteigt. Die Gewinnschwelle liegt im 1. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion
- Hochpunkt der Gewinnfunktion: Gewinnmaximum Gmax: Das Gewinnmaximum wird bei jener Produktionsmenge erreicht, bei der der Hochpunkt der Gewinnfunktion liegt. Mathematisch ist das jene Stelle an der die 1. Ableitung der Gewinnfunktion ihre Nullstelle hat.
- 2. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinngrenze : Bei großen Produktionsmengen steigen die Kosten überproportional an und übertreffen die Erlöse, wodurch aus dem Gewinn ein Verlust wird. Dies ist bedingt durch den s-förmigen Verlauf der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Die Gewinngrenze liegt im 2. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.
Illustration der Gewinnzone
Cournot’scher Punkt
Der Cournot’sche Punkt ist jener Punkt auf der Gewinn-Funktion bei dem sich das Gewinnmaximum befindet. Die Gewinnfunktion ergibt sich als die Differenz von der Erlös- und der Kostenfunktion
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Man bestimmt daher die Nullstelle der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.
- x-Koordinate: Jene Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt
- y-Koordinate: Preis bei gewinnmaximaler Produktionsmenge
Anmerkung: Ein Unternehmen im Wettbewerb hat auf den Preis keinen Einfluss, es muss den Gleichgewichtspreis (Angebot und Nachfrage) als gegeben akzeptieren. Für einen Monopolisten ist der Cournot'sche Punkt jene Preis-Mengen Kombination für die der Gewinn maximal ist.
Gewinnmaximum eines Monopolisten
Der Gewinn eines Monopolisten hat bei einer linearen Preis-Absatzfunktion dann sein Maximum, wenn er die halbe Sättigungsmenge zum halben Prohibitivpreis anbietet.
\(C\left( {\dfrac{{{x_C}}}{{p\left( {{x_C}} \right)}}} \right){\text{ sodass }}G\left( x \right) = \max \)
Im Cournot’schen Punkt sind Grenzkosten und Grenzerlöse gleich.
\(K'\left( x \right) = E'\left( x \right)\)
Rentenrechnung
Bei der Rentenrechnung werden die Raten berechnet, mit denen ein vorher angespartes Kapital in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe ausbezahlt wird. Das Prinzip der Rentenrechnung lässt sich besonders gut an der Alterspension erklären: In Österreich zahlen Berufstätige während ihres Erwerbslebens als Teil der Sozialversicherung monatlich in eine Pensionskasse ein. Der Dienstnehmer bezahlt dabei 10,25% und der Dienstgeber 12,55% vom beitragspflichtigen Verdienst. Im Jahr 2020 beträgt die monatliche Höchstbeitragsgrundlage 5.370 € Brutto. Sollte man ein höheres Einkommen erzielen, dann ist dafür kein zusätzliche Sozialversicherungsbeitrag zu bezahlen. Durch die Beitragszahlungen spart der Erwerbstätige einen Pensionsanspruch an.
Erreicht der Erwerbstätige das Pensionsantrittsalter von derzeit 65 Jahren, so wird der Rentenbarwert aus den Einzahlungen der letzten 40 Jahre bzw. 480 Monate ermittelt und in Form einer Rentenzahlung für den Rest des Lebens ausbezahlt, wobei der Rentenbarwert auf die versicherungsmathematisch ermittelte voraussichtliche verbleibende Lebenserwartung gleichmäßig aufgeteilt und in Form von Ratenzahlungen monatlich ausbezahlt wird. Die höchste Pension, ausgenommen für Beamte, beträgt 3.566 € im Jahr 2020, gesetzt den Fall man hat während des gesamten Durchrechnungszeitraumes die jeweiligen Höchstbetragsgrundlage (über)erreicht. Dabei handelt es sich um einen Bruttobetrag, von dem man noch 5,1% Krankenversicherung und die Lohnsteuer abziehen muss. Im Durchschnitt beträgt die Nettopension 78% vom letzten Erwerbstätigeneinkommen.
Illustration Rentenrechnung, vereinfacht
Rente
Unter einer Rente versteht man Zahlungen - die man wiederum als Raten bezeichnet - die in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe erfolgen
Raten
Regelmäßige Zahlungen werden als Rente bezeichnet. Die in gleichen Zeitabständen erfolgenden Zahlungen bezeichnet man als Rate R.
- Vorschüssige Raten werden am Anfang der Zahlungsperiode (z.B. Monatsanfang) geleistet. Die Auszahlung der Darlehenssumme erfolgt bereits um die erste Rate reduziert.
- Nachschüssige Raten werden am Ende der Zahlungsperiode (z.B. Monatsende) geleistet.
- Der Barwert einer Rente, ist der gegenwärtige Wert aller Raten, vor Beginn der Laufzeit.
- Der Endwert einer Rente, ist der zukünftige Wert aller Raten, am Ende der Laufzeit.
R | Ratenhöhe |
n | Anzahl der Raten |
i | Jährlicher Zinssatz (Dezimalzahl) |
q=1+i | Jährlicher Aufzinsungsfaktor |
\(\nu = \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{{\left( {1 + i} \right)}}\) | Jährlicher Abzinsungsfaktor |
K0 | Barwert heute |
Kn | Endwert in n Jahren |
Anmerkung: Kennt man nur den monatlichen Aufzinsungsfaktor qm, weil man monatlichen Raten berücksichtigen muss, so kann man den jährlichen Aufzinsungsfaktor q wie folgt berechnen:
\(q = {q_m}^{12}\)
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik besagt: Damit Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten getätigt wurden verglichen können, müssen sie auf einen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst werden.
Barwert und Endwert
Um Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten eingehen vergleichbar zu machen, bezieht man sie mit Hilfe des Barwerts auf den Anfang des Zahlungsstroms oder mit Hilfe des Endwerts auf das Ende vom Zahlungsstrom.
Barwert
Der Barwert ist ein Maß für den Wert, der einer zukünftigen Zahlung in der Gegenwart entspricht. Der Barwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen auf den Anfangszeitpunkt abgezinst.
\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = {K_n} \cdot {\nu ^n}\)
Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_n} = 15.000\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {K_0} = \dfrac{{15.000}}{{{{1,1}^5}}} = 9.313,82 \cr} \)
→ 15.000 € die man erst in 5 Jahren ausbezahlt bekommt, haben heute einen Barwert von nur 9.313 €, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.
Endwert
Der Endwert ist ein Maß für den Wert, der einer heutigen Zahlung in der Zukunft entspricht. Der Endwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen, welche auf den Endzeitpunkt aufgezinst werden.
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Beispiel
\(\eqalign{ & {K_0} = 9.313,82\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {{\text{K}}_n} = {K_0} \cdot {q^n} = 9.313,82\mbox{€} \cdot {1,1^5} = 15.000\mbox{€} \cr} \)
→ Für 9.313,82€ die man für die kommenden 5 Jahre verborgt, erwartet man einen Endwert von immerhin 15.000€ zurück zu erhalten, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.
Barwert einer Rente mit vorschüssigen Raten
Der Barwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, an dem die 1. Ratenzahlung erfolgt.
\({B_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}\)
\({B_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)
Endwert einer Rente mit vorschüssigen Raten
Der Endwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode nach der letzten Ratenzahlung liegt.
\({E_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot q\)
\({E_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)
Barwert einer Rente mit nachschüssigen Raten
Der Barwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode vor der 1. Ratenzahlung liegt.
\({B_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^n}}}\)
\({B_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i}\)
Endwert einer Rente mit nachschüssigen Raten
Der Endwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt an dem die letzte Ratenzahlung erfolgt.
\({E_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right)\)
\({E_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i}\)
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Verhältnisgrößen
Bei manchen Fragestellungen ist ein Vergleich aussagekräftiger, wenn man die zu vergleichenden Größen zu deren „Anteil am Ganzen“ in Relation setzt. Der Vergleich von Anteilen erfolgt über den Umweg von Verhältnisgrößen wie Prozent, Promille oder Steigung
- Prozent
Der Prozentwert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert in Hundertstel an. 1% ist ein Hundertstel des Grundwerts. - Promille
Der Promillewert gibt den Anteil am Ganzen, dem sogenannten Grundwert, in Tausendstel an. 1‰ ist ein Tausendstel des Grundwerts. - Steigung
Die Steigung s (einer Straße) gibt das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds v, zur horizontal zugrunde liegenden Strecke h an.
Beispiel:
z.B.: Ein Schulausflug kostet 50€ je Schüler. Eine Mutter verdient 1.000 € / Monat, eine andere Mutter verdient 2.000 € / Monat.
- Absolut kostet der Ausflug zwar jeder Mutter gleich viel (immer 50 €)
- In Anteilen am Einkommen gibt es aber einen wesentlichen Unterschied
- für die Mutter mit 1.000 € / Monat bedeuten 50 € eine Ausgabe von 5% ihres Monatseinkommens,
- für die andere Mutter bedeuten 50 € nur 2,5% ihres Monatseinkommen, d.h. ihre finanzielle Belastung ist nur halb so groß, wie die der 1. Mutter
Prozentrechnung
Bei der Prozentrechnung legt man fest, dass dem Grundwert hundert Prozent entspricht. So kann man verschiedene Prozentwerte mit einander vergleichen. Das Prozent-Symbol % ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Prozentwert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 100% so erhält man den Prozentsatz.
\({\text{Prozentsatz = }}\dfrac{{{\text{Prozentwert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 100\% \)
Prozentsatz | Prozentualer Anteil vom Prozentwert am Grundwert. Die Einheit ist % |
Prozentwert | Absoluter Anteil am Grundwert; Der Wert der mit dem Grundwert verglichen wird. Die Einheit ist die gleiche wie die vom Grundwert |
Grundwert | Das Ganze; Der Wert mit dem verglichen wird. Der Grundwert entspricht immer 100%; Die Einheit ist die gleiche wie die vom Prozentwert |
Dass der Zahlenwert vom Prozentsatz ungleich dem Zahlenwert vom Prozentwert sein kann, veranschaulicht das folgende Beispiel:
Beispiel
In einer 1. Lieferung von 72 Bauteilen sind 28 Bauteile defekt. In einer 2. Lieferung von 70 Bauteilen sind 27 Bauteile defekt. Welche Lieferung hat eine geringere Fehlerrate?
1. Lieferung:
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,88\% \)
28 Teile von einem Ganzen, welches 72 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,88%
Prozentsatz=38,8%; Prozentwert=28 Bauteile; Grundwert=72 Bauteile
2. Lieferung:
\(\dfrac{{27}}{{70}} \cdot 100\% = 38,57\% \)
27 Teile von einem Ganzen, welches 70 Teile umfasst, entspricht einer Fehlerrate von 38,57%
Prozentsatz=38,57%; Prozentwert=27 Bauteile; Grundwert=70 Bauteile
→ Die 2. Lieferung hat eine geringere Fehlerrate
Promillerechnung
Bei der Promillerechnung legt man fest, dass dem Grundwert tausend Promille entspricht. So kann man verschiedene Promillewerte mit einander vergleichen. Das Promille-Symbol ‰ ist gleichbedeutend mit einem Bruch in dessen Zähler der Promillewert steht und in dessen Nenner der Grundwert steht. Multipliziert man diesen Quotienten mit 1000‰ so erhält man den Promillesatz.
\({\text{Promillesatz = }}\dfrac{{{\text{Promillewert}}}}{{{\text{Grundwert}}}} \cdot 1000 ‰\)
Umwandlung Prozent in Bruch
Um einen Prozentsatz in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz - aber ohne dem %-Symbol - in den Nenner eines Bruchs, dessen Zähler 100 ist.
Beispiel
\(7\% \buildrel \wedge \over = \dfrac{7}{{100}}\)
Umwandlung Bruch in Prozent
Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner und multipliziert anschließend mit 100%
Beispiel
\(\dfrac{{28}}{{72}} \cdot 100\% = 38,8\% \)
Umwandlung Prozent in Dezimalzahl
Um einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln, schreibt man den Prozentsatz ohne dem Prozentzeichen als Hundertstel an.
Beispiel
\(17\% \buildrel \wedge \over = 0,17\)
Umwandlung Dezimalzahl in Prozent
Um eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umzuwandeln, multipliziert man die Dezimalzahl mit 100%
Beispiel
\(1,567 \buildrel \wedge \over = 1,567 \cdot 100\% = 156,7\% \)
Investitionsrechnung
Verfahren, um im Vorfeld einer Investition (Anschaffung von Gegenständen des Anlagevermögens unter Einsatz von freiem Kapital) deren wirtschaftlichen Erfolg zu bewerten. Man unterscheidet zwischen statischen und dynamischen Verfahren.
Statische Verfahren der Investitionsrechnung
Die statische Investitionsrechnung dient der Bewertung von geplanten Investitionen in kurzen Zeiträumen, ohne der Berücksichtigung von Zinseffekten und ohne der Berücksichtigung von Zahlungszeitpunkten. Man unterscheidet in
- Kostenvergleichsrechnung
- Gewinnvergleichsrechnung
- Rentabilitätsrechnung
- Return on Investment = RoI
- Amortisationsrechnung (Pay-off-Period)
Kostenvergleichsrechnung
Bei der Kostenvergleichsrechnung vergleicht man die investitionsbedingten Kosten pro Wirtschaftsperiode, um anschließend die kostengünstigste Alternative wählen zu können.
Gewinnvergleichsrechnung
Bei der Gewinnvergleichsrechnung vergleicht man die investitionsbedingten Kosten und die zu erwartenden Gewinne pro Wirtschaftsperiode um anschließend die gewinnmaximale Alternative wählen zu können.
Rentabilitätsrechnung
Bei der Rentabilitätsrechnung berechnet / vergleicht man die Renditen von alternativen Investitionen.
\(R = \dfrac{{\left( {{\rm{Gewinn + Zinsen}}} \right)}}{{{\rm{Anschaffungskosten}}}} \cdot 100\)
R | Gesamtkapitalrentabilität |
Return on Investment
Der Return on Investment (RoI) sagt aus, zu wie viel Prozent das eingesetzte Kapital (Gesamtkapital, investiertes Kapital) in Form von Gewinnen zurückgeflossen ist. Es handelt sich um die Berechnung der Gesamtkapitalrentabilität ohne Berücksichtigung der kalkulatorischen Zinsen.
\(\begin{array}{l} {\rm{RoI}} = {\rm{Umsatzrendite}} \cdot {\rm{Kapitalumschlag}} = \dfrac{{{\rm{Gewinn}}}}{{{\rm{Nettoumsatz}}}} \cdot 100 \cdot \dfrac{{{\rm{Nettoumsatz}}}}{{{\rm{Gesamtkapital}}}}\\ RoI = \dfrac{{{\rm{Gewinn}}}}{{{\rm{Gesamtkapital}}}} \cdot 100 \end{array}\)
RoI | Return on Invest |
Amortisationsrechnung
Bei der Amortisationsrechnung untersucht man die Zeitdauer (Amortisationsdauer, Pay-off-Period), bis das eingesetzte Kapital wieder zurück in das Unternehmen geflossen ist. Die Investition hat sich amortisiert, sobald die Erlöse die Anschaffungskosten und die laufenden Betriebskosten decken. Sie beantwortet die Frage nach der Kapitalbindungsdauer bis die Refinanzierung der Anschaffungskosten erfolgt ist.
\({\text{Amortisationsdauer = }}\dfrac{{{\text{Anschaffungskosten}}}}{{{\text{durchschnittlicher Rückfluss pro Zeiteinheit}}}}\)
Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung
Die dynamische Investitionsrechnung dient der Bewertung von geplanten Investitionen in längeren Zeiträumen unter Berücksichtigung von Zinseffekten und Zahlungszeitpunkten. Man unterscheidet in:
- Kapitalwertmethode
- Methode vom internen Zinssatz
- Methode vom modifizierten internen Zinssatz
- Annuitätenmethode
Kapitalwertmethode
Bei der Kapitalwertmethode werden unterschiedliche zukünftige Zahlungsströme durch Abzinsung auf den Zeitpunkt des Beginns der Investition vergleichbar gemacht. Der Kapitalwert C0 ist der Wert des gesamten Gewinns einer Investition, abgezinst auf den Zeitpunkt der Investition. Eine Investition ist rentabel, wenn der Kapitalwert positiv ist, wenn also der Barwert der Einnahmen größer ist, als der Barwert der Ausgaben.
\({C_0} = \left[ {\dfrac{{{R_1}}}{{\left( {1 + i} \right)}} + \dfrac{{{R_2}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{R_n}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^n}}}} \right] - {A_0}\)
C0 | Kapitalwert = Barwert der Rückflüsse minus Investition |
A0 | Anschaffungskosten |
Rt | Überschuss im Jahr t (Einnahmen - Ausgaben) |
n | Nutzungsdauer in Jahren |
i | kalkulatorischer Zinssatz, fiktive Verzinsung von im Unternehmen zinslos eingesetztem Eigenkapital |
Investitionsvorhaben deren Kapitalwert positiv ist, erzielen eine Rendite, welche höher ist, als der Kalkulationszinsatz und sind daher für den Investor vorteilhaft. Bei einem negativen Kapitalwert bringt die betrachtete Investition hingegen keine Verzinsung in Höhe vom Kalkulationszinsatz.
Methode vom internen Zinssatz
Die Methode vom internen Zinssatz dient der Beantwortung der Frage, welcher Zinssatz beim Vergleich von Einnahmen und Ausgaben bewirkt, dass die abgezinsten Rückflüsse gleich hoch sind wie die Investition. Es wird also derjenige Zinssatz ermittelt, bei dem der Kapitalwert zu Null wird. Das ist nämlich jener Zinssatz, zu dem das im Investment gebundene Kapital tatsächlich verzinst wird. Die Investition ist dann wirtschaftlich, wenn der so ermittelte interne Zinssatz höher ist, als ein durch ein alternatives Investment erzielbarer Zinssatz (z.B. Veranlagung bei einer Bank) zum Zeitpunkt des Investments.
\(\left[ {\dfrac{{{R_1}}}{{\left( {1 + {i_{{\text{int}}}}} \right)}} + \dfrac{{{R_2}}}{{{{\left( {1 + {i_{{\text{int}}}}} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{R_n}}}{{{{\left( {1 + {i_{{\text{int}}}}} \right)}^n}}}} \right] - {A_0} = 0\)
iint | Wiederveranlagungszinssatz |
Rt | Überschuss im Jahr t (Einnahmen - Ausgaben) |
A0 | Anschaffungskosten |
Der interne Zinssatz ist jener Diskontierungssatz, bei dem sich für eine Investition ein Kapitalwert von Null errechnet. Er entspricht daher der Nullstelle der Kapitalwertkurve, wenn man diese über den Zinssätzen aufträgt.
Methode vom modifizierten internen Zinssatz
Bei der Methode vom modifizierten internen Zinssatz zinst man die Einnahmenüberschüsse auf das Ende der Nutzungsdauer auf und berechnet unter Berücksichtigung vom Anschaffungswert die Verzinsung.
\(\eqalign{ & {A_0} \cdot {\left( {1 + {i_{\bmod }}} \right)^n} = E \cr & E = {R_1} \cdot {\left( {1 + {i_W}} \right)^{n - 1}} + {R_2} \cdot {\left( {1 + {i_W}} \right)^{n - 2}} + ... + {R_{n - 1}} \cdot \left( {1 + {i_W}} \right) + {R_n} \cr} \)
iW | Wiederveranlagungszinssatz |
Annuitätenmethode
Eine Investition ist dann wirtschaftlich, wenn die Annuität größer oder gleich Null ist. Dabei wird ein bereits vorab ermittelter Kapitalwert C0 unter Verwendung des Annuitätenfaktors ANF in Annuitäten a umgerechnet. (Annuitäten sind gleich hohe Zahlungen über einen bestimmten Zeitraum)
\(\eqalign{ & a = {C_0} \cdot AN{F_{n.i}} \cr & AN{F_{n,i}} = \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} \cdot i}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}} = \dfrac{{{q^n} \cdot \left( {q - 1} \right)}}{{{q^n} - 1}} \cr} \)
Aufgaben
Aufgabe 244
Kosten- und Preistheorie
Eine Kostenfunktion laute: \(C\left( x \right) = 4x + 2000\). Die momentane Produktionsmenge x beträgt 10.000 ME.
Aufgabenstellung:
- 1. Teilaufgabe: Berechne die durchschnittlichen Stückkosten \(\overline C \)
- 2. Teilaufgabe: Berechne die marginalen Kosten \(C'\)
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Aufgabe 223
Kosten- und Preistheorie
Anwendung aus der Wirtschaft: Für die Produktion eines Wirtschaftsguts ist die Kostenfunktion wie folgt gegeben
\(K\left( x \right) = {x^3} - 30{x^2} + 400x + 512\)
- 1. Teilaufgabe: Berechne die Fixkosten K(0) in Euro
- 2. Teilaufgabe: Berechne die Stückkosten
- 3. Teilaufgabe: Berechne das langfristige Betriebsoptimum
- 4. Teilaufgabe: Berechne die gesamten Produktionskosten beim langfristigen Betriebsoptimum
- 5. Teilaufgabe: Wie viel kostet durchschnittlich ein Stück im langfristigen Betriebsoptimum?
- 6. Teilaufgabe: Berechne die Stückkosten im langfristigen Betriebsoptimum
- 7. Teilaufgabe: Berechne die Grenzkosten im langfristigen Betriebsoptimum
- 8. Teilaufgabe: Wie stark steigen die Kosten, wenn ein zusätzliches Stück über das langfristige Betriebsoptimum hinaus produziert wird?
- 9. Teilaufgabe: Berechne die gesamten Produktionskosten , wenn (Betriebsoptimum + 1 Stück) erzeugt werden
- 10. Teilaufgabe: Berechne das kurzfristige Betriebsoptimum, wenn man also auf die Deckung der Fixkosten verzichtet
- 11. Teilaufgabe: Wie viel kostet ein Stück im kurzfristigen Betriebsoptimum, wenn man auf die Deckung der Fixkosten verzichtet?
Aufgabe 233
Kosten- und Preistheorie
Die nicht-lineare Kostenfunktion in € eines Betriebs lautet:
\(K\left( x \right) = 3{x^2} + 50x + 4800\)
Ermittle
- 1. Teilaufgabe: die Stückkostenfunktion k(x)
- 2. Teilaufgabe: die Grenzkostenfunktion K‘(x)
- 3. Teilaufgabe: das Betriebsoptimum k‘(0)
- 4. Teilaufgabe: die minimalen Stückkosten
Aufgabe 256
Gleichgewichtspreis und Auswirkungen einer Preisobergrenze, die über dem Gleichgewichtspreis liegt
Der Markt für ein Produkt ist durch folgende Nachfrage- und Angebotsfunktionen bestimmt:
- Qd = 1150-o,5p
- Qs = 1100+2p
p | Preis in Euro |
Q |
Menge in Stück |
1. Teilaufgabe
Berechnen Sie den Preis und die Menge im Gleichgewicht.
Angenommen, ein Regulator setzt eine Preisobergrenze von € 600 pro ME fest.
2. Teilaufgabe
Berechnen Sie die angebotenen und nachgefragten Mengen. Was ist Ihre Beobachtung? Ist die Preisobergrenze bindend?