Preisfunktion der Nachfrage

Preisfunktionen von Angebot bzw. Nachfrage

Die Preisfunktion beschreibt den erzielbaren Preis pro Stück. Der Preis pro Stück stellt dabei ein Gleichgewicht zwischen der nachgefragten und der angebotenen Menge dar, wobei dieser Ausgleich am besten in Märkten mit vollständiger Konkurrenz erfolgen kann. Der Preis ist dabei eine Bewertung in Geldeinheiten für die Knappheit eines Gutes. Anbieterseitig lenkt der Preis die produzierte Menge, nachfragerseitig lenkt der Preis die konsumierte Menge des Produkts.

\(P\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\)

• Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der nachgefragten Menge an. Steigt die Nachfrage, so wird das Gut zunächst seltener und es steigt der Preis.
  \({p_N}\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\)
• Die Preisfunktion des Angebots gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der angebotenen Menge an. Steigt der Preis so wird von den Anbietern mehr von dem Gut produziert wodurch größere Mengen verfügbar werden und der Preis sinkt.
• Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotene und die nachgefragte Menge überein.

Preisfunktion der Nachfrage bzw. Preis-Absatzfunktion

Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der nachgefragten (=abgesetzten) Menge x_N an.

\({p_N} = {p_N}\left( x \right)\) ... Preis pro Mengeneinheit, in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge

Im Allgemeinen ist die Preisfunktion der Nachfrage streng monoton fallend. (Hoher Preis → geringe Nachfrage)

• Der Prohibitivpreis bzw. Höchstpreis p_H ist jener Preis, bei dem die nachgefragte Menge Null wird \({p_N}\left( {x = 0} \right) = {p_H}\), weil niemand mehr bereit ist, zu einem so hohen Preis eine Produktionseinheit zu kaufen. Der Prohibitivpreis heißt daher auch Höchst- oder Maximalpreis.
• Die Sättigungsmenge x_S ist jene Menge, wo auch zum Preis Null nicht mehr Produkteinheiten am Markt nachgefragt werden \({p_N}\left( {{x_S}} \right) = 0\), weil es keinen weiteren Bedarf gibt, selbst wenn das Produkt verschenkt wird. Grafisch handelt es sich um den Schnittpunkt der Preis-Absatzkurve mit der x bzw. Mengenachse. Die Sättigungsmenge ist also die Nullstelle der Preis-Absatz-Funktion. Nicht jede Preis-Absatzfunktion muss auch eine Nullstelle haben.

Nachfragefunktion

Die Nachfragefunktion ist die Inverse der Preis-Absatzfunktion.
\({x_N} = x_N\left( p \right)\) ... Menge in der ein Gut nachgefragt wird, in Abhängigkeit vom Preis

Die Funktion ist monoton fallend, denn ein tiefer Preis führt zu einer hohen Nachfrage und umgekehrt. In der Praxis hat die Nachfragefunktion Unstetigkeitsstellen, denn die Nachfrage ist bei einem Preis von 9,99 € mitunter aus psychologischen Gründen größer als bei einem Preis von 10,01 €, obwohl de facto kein Preisunterschied besteht.

Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge p=p(x) bzw. von x=x(p) - es handelt sich ja um den selben Funktionsgraph:

Preiselastizität der Nachfrage

Die Preiselastizität der Nachfrage ist ein Maß (ein sogenanntes Reagibilitätsmaß) dafür, um wie viele Prozent sich die Nachfrage der Konsumenten ändert, wenn sich der Preis um einen bestimmten Prozentsatz ändert. Die Elastizität ist somit neben der relativen Änderungsrate und der momentanen Änderung (1. Ableitung) ein Maß dafür, wie sich eine Funktion innerhalb eines Intervalls ändert.

Die mathematische Definition im Falle einer differenzierbaren Nachfragefunktion lautet:
\(\varepsilon \left( x \right) = \dfrac{{{p_N}^\prime \left( x \right)}}{{{p_N}\left( x \right)}} \cdot x\)

Mikroökonomische Definition der Preiselastizität:

\({\varepsilon _N} = \dfrac{{\dfrac{{\Delta {x_N}}}{{{x_N}}}}}{{\dfrac{{\Delta p}}{p}}} = \dfrac{{{\text{relative Mengenänderung}}}}{{{\text{relative Preisänderung}}}}\)

Da die Nachfragefunktion \({p_N}\left( x \right)\) eine fallende Funktion, also k<0 ist, gilt

• die 1. Ableitung \({p_N}^\prime \left( x \right)\) ist negativ
• die Elastizität \(\varepsilon \left( x \right) < 0\) ist ebenfalls negativ, höchstens Null

In der nachfolgenden Übersicht verwenden wir daher nicht das negative \(\varepsilon \) sondern dessen Betrag \(\left| \varepsilon \right|\)

Preisfunktion des Angebots

Die Preisfunktion des Angebots gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der angebotenen Menge x_A an

\({p_A} = {p_A}\left( x \right)\) ... Preis pro Mengeneinheit, in Abhängigkeit von der angebotenen Menge

Im allgemeinen ist die Preisfunktion des Angebots streng monoton steigend. (Hoher Preis → hohes Angebot)

Mindestpreis

Der Mindestpreis p_Min ist jene Preisuntergrenze, bei der sich erstmals ein Anbieter findet um das Produkt auf den Markt zu bringen.

Angebotsfunktion

Die Angebotsfunktion gibt die Menge in der ein Gut angeboten wird in Abhängigkeit vom Preis an
\({x_A} = x_A\left( p \right)\) ... Menge in der ein Gut angeboten wird, in Abhängigkeit vom Preis

In der Regel handelt es sich um eine monoton steigende Funktion. Es erfordert einen bestimmten Mindestpreis, damit Anbieter anfangen ihre Produkte zu verkaufen. Der Mindestpreis ergibt sich aus den Herstellkosten HK und einer Vertriebsspanne VSP, die der Verkäufer erzielen will. Je höher der erzielbare Preis, umso mehr Anbieter bringen eine immer größere Menge auf den Markt. Zufolge des so entstehenden Überangebots reduziert sich der Preis wieder, da die Verbraucher nicht mehr entsprechend nachfragen und Anbieter wieder aus dem Markt aussteigen.

Illustration zum Auffinden des Marktgleichgewichts

Marktgleichgewicht

Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotene und die nachgefragte Menge überein. Es gibt keine Über- und keine Unterversorgung.

\({p_A}\left( x \right) = {p_N}\left( x \right)\)

Gleichgewichtspreis

Der Gleichgewichtspreis ist jener Preis, bei dem die nachgefragte und die angebotene Menge auf einem vollkommenen Markt genau übereinstimmen. Es kommt zu keinem Nachfrage- oder Angebotsüberschuss.

Marktpreis ist gleich Gleichgewichtspreis

Die Nachfrager können genau jene Menge kaufen, die sie beim Gleichgewichtspreis kaufen wollen. Die Anbieter können genau jene Menge produzieren und verkaufen, die sie beim Gleichgewichtspreis verkaufen wollen. Es kommt zu keinem Nachfrage- oder Angebotsüberschuss.

Marktpreis ist ungleich Gleichgewichtspreis

Bei einem vom Gleichgewichtspreis abweichendem Preis gibt es entweder eine Übernachfrage (=Unterangebot) oder ein Überangebot.

• Preisobergrenze liegt über dem Gleichgewichtspreis → Überangebot

Es entsteht ein Überangebot am Markt. Die Preisobergrenze wirkt nicht als Schutz der Nachfrager, da sie weit über und nicht unter dem Gleichgewichtspreis liegt. Die Preisobergrenze wird als nicht bindend bezeichnet, wenn sie über dem Gleichgewichtspreis liegt.

Preisobergrenzen bzw. Höchstpreise dienen dem Schutz der Nachfrager vor zu hohen Preisen. Sie führen zu einem Nachfrageüberschuss und zu Warteschlangen vor den Geschäften, da die Produzenten keine wirtschaftliche Motivation haben, zu investieren oder mehr zu produzieren. Dies führt langfristig dazu, dass der Nachfrageüberschuss immer größer wird und immer mehr Konsumenten das begehrte Produkt mangels Angebot nicht mehr kaufen können.

• Preisobergrenze liegt unter dem Gleichgewichtspreis → Übernachfrage bzw. Unterangebot

Es entsteht ein Unterangebot am Markt.

Preisuntergrenzen bzw. Mindestpreise dienen dem Schutz der Anbieter vor Preisdumping durch den Mitbewerber und führen zu Angebotsüberschüssen. Die Preisobergrenze wird als bindend bezeichnet, wenn sie unter dem Gleichgewichtspreis liegt.

Eine Gegenmaßnahme ist die Kontingentierung, d.h. die Angebotsmenge wird durch einen Regulator beschränkt, sodass weniger Produkte auf den Markt kommen. 

• Preisuntergrenze liegt über dem Gleichgewichtspreis → Angebotsüberschuss

Liegen etwa die Löhne über dem Gleichgewichtspreis, so bieten immer mehr Arbeitnehmer ihre Arbeitsleistung am Markt an. Auf Grund der hohen Löhne sind aber weniger Arbeitgeber als beim Gleichgewichtspreis (-lohn) bereit, so viele Arbeitnehmer einzustellen. Es kommt zu Arbeitern ohne Arbeit, also zu Arbeitslosigkeit.

• Preisuntergrenze liegt unter dem Gleichgewichtspreis → Unterangebot

Liegen etwa die Löhne unter dem Gleichgewichtspreis, so bieten immer weniger Arbeitnehmer ihre Arbeitsleistung am Markt an. Auf Grund der niederen Löhne sind immer mehr Arbeitgeber an zusätzlichen Arbeitnehmern interessiert, die sie am Arbeitsmarkt nicht finden, wodurch offene unbesetzte Stellen entstehen. Es gibt mehr freie Stellen, als zu dem niederen Lohn (=Preis) besetzt werden können.

Beispiel: Die Nachfrage- (Demand)- und Angebotsfunktionen (Supply) nach einer Dienstleistung sind gegeben durch:

\(\eqalign{ & {Q_D} = 1200 - 2p \cr & {Q_S} = 1100 + 2p \cr} \)

Wir formulieren die gegebenen Gleichungen so um, dass der Preis p eine Funktion der Menge x ist. Damit wird, so wie wir es gewohnt sind, der Preis auf der y-Achse und die Menge auf der x-Achse dargestellt.

\( \eqalign{ & {Q_D} = 1200 - 2p \to {p_D} = 600 - 0,5 \cdot x \cr & {Q_S} = 1100 + 2p \to {p_S} = - 550 + 0,5 \cdot x \cr} \)

Anmerkung: Würden wir diese Umformung nicht machen, käme natürlich das selbe Resultat heraus, es würden lediglich auf der x-Achse der Preis und auf der y-Achse die Menge dargestellt werden.

Nun setzen wir die beiden Gleichungen einander gleich, um die Gleichgewichtsmenge zu bestimmen:

\(\eqalign{ & 600 - 0,5 \cdot x = - 550 + 0,5 \cdot x \cr & 1150 = x \cr} \)

Im Preis, bei dem sich das Marktgleichgewicht einstellt, stimmen die angebotene Menge und die nachgefragte Menge überein. Diese Gleichgewichtsmenge kennen wir gemäß x=1150, daher bestimmen wir noch den Gleichgewichtspreis, indem wir in die Preis-Absatzkurve bzw. die Angebotsfunktion einsetzen. Es kommt jedes Mal der idente Gleichgewichtspreis von 25 GE heraus:
\(\eqalign{ & x = 1150 \cr & \cr & {p_D}\left( {x = 1150} \right) = 600 - 0,5 \cdot 1150 = 600 - 575 = 25 \cr & {p_S}\left( {x = 1150} \right) = - 550 + 0,5 \cdot 1150 = - 550 + 575 = 25 \cr & \cr & {p_D} = {p_S} = 25 \cr} \)

Bei einem Preis von 25 Geldeinheiten wird eine Menge von 1150 Dienstleistungseinheiten nachgefragt. Es gibt keine Über- oder Unterversorgung.