Cournotscher Punkt
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Gewinnfunktion
Der Gewinn ist die Differenz zwischen Erlösen und Kosten. Der Gewinn ist bei kleinen Stückzahlen zunächst negativ, wird beim Erreichen der Gewinnschwelle positiv und wird bei einer großen Stückzahl ab der Gewinngrenze wieder negativ.
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Grenzgewinn
Der Grenzgewinn ist jener Gewinn, der für eine zusätzliche, marginal kleine (dx), abgesetzte Produktmenge erzielt werden kann.
\(G'\left( x \right) = \dfrac{{dG\left( x \right)}}{{\operatorname{dx} }}\)
Break-Even-Point, Gewinnschwelle
Als Break-Even-Point, auch Gewinnschwelle genannt, bezeichnet man jenen Punkt an dem Kosten und Erträge gleich hoch sind. Erzielt ein Unternehmen einen höheren Ertrag liegt es in der Gewinnzone, bei einem niedrigeren Ertrag macht es Verluste.
\(\eqalign{ & G\left( x \right) = 0 \cr & E\left( x \right) = K\left( x \right) \cr} \)
Den Break-Even-Point ermittelt man, in dem man:
- die 1. Nullstelle der Gewinnfunktion ermittelt.
- als den 1. Schnittpunkt aus Erlös- und Kostenfunktion
Zur Ermittlung vom Break-Even-Point muss man
- die Fixkosten, die variablen Kosten und den Deckungsbeitrag kennen. Dividiert man die Fixkosten durch den Deckungsbeitrag erhält man die Mindestumsatzmenge.
\(\eqalign{ & x \cdot p = x \cdot {K_v} + {K_f} \cr & x = \dfrac{{{K_f}}}{{p - {K_v}}} = \dfrac{{{K_f}}}{{DB}} \cr} \)
Gewinnzone
Die Gewinnzone erhält man, wenn man G(x)=0 setzt.
- 1. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinnschwelle bzw. Break-Even-Point: Erstmals wird ein positiver Gewinn wird erzielt, sobald der Erlös die Gesamtkosten übersteigt. Die Gewinnschwelle liegt im 1. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion
- Hochpunkt der Gewinnfunktion: Gewinnmaximum Gmax: Das Gewinnmaximum wird bei jener Produktionsmenge erreicht, bei der der Hochpunkt der Gewinnfunktion liegt. Mathematisch ist das jene Stelle an der die 1. Ableitung der Gewinnfunktion ihre Nullstelle hat.
- 2. Nullstelle der Gewinnfunktion: Gewinngrenze : Bei großen Produktionsmengen steigen die Kosten überproportional an und übertreffen die Erlöse, wodurch aus dem Gewinn ein Verlust wird. Dies ist bedingt durch den s-förmigen Verlauf der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. Die Gewinngrenze liegt im 2. Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion.
Illustration der Gewinnzone
Cournot’scher Punkt
Der Cournot’sche Punkt ist jener Punkt auf der Gewinn-Funktion bei dem sich das Gewinnmaximum befindet. Die Gewinnfunktion ergibt sich als die Differenz von der Erlös- und der Kostenfunktion
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\)
Man bestimmt daher die Nullstelle der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.
- x-Koordinate: Jene Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum liegt
- y-Koordinate: Preis bei gewinnmaximaler Produktionsmenge
Anmerkung: Ein Unternehmen im Wettbewerb hat auf den Preis keinen Einfluss, es muss den Gleichgewichtspreis (Angebot und Nachfrage) als gegeben akzeptieren. Für einen Monopolisten ist der Cournot'sche Punkt jene Preis-Mengen Kombination für die der Gewinn maximal ist.
Gewinnmaximum eines Monopolisten
Der Gewinn eines Monopolisten hat bei einer linearen Preis-Absatzfunktion dann sein Maximum, wenn er die halbe Sättigungsmenge zum halben Prohibitivpreis anbietet.
\(C\left( {\dfrac{{{x_C}}}{{p\left( {{x_C}} \right)}}} \right){\text{ sodass }}G\left( x \right) = \max \)
Im Cournot’schen Punkt sind Grenzkosten und Grenzerlöse gleich.
\(K'\left( x \right) = E'\left( x \right)\)
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Aufgaben
Aufgabe 4499
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Martinigläser - Aufgabe B_523
Teil c
Beim Verkauf von Martinigläsern geht man von einem linearen Zusammenhang zwischen dem Preis in GE/ME und der Verkaufsmenge in ME aus. Bei einem Preis von 5,00 GE/ME können 100 ME verkauft werden. Sinkt der Preis um 1,50 GE/ME, können um 200 ME mehr verkauft werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Preisfunktion der Nachfrage pN auf.
[0 / 1 P.]
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Erlösfunktion E und der Graph der Kostenfunktion K dargestellt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie diejenige Verkaufsmenge ab, bei der der Gewinn 250 GE beträgt.
ME
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: Der Erlös bei einer Verkaufsmenge von 100 ME beträgt 500 GE.
- Aussage 2: Die Fixkosten betragen 200 GE.
- Aussage 3: Die Kostenfunktion K ist streng monoton steigend.
- Aussage 4: Für die untere Gewinngrenze xu gilt: E′(xu) = K′(xu).
- Aussage 5: Für die zugehörige Stückkostenfunktion K gilt: K(200) = 3.
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