Aufgabe 233

1. Teilaufgabe:

Kostenfunktion:

\(K\left( x \right) = 3{x^2} + 50x + 4800\)

Stückkostenfunktion:

\(\overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x}\)

Aus der Kostenfunktion errechnen wir die Stückkostenfunktion, indem wir durch die Stückzahl dividieren:

\(\overline K \left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} + 50x + 4800}}{x} = 3x + 50 + 4800 \cdot {x^{ - 1}}\)

2. Teilaufgabe:

Grenzkosten:

\(K'\left( x \right) = \dfrac{{dK\left( x \right)}}{{dx}}\)

Aus der Kostenfunktion errechnen wir die Grenzkostenfunktion, indem wir nach der Stückzahl ableiten:

\(\begin{array}{l} K\left( x \right) = 3{x^2} + 50x + 4800\\ K'\left( x \right) = 6x + 50 \end{array}\)

3. Teilaufgabe:

Betriebsoptimum:

\({\overline K ^\prime }\left( {{x_{opt}}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \overline K \left( x \right) = 3x + 50 + 4800 \cdot {x^{ - 1}}\\ {\overline K ^\prime }\left( x \right) = 3 + \left( { - 1} \right) \cdot 4800{x^{ - 2}} = 3 - \dfrac{{4800}}{{{x^2}}}\\ \\ 3 - \dfrac{{4800}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\left| { \cdot {x^2}} \right.\\ 3{x^2} - 4800 = 0\,\,\,\left| {:3} \right.\\ {x^2} - 1600 = 0\,\,\,\left| { - 1600} \right.\\ {x^2} = 1600\\ x = \sqrt {1600} = 40 \end{array}\)

Das Betriebsoptimum liegt bei 40 Stück.

4. Teilaufgabe:

Minimale Stückkosten:

Die minimalen Stückkosten sind die Stückkosten im Betriebsoptimum

\(\begin{array}{l} \overline K \left( {40} \right) = 3x + 50 + \dfrac{{4800}}{x} = \\ = 3 \cdot 40 + 50 + \dfrac{{4800}}{{40}} = 120 + 50 + 120 = 290 \end{array}\)

Alternativ hätten wir die minimalen Stückkosten auch aus den Grenzkosten berechnen können:

\(\begin{array}{l} K'\left( x \right) = 6x + 50\\ K'\left( {40} \right) = 6 \cdot 40 + 50 = 240 + 50 = 290 \end{array}\)

Die minimalen Stückkosten betragen bei beiden Berechnungsmethoden 290 €.