Restschuld

Stetige oder kontinuierliche Verzinsung

Bei der stetigen oder kontinuierlichen Verzinsung konvergiert die Dauer einer Verzinsungsperiode mit anschließender Wiederveranlagung gegen Null, während die Anzahl der Zinsperioden gegen Unendlich geht. Der Zinsertrag steigt mit der Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr. Der zusätzliche Zinsertrag bei sukzessiver Steigerung der jährlichen Zinsperioden nimmt jedoch immer weiter ab und nähert sich einem Grenzwert, der mit Hilfe nachfolgender Exponentialfunktion berechnet wird.

\({K_n} = {K_0} \cdot {e^{\left( {\dfrac{p}{{100}} \cdot n} \right)}}\)

Beispiel:
Wir nehmen die selben Daten wie im Beispiel oben für die quartalsweise Verzinsung
\( \eqalign{ & n = 1{\text{ }}...{\text{ Laufzeit ist 1 Jahr}} \cr & {{\text{K}}_0} = 100 \cr & {p_{nom}} = 12\% {\text{ }}...{\text{ nomineller Jahreszinssatz}} \cr & {\text{kontinuierliche Verzinsung}} \cr & {K_n} = {K_0} \cdot {e^{\left( {\dfrac{p}{{100}} \cdot n} \right)}} \cr & {K_n} = 100 \cdot{e^{\left( {\dfrac{{12}}{{100}}} \right)}} = 112,75 \cr & {p_{eff}} = \left( {\root 1 \of {\dfrac{{112,75}}{{100}}} - 1} \right) \cdot 100 = 12,75\% \cr} \)
→ Wir sehen, dass sich durch den Übergang von quartalsweiser auf kontinuierliche Verzinsung der Effektivzinssatz nur geringfügig von 12,55% auf 12,75% erhöht hat.

Endfälliges-, Tilgungs- versus Annuitätendarlehen

Wenn man ein Darlehen aufnimmt, muss dieses während der Darlehenslaufzeit getilgt, also zurückbezahlt, werden, andernfalls handelt es sich um ein endfälliges Darlehen.

• Für endfällige Darlehen gibt es üblicherweise einen Ansparplan, mit dem Ziel am Ende der Darlehenslaufzeit soviel angespart zu haben, damit man das Darlehen auf einmal zurückzahlen kann. Der Ansparplan besteht meist aus Aktien und Anleihen. Man geht dabei das Risiko ein, dass sich der Aktienmarkt nicht so entwickelt wie erwartet und man am Laufzeitende zu wenig angespart hat um die gesamte Schuld zurückzahlen zu können. 
• Bei Darlehen, die während der Laufzeit zurückgezahlt werden, unterscheidet man zwischen Tilgungs- und Annuitätendarlehen.
  • Beim Tilgungsdarlehen bleibt die Tilgungsrate über die Laufzeit gleich, man zahlt also monatlich einen konstanten Betrag von der Schuld zurück. Da die Zinsen von der Restschuld berechnet werden, sinken die Zinszahlung während der Laufzeit kontinuierlich. Die Annuität, bzw. die Kreditrate, als Summe aus Zins- und Tilgungsanteil, ist am Anfang der Laufzeit am höchsten und nimmt während der Laufzeit ab.
  • Beim Annuitätendarlehen bleibt die Annuität bzw. die Kreditrate über die Laufzeit unverändert gleich. Von der monatlich konstanten Ratenzahlung dominiert Anfangs der Zinsanteil, gegen Ende der Tilgungsanteil. 

Annuität

Die Annuität ist ein über die Laufzeit gleichbleibender regelmäßiger Betrag, der (etwa monatlich) zur Tilgung eines Darlehens zurückbezahlt wird. Die Annuität setzt sich zusammen aus einem Anteil zur Kapitaltilgung T (Abbau der Schuld) und einer Zinszahlung P, die für die Rückzahlung der Zinsen anfällt.

Am Anfang der Laufzeit (hoher Schuldenstand) zahlt man vorwiegend für die Zinsen und zahlt kaum das Kapital selbst zurück, während man am Ende der Laufzeit (geringer Schuldenstand) vorwiegend das Kapital tilgt und kaum mehr Zinsen bezahlt. Die Höhe der regelmäßig zu bezahlenden Annuität wird so berechnet, dass sie betragsmäßig konstant bleibt, obgleich der Anteil an der Tilgung im Laufe der Zeit zunimmt und die Zinszahlung im Laufe der Zeit abnimmt.

\(A = \dfrac{{{K_n} \cdot {q^n}}}{{\dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}}}\)

Tilgungsplan

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische (z.B. monatliche) Aufstellung über die Kreditlaufzeit, aus der man die Zinszahlung P, die Kapitaltilgung T, die Annuität A und die Restschuld K_n übersichtlich ablesen kann.

Der Tilgungsplan sieht dann wie folgt aus

Beispiel:
Veranschaulichung der dramatischen Wirkung vom Zinseszins (Die Idee vom Josephspfennig):

• Hätte Joseph zur Zeit von Jesus Geburt 1€ mit 3% Zinsen bei seiner Hausbank veranlagt und nie etwas abgehoben, so hätten seine Nachkommen im Jahr 2019 ein Guthaben von: \(1\mbox{€} \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{2019}} = 82\,\,862\,\,241\,\,987\,\,585\,\,880\,\,104\,\,141\,\,897\mbox{€} = 8,3 \cdot {10^{25}}\mbox{€}\)
  • Bei 8,3 Milliarden Menschen hätte im Jahr 2019 jeder Mensch ein Guthaben von \(\dfrac{{8,3 \cdot {{10}^{25}}}}{{8,3 \cdot {{10}^9}}} = 1 \cdot {10^{16}}\mbox{€} \overset{\wedge}\to{=} 10{\text{ Billiarden }}\mbox{€}\).
• Hätte er länger gespart und das doppelte Anfangskapital veranlagt, so hätte er heute ein Guthaben von: \(2\mbox{€} \cdot {\left( {1 + \dfrac{3}{{100}}} \right)^{2019}} = 165\,\,724\,\,483\,\,975\,\,171\,\,760\,\,208\,\,283\,\,795\mbox{€} = 1,7 \cdot {10^{26}}\mbox{€}\)
  • D.h. doppelt so langes sparen, ehe man das Ersparte veranlagt, bringt langfristig nichts.
• Hätte Josef statt 3% sogar 4%, also um 1% mehr an Zinsen heraus verhandelt, so hätte er heute ein Guthaben von: \(1\mbox{€} {\left( {1 + \dfrac{4}{{100}}} \right)^{2019}} = 24\,\,564\,\,732\,\,784\,\,631\,\,725\,\,180\,\,258\,\,122\,\,392\,\,563\,\,155\mbox{€} = 2,5 \cdot {10^{34}}\mbox{€}\)
  • D.h. etwas höhere Zinsen wirken sich langfristig dramatisch aus. (10³⁴ >> 10²⁶)
  • Der Plantet Erde würde in purem Gold (1 kg Gold = 41.000€; Gewicht der Erde = \({\rm{6}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{24}}kg\)) somit \(\left( {{\rm{6}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{24}}} \right) \cdot \left( {4,1 \cdot {{10}^4}} \right) \approx 2,5 \cdot {10^{29}}\mbox{€}\)kosten.
  • D.h. die Bank müsste im Jahr 2019: \(\dfrac{{2,5 \cdot {{10}^{34}}}}{{2,5 \cdot {{10}^{29}}}} = 1 \cdot {10^5}\)also 10.000 Planeten Erde aus purem Gold auszahlen... Wer soll das wegtragen und wie soll man das je ausgeben?