Normalverteilung
Formel
Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\)
Die Normalverteilung, auch gaußsche Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall (μ=0, σ2=1) der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. Sie bietet sich immer dann an, wenn Werte innerhalb eines begrenzten Intervalls liegen und es kaum Ausreißer gibt. Bei großen Stichproben einer Binomialverteilung kann diese durch eine Normalverteilung approximiert werden.
2 Parameter:
- \(\mu = E\left( X \right)\) .. Erwartungswert, bestimmt an welcher Stelle das Maximum der Normalverteilung auftritt, d.h. er verschiebt die Dichte- und Verteilungsfunktion entlang der x-Achse
- \(\sigma ^2\) .. Varianz, ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert, d.h. sie bestimmt wie breit die Dichtefunktion ist, bzw. wie steil die Verteilungsfunktion ansteigt
Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung
Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu\) und der Varianz \(\sigma ^2\).
\(P\left( {X \leqslant {x_1}} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{{x_1}} {f\left( x \right)} \,\,dx = \int\limits_{ - \infty }^{{x_1}} {\dfrac{1}{{\sigma \cdot \sqrt {2 \cdot \pi } }}} \cdot {e^{ - \,\,\dfrac{1}{2} \cdot {{\left( {\dfrac{{x - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}}}\,\,dx\)
- Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\) ist symmetrisch um die y-Achse, welche die x-Achse bei \(x = \mu = E\left( X \right)\) also beim Erwartungswert schneidet.
- Die Glockenkurve erreicht Ihr Maximum an der Stelle vom Erwartungswert. Hier liegen ebenfalls der Modus und der Median.
- Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\) hat links und rechts vom Erwartungswert E(X) zwei Wendestellen, die jeweils genau 1 Standardabweichung \(\sigma\) vom Erwartungswert entfernt liegen.
- Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\) ist stetig, von -∞ bis ∞ definiert und nähert sich der negativen und der positiven x- Achse an, ohne sie je zu berühren.
- Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\) ist kein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts, sondern grundsätzlich nur für ein Intervall.
- Die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmt, den Verlauf der Dichtefunktion: Je kleiner \(\sigma\) ist, um so steiler wird der Graph
- Der Erwartungswert \( \mu = E\left( X \right)\) bestimmt hingegen, bei welchem x-Wert die Normalverteilung ihr Maximum hat. Ändert sich der Erwartungswert, so verschiebt sich die Normalverteilung entlang der x-Achse
- Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung hat Ihren Wendepunkt \(WP\left( {\mu ,0.5} \right)\) an der Stelle vom Erwartungswert. An dieser Stelle hat die Dichtefunktion ihr Maximum
Sigma-Umgebungen
Zusammenhang zwischen Wendepunkt der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Normalverteilung und dem Erwartungswert
Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen normalverteilten Wahrscheinlichkeiten.
Die Wendepunkte der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Normalverteilung liegen eine Standardabweichung rechts vom Erwartungswert und eine Standardabweichung links vom Erwartungswert.
Wahrscheinlichkeiten für 1, 2 und 3-fache \(\sigma\) -Umgebungen:
\(\eqalign{ & P\left( {\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma } \right) \approx 0,683 \cr & P\left( {\mu - 2 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2 \cdot \sigma } \right) \approx 0,954 \cr & P\left( {\mu - 3 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3 \cdot \sigma } \right) \approx 0,997 \cr} \)
Obige Gleichungen in Worten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einen Wert
- im Bereich µ+/- 1σ annimmt beträgt ca. 68,3%,
- im Bereich µ+/- 2σ annimmt beträgt ca. 95,4% und
- im Bereich µ+/- 3σ ist sie mit ca. 99,7% schon sehr nahe bei 100%.
Erwartungswert und Standardabweichung einer Normalverteilung
Die Normalverteilung ersetzt bei großen Stichproben, also bei relativ hohem n, die Binomialverteilung, wobei dann für die Normalverteilung - so wie bei der Binomalverteilung - wie folgt gilt:
-
Erwartungswert bei großem n: \(\mu =E\left( x \right) = n \cdot p\)
-
Standardabweichung bei großem n: \(\sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\) in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
Für die tabellarische Ermittlung von z aus \(\gamma\) gibt es 2 Möglichkeiten
- man geht mit dem Wert \(\Phi \left( z \right) = \dfrac{{\gamma + 1}}{2}\) in eine \(\Phi \left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
- man geht mit dem Wert \(D\left( z \right) = \gamma \) in eine \(D\left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
D(z) entspricht der Fläche unter der Gaußkurve, zwischen 2 vom Erwartungswert E bzw. μ um \( \pm z \cdot \sigma \) entfernt liegende Grenzen. Für das zugehörige Konfidenzintervall gilt:
\({p_{1,2}} = \mu \pm z \cdot \sigma \Rightarrow \left[ {{p_1},\,\,{p_2}} \right] = \left[ {\mu - \sigma ;\,\,\mu + \sigma } \right]\)
Dichtefunktion f(t) einer Normalverteilung mit \(X \sim N\left( {\mu ,{\sigma ^2}} \right)\)
\(f\left( t \right) = \dfrac{1}{{\sigma \cdot \sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot {{\left( {\dfrac{{t - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}}}\)
-
Die Dichtefunktion der Normalverteilung hat die Form einer Glockenkurve, ist symmetrisch um den Erwartungswert µ, der zugleich ihr Maximum ist. Ihre beiden Wendestellen liegen bei µ-σ bzw. bei µ+σ. Ihr Graph nähert sich asymptotisch der positiven bzw. negativen x-Achse an. Sie illustriert, dass Abweichungen vom Erwartungs- bzw. Mittelwert umso unwahrscheinlicher werden, je weiter die Zufallsvariable X von µ entfernt ist. Um die Dichtefunktion der Normalverteilung zeichnen zu können benötigt man nur den Erwartungswert µ, der die Lage vom Maximum auf der x-Achse bestimmt und die Streuung σ, welche die Breite vom Graph bestimmt.
-
Der Flächeninhalt, der von der Dichtefunktion der Normalverteilung eingeschlossen wird - also das Integral von minus Unendlich bis plus unendlich - ist unabhängig von den Werten von µ und σ immer genau 1.
- Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich einer Grenze G annimmt: \(P(X \le G) = \int\limits_{ - \infty }^G {f\left( t \right)} \,\,dt\)
- Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert größer oder gleich einer unteren Grenze U und gleich oder kleiner einer oberen Grenze O annimmt: \(P(U \le X \le O) = \int\limits_U^O {f\left( t \right)} \,\,dt\)
- Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X mindestens einen Wert größer oder gleich einer Grenze O annimmt: \(P\left( {X \ge G} \right) = \int\limits_G^\infty {f\left( t \right)} \,\,dt\)
Verteilungsfunktion F(x) einer Normalverteilung
\(F\left( x \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {f\left( t \right)\,\,dt} = \dfrac{1}{{\sigma \cdot \sqrt {2\pi } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^x {{e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot {{\left( {\dfrac{{t - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}}}} \,\,dt\)
- Auf Grund der Symmetrie der Verteilungsfunktion gilt \(F(x) = 1 - F( - x)\)
Anmerkung:
- Bei der Dichtefunktion f(t) lautet das Argument t, bei der Verteilungsfunktion F(x) lautet das Argument x nur um besser zwischen den beiden Funktionen unterscheiden zu können. Das t hat nichts mit Zeit zu tun, es hat sich einfach für die Dichtefunktion so etabliert.
Dichte- und Verteilungsfunktion der Normalverteilung
- Die Verteilungsfunktion - sie hat den Graph einer logistischen Wachstumsfunktion - ist das Integral der Dichtefunktion bzw. die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion
- Dort wo die Verteilungsfunktion ihren Wendepunkt \(WP\left( {\mu ,0.5} \right)\) hat, dort liegt der Erwartungswert und an dieser Stelle hat die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit 0,5 bzw hat dort die Dichtefunktion ihr Maximum.
- Auf der y-Achse der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \le {x_1}} \right)\) ablesen, höchstens den Wert x1 zu erreichen.
- In unten stehender Illustration beträgt die Wahrscheinlichkeit höchstens den Wert x1 zu erreichen: 0,7 bzw. 70%
- Der verbleibende Rest auf 1 entspricht der Wahrscheinlichkeit mindestens den Wert x1 zu erreichen.
- In unten stehender Illustration beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens den Wert x1 zu erreichen: 0,3 bzw. 30%
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Schließende Statistik | Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen. Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wertet die Ergebnisse von Zufallsexperimenten aus. |
Aktuelle Lerneinheit
Normalverteilung | Die Normalverteilung, auch gaußsche-Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. |
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Standardnormalverteilung | Unter der Standardnormalverteilung versteht man die mit μ=0 und σ=1 standardisierte Normalverteilung. Mit Hilfe der z-Transformation rechnet man beliebige Erwartungswerte bzw. Standardabweichungen auf die Standardnormalverteilung um. |
Konfidenzintervall | Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. |
Gleichverteilung - Disparität - Konzentration | Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint. |
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung | Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis (zB ein Produktfehler) nach weiteren t Minuten eintritt, nachdem man schon s Minuten gewartet hat. Man spricht auch von der "Nichtalterungseigenschaft". |
Exponentialverteilung | Die Exponetialfunktion wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. |
Rechteckverteilung | Die Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist eine stetige Gleichverteilung, bei der jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. |
Hypergeometrische Verteilung | Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. |
Poissonverteilung | Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung wenn n sehr groß (größer 100) ist, verbunden mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit die gegen Null konvergiert |
Bernoulli-Verteilung | Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) genau 1 Mal ausführt. Die Bernoulli Verteilung ist daher ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1. |
Histogramm der Häufigkeitsverteilung | Histogramme schauen ähnlich aus wie Balkendiagramme - man benötigt zu deren grafischer Darstellung die jeweilige Balkenbreite (Klassenbreite) und die Balkenhöhe (=relativer / prozentueller Anteil der Messwerte) |
Stetige Zufallsvariable | Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich, also nicht abzählbar, ist. |
Diskrete Zufallsvariable | Für diskrete Zufallsvariablen ist die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments endlich, also abzählbar. Sie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. |
Zufallsvariable | Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zu. |
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten | Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Wir unterscheiden zwischen Bernoulli und Laplace Experiment. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4090
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.
Teil a
Bei Maschine A sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Skizzieren Sie in der nachfolgenden Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe:
Veranschaulichen Sie mithilfe der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm hat.
[1 Punkt]
Aufgabe 4391
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blumentopf - Aufgabe B_474
Teil b
Ein Unternehmen produziert Stangen für Kletterpflanzen. Die Länge dieser Stangen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion F.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert der Standardabweichung ab.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, die durch den nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
1 – F(149,5)
[1 Punkt]
Ein anderes Unternehmen produziert auch solche Stangen. Die Länge dieser Stangen ist ebenfalls annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Es ist bekannt, dass 92,3 % dieser Stangen eine Länge von höchstens 151 cm haben.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung.
[1 Punkt]
Aufgabe 4476
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kosmetikartikel - Aufgabe A_306
Teil a
Ein Parfum wird in bestimmte Fläschchen abgefüllt. Das Füllvolumen wird dabei als annähernd normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 1,5 ml angenommen. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ des Füllvolumens ab.
μ = ml
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem das Füllvolumen eines zufällig ausgewählten Fläschchens mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % liegt.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Füllvolumen eines zufällig ausgewählten Fläschchens höchstens 76 ml beträgt.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4214
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kochzeit von Eiern - Aufgabe A_289
Teil c
Die Kochzeit für weich gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5,5 min und der Standardabweichung σ = 0,35 min.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie dasjenige um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Kochzeit für ein zufällig ausgewähltes Ei mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
[1 Punkt]
Die Kochzeit für hart gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 9 min und der Standardabweichung σ = 0,5 min. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
X ... Kochzeit für hart gekochte Eier in min
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die auf diese Dichtefunktion nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
- Aussage 1: \(P\left( {X \ge 9} \right) = 0,5\)
- Aussage 2: \(P\left( {X \ge 10} \right) = P\left( {X \le 8} \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {8,5 \le X \le 9,5} \right) \approx 0,68\)
- Aussage 4: \(P\left( {8 \le X \le 10} \right) = 1 - P\left( {X \ge 10} \right)\)
- Aussage 5: \(P\left( {7 \le X \le 11} \right) \approx 1\)
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Aufgabe 1518
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutgruppe
In Europa beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit Blutgruppe B geboren zu werden, ca. 0,14. Für eine Untersuchung wurden n in Europa geborene Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B. Die Verteilung von X kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, deren Dichtefunktion in der nachstehenden Abbildung dargestellt ist.
Aufgabenstellung:
Schätzen Sie anhand der obigen Abbildung den Stichprobenumfang n dieser Untersuchung!
n ≈
Aufgabe 4296
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Klimawandel und Ozon - Aufgabe A_225
Teil a
Man geht davon aus, dass durch den Klimawandel die Temperaturen steigen. Die mittleren Sommertemperaturen in Wien sind annähernd normalverteilt.*
* Vgl. Kromp-Kolb/Formayer (2005). Schwarzbuch Klimawandel: Wie viel Zeit bleibt uns noch? Salzburg: Ecowin. S. 53–55.
Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist im nachstehenden Diagramm dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Skizzieren Sie im obigen Diagramm den Graphen der Dichtefunktion einer Normalverteilung,
bei der sowohl der Erwartungswert als auch die Standardabweichung größer als in der gegebenen
Darstellung sind.
[2 Punkte]
Aufgabe 4091
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.
Teil b
Bei Maschine B sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 0,02 mm. Ein Durchmesser von 9,97 mm wird von 0,1 % der Stahlwellen unterschritten.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den zugehörigen Erwartungswert μ .
[1 Punkt]
Aufgabe 4335
tandardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Hängematten - Aufgabe B_445
Teil c
Die Belastbarkeit von Seilen eines bestimmten Herstellers kann näherungsweise als normalverteilt angenommen werden. Das nachstehende Diagramm zeigt den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie im obigen Diagramm die Wahrscheinlichkeit, dass die Belastbarkeit eines zufällig ausgewählten Seiles mindestens 1 050 Newton (N) betragt.
[1 Punkt]
Die Maschine zur Herstellung der Seile soll bei gleichbleibender Standardabweichung σ = 50 N auf einen neuen Erwartungswert μneu eingestellt werden, sodass nur bei 1 Promille der Seile die Belastbarkeit weniger als 1 000 N beträgt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, auf welchen Erwartungswert μneu die Maschine eingestellt werden muss.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4262
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sauna - Aufgabe A_297
In der kalten Jahreszeit besuchen viele Menschen regelmäßig eine Sauna.
Teil c
In einer bestimmten Sauna ist die Aufenthaltsdauer der Saunagäste annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 14 min. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Standardabweichung σ ab.
σ = min
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass die Aufenthaltsdauer eines zufällig ausgewählten Saunagasts mehr als 16 min beträgt.
[1 Punkt]
Aufgabe 4352
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Betonrohre - Aufgabe B_452
Teil d
Der Durchmesser von Betonrohren des Modells D kann als annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 100 mm angenommen werden. Bei 3 % der Rohre ist der Durchmesser kleiner als 98 mm.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung σ . [1 Punkt]
Aufgabe 4391
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blumentopf - Aufgabe B_474
Teil b
Ein Unternehmen produziert Stangen für Kletterpflanzen. Die Länge dieser Stangen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion F.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert der Standardabweichung ab.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, die durch den nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
1 – F(149,5)
[1 Punkt]
Ein anderes Unternehmen produziert auch solche Stangen. Die Länge dieser Stangen ist ebenfalls annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Es ist bekannt, dass 92,3 % dieser Stangen eine Länge von höchstens 151 cm haben.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung.
[1 Punkt]
Aufgabe 1319
AHS - 1_319 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benutzung des Autos
Einer Veröffentlichung der Statistik Austria kann man entnehmen, dass von den über 15-Jährigen Österreicherinnen und Österreichern ca. 38,6 % täglich das Auto benutzen (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in).
Quelle: Statistik Austria (Hrsg.) (2013). Umweltbedingungen, Umweltverhalten 2011. Ergebnisse des Mikrozensus. Wien: Statistik Austria. S. 95.
Aufgabenstellung
Es werden 500 über 15-jährige Österreicher/innen zufällig ausgewählt. Geben Sie für die Anzahl derjenigen Personen, die täglich das Auto (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in) benutzen, näherungsweise ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall mit 95%iger Wahrscheinlichkeit an!
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