Aufgabe 4391

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Blumentopf - Aufgabe B_474

Teil b

Ein Unternehmen produziert Stangen für Kletterpflanzen. Die Länge dieser Stangen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion F.

Illustration Blumentopf - BHS Matura B_474

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert der Standardabweichung ab.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, die durch den nachstehenden Ausdruck berechnet wird.

1 – F(149,5)

[1 Punkt]

Ein anderes Unternehmen produziert auch solche Stangen. Die Länge dieser Stangen ist ebenfalls annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Es ist bekannt, dass 92,3 % dieser Stangen eine Länge von höchstens 151 cm haben.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung.

[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Wir müssen in unsere Betrachtungen neben der dargestellten Verteilungsfunktion auch die zugehörige Dichtefunktion – einer gaußschen Glockenkurve - mit einbeziehen: Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen normalverteilten Wahrscheinlichkeiten. 

  • Der Wendepunkt der Verteilungsfunktion liegt dort, wo der Erwartungswert liegt. Laut Angabe liegt μ bei 150 cm.
  • Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen eine Standardabweichung rechts bzw. links vom Erwartungswert.

 

Aus der Formelsammlung entnehmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die 1-fache σ -Umgebungen zu:
\(P\left( {\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma } \right) \approx 0,683 \buildrel \wedge \over = 68\% \)

Links und rechts neben diesem ein Sigma Intervall verbleiben jeweils
\(\dfrac{{100 - 68}}{2} = 16 \buildrel \wedge \over = 16\% \) der Werte:
\(P\left( {X \le \left( {\mu - \sigma } \right)} \right) = P\left( {X \le \left( {\mu + \sigma } \right)} \right) \approx 16\% \)

 

Wir zeichnen in die gegebene Illustration der Verteilungsfunktion eine Gerade an der Stelle P=0,16 ein und schneiden diese mit dem Graph der Verteilungsfunktion. An dieser Stelle beträgt die Länge der Stangen 149 cm.

Illustration Blumentopf - BHS Matura B_474

→ Die gesuchte Standardabweichung Sigma ergibt sich somit zu \(\sigma = 150 - 149 = 1{\rm{ cm}}\)

 

2. Teilaufgabe:

Das ist sehr einfach: Wir zeichnen an der Stelle Länge l=149,5 den Funktionswert auf der dargestellten Verteilungsfunktion ein. Die gesuchte Gegenwahrscheinlichkeit ist die Ergänzung auf 100% bzw die senkrecht darüber liegende Strecke bis P=1.

Illustration Blumentopf - BHS Matura B_474

3. Teilaufgabe:

Es liegt eine Normalverteilung mit μ = 150 vor. X ist die Länge der Stangen. Gemäß Angabe gilt zudem:
\(P\left( {X \le 151} \right) = 92,3\% \)

Die Lösung erfolgt durch Technologieeinsatz in Geogebra:

  • CAS Ansicht: GeoGebra Normal

    • Syntax: Normal(Mittelwert, Standardabweichung, Wert der Variablen)
    • Normal(150, s, 151)=92.3% à Löse numerisch liefert \(\sigma = 0,701\)

 

→ Die gesuchte Standardabweichung beträgt: \(\sigma = 0,701{\text{ cm}}\)

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
Die gesuchte Standardabweichung Sigma ergibt sich somit zu \(\sigma = 1{\text{ cm}}\)

2. Teilaufgabe

Illustration Blumentopf - BHS Matura B_474

3. Teilaufgabe
Die gesuchte Standardabweichung beträgt: \(\sigma = 0,701{\text{ cm}}\)

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × C: für das richtige Ablesen der Standardabweichung (Toleranzbereich: [0,7; 1,3])

2. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit

3. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen der Standardabweichung