Mathematik Zentralmatura BHS - Jänner 2021 - kostenlos vorgerechnet

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sicherheit auf dem Schulweg - Aufgabe A_293

Im Nahbereich von Schulen stellen die zu- und abfahrenden Fahrzeuge ein großes Problem dar.

Teil a

Vor einer Schule werden Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt. Es ist bekannt, dass sich Kfz-Lenker/innen mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 26 % an das geltende Tempolimit halten.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich von 20 zufällig ausgewählten Kfz-Lenkerinnen und -Lenkern mehr als die Hälfte an das geltende Tempolimit hält.
[1 Punkt]

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Sicherheit auf dem Schulweg - Aufgabe A_293

Im Nahbereich von Schulen stellen die zu- und abfahrenden Fahrzeuge ein großes Problem dar.

Teil b

Vor einer Schule wurden über einen Zeitraum von einer Woche Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt. 2 958 Fahrzeuge, das sind 85 % aller kontrollierten Fahrzeuge, fuhren langsamer

als 33 km/h.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, wie viele Fahrzeuge in dieser Woche insgesamt kontrolliert wurden.

[1 Punkt]

Die Ergebnisse dieser Geschwindigkeitsmessungen sollen in einem Boxplot dargestellt werden.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erklären Sie, warum für diesen Boxplot die Aussage „Das Quartil Q3 beträgt 35 km/h“ nicht richtig sein kann.

[1 Punkt]

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Sicherheit auf dem Schulweg - Aufgabe A_293

Im Nahbereich von Schulen stellen die zu- und abfahrenden Fahrzeuge ein großes Problem dar.

Teil c

Der relative Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, kann für einen bestimmten Zeitabschnitt modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( t \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^t}\)

mit:

• t ... Zeit ab Beginn der Beobachtung
• f(t) ... relativer Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, zur Zeit t
• b ... Parameter (b > 0, b ≠ 1)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters b auf das Monotonieverhalten der Funktion f.

[1 Punkt]

Folgende Berechnung wurde durchgeführt:
\(f\left( 0 \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^0} = 0,1 + 0 = 0,1\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

 Beschreiben Sie, welcher Fehler bei dieser Berechnung gemacht wurde.

[1 Punkt]

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New Horizons - Aufgabe A_294

New Horizons ist eine Raumsonde, die im Jahr 2006 von der Erde aus in den Weltraum gestartet ist und immer noch unterwegs ist.

Teil a

Rund 9 Jahre nach ihrem Start flog New Horizons am Zwergplaneten Pluto vorbei. Sie bewegte sich in diesen 9 Jahren mit einer mittleren Geschwindigkeit von 16,2 km/s. Es gilt vereinfacht: 1 Jahr = 365 Tage.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Länge des Weges, den New Horizons in 9 Jahren zurückgelegt hat.

[1 Punkt]

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New Horizons - Aufgabe A_294

New Horizons ist eine Raumsonde, die im Jahr 2006 von der Erde aus in den Weltraum gestartet ist und immer noch unterwegs ist.

Teil b

Im unten stehenden Diagramm ist die Entfernung von New Horizons von der Erde in Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise dargestellt. Eine in der Astronomie gebräuchliche Längeneinheit ist die sogenannte astronomische Einheit (AE). In einer Entfernung von 30 bis 50 AE von der Erde durchfliegt New Horizons den sogenannten Kuipergürtel.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus dem obigen Diagramm ab, wie lange New Horizons benötigt, um den gesamten Kuipergürtel zu durchfliegen.

[1 Punkt]

4 Jahre nach dem Start von New Horizons ist eine weitere Raumsonde von der Erde gestartet. Diese Raumsonde fliegt auf derselben Route wie New Horizons, aber mit der halben Geschwindigkeit.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie im obigen Diagramm die Entfernung dieser Raumsonde von der Erde in Abhängigkeit von der Zeit ein.

[1 Punkt]

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New Horizons - Aufgabe A_294

New Horizons ist eine Raumsonde, die im Jahr 2006 von der Erde aus in den Weltraum gestartet ist und immer noch unterwegs ist.

Teil c

Die nachstehende (nicht maßstabgetreue) Skizze zeigt die Position von New Horizons relativ zur Sonne.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie in der obigen Skizze den Sehwinkel α ein, unter dem die Sonne von New Horizons aus gesehen wird. [1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie aus r und x eine Formel zur Berechnung des Sehwinkels α.
α = [1 Punkt]

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Niederschlagsmessung - Aufgabe A_295

Teil a

An einem bestimmten Ort wurde an jedem Tag eines bestimmten Monats die Niederschlagshöhe gemessen. In der nachstehenden Abbildung sind die gesammelten Daten als Boxplot dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]

[1 Punkt]

• Aussage 1: An jedem Tag dieses Monats gab es Niederschlag.
• Aussage 2: An 3/4 aller Tage dieses Monats betrug die Niederschlagshöhe höchstens 15 mm.
• Aussage 3: An über 50 % aller Tage dieses Monats betrug die Niederschlagshöhe mehr als 20 mm.
• Aussage 4: An mindestens 25 % aller Tage dieses Monats hat es keinen Niederschlag gegeben.
• Aussage 5: An 75 % aller Tage dieses Monats betrug die Niederschlagshöhe mehr als 20 mm.

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Niederschlagsmessung - Aufgabe A_295

Teil b

Niederschlagsmengen werden oft in der Einheit „Liter pro Quadratmeter“ (L/m²) angegeben. Alternativ wird aber auch die zugehörige Niederschlagshöhe in der Einheit „Millimeter“ (mm) angegeben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie, dass eine Niederschlagsmenge von 1 L/m² genau einer Niederschlagshöhe von 1 mm entspricht.

[1 Punkt]

Im Juni 2016 betrug die Niederschlagshöhe an einer bestimmten Messstation in Wien insgesamt 79 mm. Der Normalwert (langjähriger Durchschnittswert) für Wien im Juni beträgt 70 mm.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

 Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Niederschlagshöhe im Juni 2016 über dem Normalwert lag.
[1 Punkt]

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Niederschlagsmessung - Aufgabe A_295

Teil c

Die Höhe, in der Niederschlagsmessgeräte über dem Boden aufgestellt werden, hängt von der Höhe der Messstation über dem Meeresspiegel (ü. d. M.) ab.

• Bei einer Höhe der Messstation von bis zu 500 m ü. d. M. beträgt die Höhe, in der ein Niederschlagsmessgerät aufgestellt wird, genau 1 m über dem Boden.
• Bei einer Höhe der Messstation von mehr als 500 m ü. d. M. und bis zu 800 m ü. d. M. wird das Niederschlagsmessgerät 1,5 m über dem Boden aufgestellt.
• Bei einer Höhe der Messstation von mehr als 800 m ü. d. M. wird das Niederschlagsmessgerät 2 m über dem Boden aufgestellt.
   

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Veranschaulichen Sie diese Informationen im nachstehenden Koordinatensystem.

[1 Punkt]

Bild

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Torre de Collserola - Aufgabe A_296

Teil a

Vom Fußpunkt des Torre de Collserola (Fernsehturm in Barcelona) bis zu dessen Aussichtsplattform führt ein Aufzug senkrecht nach oben. In der nachstehenden Abbildung ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v bei einer Aufzugsfahrt modellhaft dargestellt.

Bild

• t ... Zeit in s
• v(t) ... Geschwindigkeit zur Zeit t in m/s

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die maximale Geschwindigkeit bei dieser Aufzugsfahrt in km/h.

[1 Punkt]

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Torre de Collserola - Aufgabe A_296

Teil b

Vom Fußpunkt des Torre de Collserola (Fernsehturm in Barcelona) bis zu dessen Aussichtsplattform führt ein Aufzug senkrecht nach oben. In der nachstehenden Abbildung ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v bei einer Aufzugsfahrt modellhaft dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Steigung k der Geschwindigkeit-Zeit- Funktion v im Zeitintervall [105; 150].

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

 Interpretieren Sie die Steigung k und ihr Vorzeichen im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.

[1 Punkt]

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Torre de Collserola - Aufgabe A_296

Teil c

Vom Fußpunkt des Torre de Collserola (Fernsehturm in Barcelona) bis zu dessen Aussichtsplattform führt ein Aufzug senkrecht nach oben. In der nachstehenden Abbildung ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v bei einer Aufzugsfahrt modellhaft dargestellt.

Bild

Im Zeitintervall [0; 30] gilt für die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v:
\(v\left( t \right) = - \dfrac{1}{{11250}} \cdot {t^3} + \dfrac{1}{{250}} \cdot {t^2}{\rm{ mit }}0 \le t \le 30\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Berechnen Sie die Länge des Weges, der bei dieser Aufzugsfahrt insgesamt zurückgelegt wird.

[2 Punkte]