Aufgabe 1319
AHS - 1_319 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benutzung des Autos
Einer Veröffentlichung der Statistik Austria kann man entnehmen, dass von den über 15-Jährigen Österreicherinnen und Österreichern ca. 38,6 % täglich das Auto benutzen (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in).
Quelle: Statistik Austria (Hrsg.) (2013). Umweltbedingungen, Umweltverhalten 2011. Ergebnisse des Mikrozensus. Wien: Statistik Austria. S. 95.
Aufgabenstellung
Es werden 500 über 15-jährige Österreicher/innen zufällig ausgewählt. Geben Sie für die Anzahl derjenigen Personen, die täglich das Auto (als Lenker/in oder als Mitfahrer/in) benutzen, näherungsweise ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall mit 95%iger Wahrscheinlichkeit an!
Lösungsweg
Es handelt sich um eine diskrete Verteilung, weil die Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: benützt täglich ein Auto / benützt nicht täglich ein Auto. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person täglich das Auto nützt ist unabhängig davon ob eine andere Person täglich das Auto nützt. Daher bietet siche eine Binomialverteilung an. Für große Stichproben, so wie es hier mit n=500 der Fall ist, bietet es sich an, die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung zu approximieren. In diesem Fall gilt:
- Erwartungswert bei großem n: \(\mu =E\left( x \right) = n \cdot p\)
- Standardabweichung bei großem n: \(\sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Hat eine Zufallsvarialbe X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\) in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
Für die tabellarische Ermittlung von z aus \(\gamma\) gibt es 2 Möglichkeiten
- man geht mit dem Wert \(\Phi \left( z \right) = \dfrac{{\gamma + 1}}{2}\) in eine \(\Phi \left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
- man gent mit dem Wert \(D\left( z \right) = \gamma \) in eine \(D\left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
Wir wählen daher folgenden Rechenweg:
\(\begin{array}{l} n = 500\\ p = 0,386\\ \\ \mu = E\left( X \right) = n \cdot p = 500 \cdot 0,386 = 193\\ \sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt {500 \cdot 0,386 \cdot 0,614} \approx 10,8859 \end{array}\)
Für das gesuchte symmetrisches 95% Konfidenzintervall gilt:
Mit dem Wert D(z)=0,95gehen wir in die entsprechende z-Tabelle und entnehmen dort z=1,96
D(z) entspricht der Fläche unter der Gaußkurve, zwischen 2 vom Erwartungswert E bzw μ um \( \pm z \cdot \sigma \) entfernt liegende Grenzen.
Somit können wir das gesuchte 95% Konfidenzintervall wie folgt angeben:
\(\begin{array}{l} {p_{1,2}} = \mu \pm z \cdot \sigma \\ \left[ {{p_1},\,\,{p_2}} \right] = \left[ {\mu - \sigma ;\,\,\mu + \sigma } \right]\\ \left[ {{p_1},\,\,{p_2}} \right] = 193 \pm 1,96 \cdot 10,886 = \left[ {171;\,\,215} \right] \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\left[ {{p_1},\,\,{p_2}} \right] = \left[ {171;215} \right]\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe eines symmetrischen Lösungsintervalls laut Lösungserwartung.
Toleranzintervall für die untere Grenze: [170; 173]
Toleranzintervall für die obere Grenze: [213; 216]