Aufgabe 4476
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kosmetikartikel - Aufgabe A_306
Teil a
Ein Parfum wird in bestimmte Fläschchen abgefüllt. Das Füllvolumen wird dabei als annähernd normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 1,5 ml angenommen. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ des Füllvolumens ab.
μ = ml
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem das Füllvolumen eines zufällig ausgewählten Fläschchens mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % liegt.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Füllvolumen eines zufällig ausgewählten Fläschchens höchstens 76 ml beträgt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung hat Ihren Wendepunkt an der Stelle vom Erwartungswert. An dieser Stelle hat die Dichtefunktion – sie ist allerdings nicht eingezeichnet - ihr Maximum.
Aus der Abbildung können wir wie folgt ablesen:
μ = 75 ml
2. Teilaufgabe:
Wir kennen den Erwartungswert μ = 75 ml und die Streuung σ = 1,5 ml.
80% der Fläche der Dichtefunktion der Normalverteilung sollen zwischen der unteren und der oberen Grenze liefen.
- Dh 10% der Fläche liegen links von der unteren Grenze: \(P(X \leqslant a) = 0,1\)
- 1. Möglichkeit: GeoGebra: InversNormal(75,1.5,0.1) liefert die untere Grenze mit 73,0777 ml
- 2. Möglichkeit im GeoGebra Wahrscheinlichkeitsrechner:
Erwartungswert und Streuung eingeben, dann das linke Intervall wählen und a bestimmen indem man die Wahrscheinlichkeit 0,1 eingibt
-
Dh 10% der Fläche liegen rechts von der oberen Grenze: \(P(X \geqslant a) = 0,9\)
-
1. Möglichkeit: GeoGebra: InversNormal(75,1.5,0.9) liefert die obere Grenze mit 77,9223 ml
-
2. Möglichkeit im GeoGebra Wahrscheinlichkeitsrechner:
Erwartungswert und Streuung eingeben, dann das rechte Intervall wählen und a bestimmen indem man die Wahrscheinlichkeit 0,9 eingibt
-
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
3. Teilaufgabe:
Es handelt sich dabei um die Strecke von der x-Achse bis zur Verteilungsfunktion an der Stelle x=76 ml.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
μ = 75 ml
2. Teilaufgabe
Intervall: [73,077...; 76,922...]
3. Teilaufgabe
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ablesen des Erwartungswerts μ.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Intervalls.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen der Wahrscheinlichkeit.