Aufgabe 4090

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil a

Bei Maschine A sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.

beispiel_4090_1

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Skizzieren Sie in der nachfolgenden Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.  
[1 Punkt]

beispiel_4090_2

 

2. Teilaufgabe:

Veranschaulichen Sie mithilfe der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm hat.
[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe.

Die Verteilungsfunktion muss einen s-förmigen Verlauf haben. Sie verläuft zunächst asymptotisch zur x-Achse, steigt dann zunehmend steiler an, hat die stärkste Steigung im Wendepunkt der dort liegt wo der Erwartungswert μ = 10,00 mm ist, um dann zunehmend abzuflachen und sich der Geraden y=1 asymptotisch anzunähern.

Beachte:

  • Da die Standardabweichung (σ = 0,06 mm) sehr klein ist, steigt die Dichte (die y-Achse der Dichtefunktion auf Werte >> 1 an, weil die Fläche unter der Dichtefunktion den Wert 1 haben muss.
  • Die zugehörige Verteilungsfunktion hat ihr Maximum auf der y-Achse natürlich bei 1.
beispiel_4090_3

2. Teilaufgabe:

Die Länge der Strecke von der x-Achse bis zu einem senkrecht darüber befindlichem Punkt auf der Verteilungsfunktion entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von höchstens 10,02 mm hat. Die Differenz auf die Wahrscheinlichkeit 1 entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm hat.

beispiel_4090_4

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe:

beispiel_4090_3

2. Teilaufgabe:

beispiel_4090_4

 

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe:

1 × A1: Für das richtige Skizzieren des Graphen der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 (charakteristischer Funktionsverlauf und Funktionswert an der Stelle μ richtig eingezeichnet) (KA)

2. Teilaufgabe:

1 × A2: Für die richtige Veranschaulichung der Wahrscheinlichkeit in Abbildung 2 (KB)