Kosten- und Preistheorie
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Formeln
Kosten- und Preistheorie
In der Kosten- und Preistheorie versucht man Kosten, Preise sowie Erlöse und Gewinne durch einfache mathematische Funktionen zu modellieren. Es handelt sich dabei um ein Teilgebiet der Mikroökonomie, welches die Preisbildung als Folge des Aufeinandertreffens von Angebot und Nachfrage auf verschiedenen Märkten untersucht.
Die wichtigsten Funktionen sind die
\(K\left( x \right) = {K_{fix}} + {K_{{\mathop{\rm var}} }}\left( x \right)\) | Kostenfunktion, beschreibt die gesamten Kosten als Summe der Fixkosten und der variablen Kosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge |
\(P\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\) | Preisfunktion, beschreibt den erzielbaren Preis pro Stück |
\(E\left( x \right) = P\left( x \right) \cdot x\) | Erlösfunktion, beschreibt den Erlös pro Stück |
\(G\left( x \right) = E\left( x \right) - K\left( x \right)\) | Gewinnfunktion, beschreibt den Gewinn als Differenz von Erlös und Gesamtkosten |
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Aufgaben
Aufgabe 4592
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parfumherstellung – Aufgabe B_556
In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.
Teil a
Die Gesamtkosten für die Produktion des Parfums Desert können durch die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K beschrieben werden. Für die zugehörige Grenzkostenfunktion K‘ gilt:
\(\eqalign{ & K'\left( x \right) = 0,15 \cdot {x^2} - 6 \cdot x + c{\text{ }} \cr & {\text{mit }}x \geqslant 0 \cr} \)
- x ... Produktionsmenge in ME
- K′(x) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in GE/ME
- c ... Parameter
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, für welche Produktionsmengen ein progressiver Kostenverlauf vorliegt.
[0 / 1 P.]
Bei ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen gilt folgende Bedingung:
Die Grenzkostenfunktion muss im gesamten Definitionsbereich positiv sein.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie nach, dass diese Bedingung nur für c > 60 erfüllt ist.
[0 / 1 P.]
Die Fixkosten bei der Produktion dieses Parfums betragen 250 GE.
Es gilt: c = 80
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K auf.
[0 / 1 P.]
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Aufgabe 4593
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parfumherstellung – Aufgabe B_556
In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.
Teil b
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Gesamtkostenfunktion K für die Produktion des Parfums Sunrise dargestellt. Der Verkaufspreis dieses Parfums beträgt 75 GE/ME.
Abbildung fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Erlösfunktion E ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Gewinnbereich ab.
[ ; ] (in ME)
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4594
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parfumherstellung – Aufgabe B_556
In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.
Teil c
Für die Gewinnfunktion G für die Produktion des Parfums Moonlight gilt:
\(G\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^3} + 2,4 \cdot {x^2} - 9 \cdot x - 180\)
- x ... Absatzmenge in ME
- G(x) ... Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn pro ME, der bei einem Absatz von 25 ME
erzielt wird.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den maximalen Gewinn.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4597
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Küchengerät – Aufgabe B_557
Ein neues Küchengerät wird auf den Markt gebracht.
Teil c
Eine Marktforschungsanalyse zu diesem Küchengerät hat ergeben, dass folgende Mengen bei den jeweiligen Preisen abgesetzt werden können:
abgesetzte Menge in Stück |
210 | 420 | 1430 | 1760 |
Preis in Euro/Stück |
55 | 45 | 20 | 15 |
Die Kosten für die Produktion von 1 430 Stuck betragen 28.000 Euro. Diese Menge wird zu einem Preis von 20 Euro/Stück abgesetzt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Überprüfen Sie nachweislich, ob der Break-Even-Point bei weniger als 1 430 Stück erreicht wird.
[0 / 1 P.]
Mit den Daten aus der obigen Tabelle soll mithilfe von exponentieller Regression eine Preis- Absatz-Funktion p erstellt werden.
\(p\left( x \right) = a \cdot {e^{ - \lambda \cdot x}}\)
- x ... abgesetzte Menge in Stück
- p(x) ... Preis bei der abgesetzten Menge x in Euro/Stück
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der Funktion p auf.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie, warum es gemäß diesem Modell keine Sättigungsmenge gibt.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5629
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Farben und Lacke – Aufgabe B_539
Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.
Teil a
Die Gesamtkosten für die Produktion von Acrylfarbe werden durch eine Kostenfunktion K mit
\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
beschrieben.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
[0 / 1 P.]
Wenn ____1______ ist, dann kann K keine ertragsgesetzliche Kostenfunktion sein, weil in diesem Fall ____2____ .
Satzteil 1:
- Lücke 1_1: b < 0
- Lücke 1_2: c < 0
- Lücke 1_3: b < c
Satzteil 2:
- Lücke 2_1: die Fixkosten negativ sind
- Lücke 2_2: keine Kostenkehre existiert
- Lücke 2_3: die Grenzkosten bei der Produktionsmenge 0 negativ sind
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Aufgabe 5630
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Farben und Lacke – Aufgabe B_539
Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.
Teil b
Der Graph der Gewinnfunktion G für Acrylfarbe ist in der nachstehenden Abbildung im Intervall [20; 85] dargestellt.
Abbildung fehlt
- x … Absatzmenge in ME
- G(x) … Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
Die Fixkosten steigen um 50 GE. Die variablen Kosten und der Erlös bleiben unverändert. Der Gewinn unter diesen veränderten Bedingungen wird durch die Gewinnfunktion G1 beschrieben.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der neuen Gewinnfunktion G1 im Intervall [20; 85] ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung die untere Gewinngrenze ab, die sich unter diesen veränderten Bedingungen ergibt.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5631
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Farben und Lacke – Aufgabe B_539
Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.
Teil c
Für einen bestimmten Kunstharzlack beträgt der Höchstpreis 60 €/L. Bei einem Preis von 20 €/L können 200 L dieses Lacks abgesetzt werden. Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der Absatzmenge kann für diesen Lack durch die lineare Preis-Absatz-Funktion p beschrieben werden.
- x … Absatzmenge in L
- p(x) … Preis bei der Absatzmenge x in €/L
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der linearen Preis-Absatz-Funktion p auf.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Preis-Absatz-Funktion p im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Sättigungsmenge.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5645
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rasenmähroboter – B_542
Immer öfter erledigen Rasenmähroboter die Mäharbeiten in Garten.
Teil c
Die Kosten für die Herstellung von Rasenmährobotern werden modellhaft durch die streng monoton steigende Kostenfunktion K beschrieben.
\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d{\text{ mit }}a > 0;\,\,d > 0;\)
- x ... Produktionsmenge in ME
- K(x) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in GE
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden angegebenen Funktionen jeweils den passenden Funktionsgraphen aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
- Funktion 1: Kostenfunktion K
- Funktion 2: Grenzkostenfunktion K′
- Funktionsgraph A:
Abbildung fehlt
- Funktionsgraph B
Abbildung fehlt
- Funktionsgraph C
Abbildung fehlt
- Funktionsgraph D
Abbildung fehlt
Aufgabe 5654
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Süßwarenproduktion – Aufgabe B_545
Ein Unternehmen produziert Süßwaren.
Teil a
Eine bestimmte Sorte von Schokoriegeln wird im Werk A und im Werk B produziert. Aufgrund unterschiedlicher Produktionsbedingungen sind die Kostenfunktionen für die Produktion in den beiden Werken unterschiedlich.
- x … Produktionsmenge in ME
- KA(x) … Gesamtkosten im Werk A bei der Produktionsmenge x in GE
- KB(x) … Gesamtkosten im Werk B bei der Produktionsmenge x in GE
Bei der Produktionsmenge x1 sind die jeweiligen Gesamtkosten in beiden Werken gleich hoch.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Argumentieren Sie, dass bei der Produktionsmenge x1 auch die jeweiligen Durchschnittskosten in beiden Werken gleich hoch sind.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
- Für KA gilt: \({K_A}\left( x \right) = 0,0001 \cdot {x^2} + 0,17 \cdot x + 200\)
- Für KB gilt: KB ist eine lineare Funktion. Die Fixkosten betragen 260 GE, die variablen Stückkosten betragen 0,3 GE/ME.
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion KB auf.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diejenige Produktionsmenge, bei der die jeweiligen Grenzkosten in beiden Werken gleich hoch sind.
[0 / 1 P.]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Aufgabe 5655
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Süßwarenproduktion – Aufgabe B_545
Ein Unternehmen produziert Süßwaren.
Teil b
Die Gesamtkosten bei der Produktion von Waffelschnitten können durch die lineare Kostenfunktion K beschrieben werden.
\(K\left( x \right) = a \cdot x + b\)
- x … Produktionsmenge in ME
- K(x) … Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
In Abbildung 1 sind die Graphen der Grenzkostenfunktion K‘ und der Durchschnittskostenfunktion \(\overline K \) dargestellt.
Abbildung fehlt
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie die Steigung a der Kostenfunktion K an.
a = GE/ME
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen der Kostenfunktion K ein.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 5656
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Süßwarenproduktion – Aufgabe B_545
Ein Unternehmen produziert Süßwaren.
Teil c
Für die Produktion von Schokolinsen sind die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E bekannt:
\(\begin{array}{l} K\left( x \right) = 0,0003 \cdot {x^3} - 0,017 \cdot {x^2} + 0,4 \cdot x + 40\\ E\left( x \right) = 1,5 \cdot x \end{array}\)
- x … produzierte bzw. abgesetzte Menge in ME
- K(x) … Gesamtkosten bei der Produktionsmenge x in GE
- E(x) … Erlös bei der Absatzmenge x in GE
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der Gewinnfunktion G auf.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den maximalen Gewinn.
[0 / 1 P.]
Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
\(\begin{array}{l} \overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x} = 0,0003 \cdot {x^2} - 0,017 \cdot x + 0,4 + \dfrac{{40}}{x}\\ 0,0006 \cdot x - 0,017 - \dfrac{{40}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x \approx 52,5 \end{array}\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie die Zahl 52,5 im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]