Aufgabe 4592
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parfumherstellung – Aufgabe B_556
In einem Betrieb wird Parfum hergestellt.
Teil a
Die Gesamtkosten für die Produktion des Parfums Desert können durch die ertragsgesetzliche Kostenfunktion K beschrieben werden. Für die zugehörige Grenzkostenfunktion K‘ gilt:
\(\eqalign{ & K'\left( x \right) = 0,15 \cdot {x^2} - 6 \cdot x + c{\text{ }} \cr & {\text{mit }}x \geqslant 0 \cr} \)
- x ... Produktionsmenge in ME
- K′(x) ... Grenzkosten bei der Produktionsmenge x in GE/ME
- c ... Parameter
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie, für welche Produktionsmengen ein progressiver Kostenverlauf vorliegt.
[0 / 1 P.]
Bei ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen gilt folgende Bedingung:
Die Grenzkostenfunktion muss im gesamten Definitionsbereich positiv sein.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie nach, dass diese Bedingung nur für c > 60 erfüllt ist.
[0 / 1 P.]
Die Fixkosten bei der Produktion dieses Parfums betragen 250 GE.
Es gilt: c = 80
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K auf.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Für x > 20 liegt ein progressiver Kostenverlauf vor.
2. Teilaufgabe
Die Bedingung, dass die Grenzkostenfunktion der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion im gesamten Definitionsbereich positiv ist, ist nur für c>60 erfüllt.
3. Teilaufgabe
\(K\left( x \right) = 0,05 \cdot {x^3} - 3 \cdot {x^2} + 80x + 250\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Produktionsmengen mit einem progressiven Kostenverlauf.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Nachweisen.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Kostenfunktion K.