Aufgabe 1151

AHS - 1_151 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Differenzenquotient
Eine Funktion \(s:\left[ {0;6} \right] \to {\Bbb R}\) beschreibt den von einem Radfahrer innerhalb von t Sekunden zurückgelegten Weg. Es gilt: \(s\left( t \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {t^2} + 2 \cdot t\) Der zurückgelegte Weg wird dabei in Metern angegeben, die Zeit wird ab dem Zeitpunkt t0 = 0 in Sekunden gemessen.

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Differenzenquotienten der Funktion s im Intervall [0; 6] und deuten Sie das Ergebnis!

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Differenzenquotient
Der Differenzenquotient (die Steigung der Sekante, die mittlere Änderung) beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe zur Veränderung einer unabhängigen Größe.

  • Die abhängige Größe ist der zurückgelegte Weg
  • Die unabhängige Größe ist die Fahrzeit

Lösungsweg

\(\eqalign{ & s\left( t \right) = \frac{1}{2} \cdot {t^2} + 2 \cdot t \cr & s\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot {0^2} + 2 \cdot 0 = 0 \cr & s\left( 6 \right) = \frac{1}{2} \cdot {6^2} + 2 \cdot 6 = 18 + 12 = 30 \cr} \)

Wir schreiben den Differenzenquotienten wie folgt an uns setzen gemäß der Angabe ein:
\(\overline v = \dfrac{{s\left( 6 \right) - s\left( 0 \right)}}{{6 - 0}} = \dfrac{{30 - 0}}{6} = 5\)

Deutung: Die mittlere Geschwindigkeit (auch Durchschnittsgeschwindigkeit) des Radfahrers im Zeitintervall [0; 6] beträgt 5 m/s.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:\(\overline v = 5\dfrac{m}{s}\)

Das Ergebnis bedeutet, dass die mittlere Geschwindigkeit (auch Durchschnittsgeschwindigkeit) des Radfahrers im Zeitintervall [0; 6] 5 m/s beträgt.

Lösungsschlüssel:
Die Lösung gilt als richtig, wenn der Differenzenquotient richtig berechnet und gedeutet wurde.