Aufgabe 4016
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
Teil a
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.
Das Profil des Bodens kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion p beschrieben werden, die Unterkante der Messlatte kann durch den Graphen einer linearen Funktion f beschrieben werden. Die Messlatte berührt den Boden in den Punkten \({P_1} = \left( {{x_1}\left| {p\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right){\text{ und }}{P_2} = \left( {{x_2}\left| {p\left( {{x_2}} \right)} \right.} \right)\). Eine der folgenden Aussagen stimmt nicht mit der obigen Abbildung überein.
- Aussage 1: \(k = \dfrac{{p\left( {{x_2}} \right) - p\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
- Aussage 2: \(p'\left( {{x_1}} \right) = 0\)
- Aussage 3: \(p'\left( {{x_2}} \right) = k\)
- Aussage 4: \(p'\left( {{x_1}} \right) = p'\left( {{x_2}} \right)\)
- Aussage 5: \(f\left( {{x_1}} \right) = p\left( {{x_1}} \right)\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Messlatte liegt in den Punkten P1 und P2 am unebenen Boden auf. Diese beiden Punkte liegen auf einer Geraden.
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, denn für die Steigung einer Geraden gilt: \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) und das entspricht \(k = \dfrac{{p\left( {{x_2}} \right) - p\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch (und daher anzukreuzen!), denn die 1. Ableitung der Gleichung einer linearen Funktion entspricht deren Steigung k. Wie man der Abbildung entnehmen kann, hat die (Unterkante der) Messlatte aber ein Gefälle, also: \(p'\left( {{x_1}} \right) = k \ne 0\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, denn die 1. Ableitung der Gleichung einer linearen Funktion entspricht deren Steigung k
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, denn die (unbiegsame) Latte bzw. die Gerade die sie modelliert hat an allen Stellen das gleiche k
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, was wir aus der Angabe für den Punkt \({P_1} = \left( {{x_1}\left| {p\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right) \Rightarrow f\left( {x = {x_1}} \right) = p\left( {{x_1}} \right)\) schlussfolgern können.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × C: Für das richtige Ankreuzen (KA)