Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern
Formel
Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern
Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstieg in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente, ausgehend vom einfachsten Objekt, dem "Punkt".
Punkt
Ein Punkt repräsentiert eine konkrete Position in einem Koordinatensystem. Der Punkt ist ein null-dimensionales Objekt, also ein Objekt ohne Ausdehnung (ohne Länge, Breite oder Höhe). Daher hat er auch keine physikalische Einheit. Punkte werden mit Großbuchstaben beschriftet, etwa P1, P2,...
Linie
Die Linie ist ein Oberbegriff für zusammenhängende eindimensionale geometrische Objekte wie Geraden oder Kurven. Als eindimensionales Objekt hat die Linie eine Länge und somit die physikalische Einheit "Meter". Linien werden mit Kleinbuchstaben beschriftet, etwa mit g, f. Gerade werden mit den Mitteln der linearen Geometrie beschrieben, Kurven mit den Mitteln der nichtlinearen Geometrie.
Gerade
Die Gerade ist eine unendlich lange Linie ohne Begrenzungspunkte. Eine Gerade wird durch 2 Punkte definiert und verbindet diese durch eine nicht gekrümmte Linie.
Strahl bzw. Halbgerade
Die Halbgerade ist eine unendlich lange Linie, die von einem Begrenzungspunkt ausgeht.
Strecke
Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten. Die beiden Punkte begrenzen die Strecke, indem sie den Anfangs und den Endpunkt der Strecke festlegen. Entlang des Weges vom Anfangs- zum Endpunkt liegen unendlich viele Punkte. Wenn die Strecke eine Länge ungleich null hat, dann stellt sie eine unendliche Punktmenge dar.
Geodäte
Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten auf gekrümmten Flächen (Kugeloberfläche) oder in der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie
Kurve
Eine Kurve ist eine gekrümmte Linie. Obwohl die Punkte der Kurve in einer Ebene oder sogar im Raum liegen, ist die Kurve eindimensional, weil man sich auf ihr nur in eine Richtung bzw. deren Gegenrichtung bewegen kann. Mandelbrot erkannte, dass es Kurven (Küstenlinien) gibt, die ein Mittelding zwischen Linie und Fläche sind, und führte neben den ganzzahligen Dimensionen die gebrochenzahlige fraktale Dimensionen ein.
Geometrische Figur
Eine geometrische Figur ist eine Teilmenge von Punkten, die entweder in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum liegen. Letztere werden auch als Körper bezeichnet. Die einfachste geometrische Figur ist die Gerade, bzw. die Strecke als deren Teilmenge.
Geometrischer Körper
Geometrische Körper kann man anhand ihrer Kanten, Ecken und Begrenzungsflächen unterscheiden
Stereometrie
Die Stereometrie ist jenes Teilgebiet der Geometrie, welches sich mit dreidimensionalen Gebilden beschäftigt. Dazu gehören speziell die Berechnung vom Volumen und von der Oberfläche des Körpers.
Kanten eines Körpers
Kanten entstehen dort, wo sich 2 Begrenzungsflächen eines Körpers schneiden.
Ecken eines Körpers
Ecken entstehen dort, wo sich 3 Kanten eines Körpers schneiden.
Oberfläche eines Körpers
Die Oberfläche eines Körpers setzt sich zusammen aus der Mantelfläche plus den Grund- bzw. Deckflächen. Die Oberfläche ist also die Summe aller Begrenzungsflächen. Oberfläche = Mantel(fläche) + Grundfläche + Deckfläche
Netz eines Körpers
Als Netz bezeichnet man die in einer Ebene ausgebreitete Oberfläche. Breitet man alle Begrenzungsflächen in einer Ebene aus, so erhält man das Netz des Körpers
Mantelfläche eines Körpers
Die Mantelfläche eines Körpers ist dessen Oberfläche, abzüglich der Grund- und der Deckfläche
Diagonale in geometrischen Figuren und Körpern
Als Diagonale bezeichnet man die kürzest mögliche Verbindung zweier einander gegenüber liegender Eckpunkte in Vielecken oder einander gegenüber liegender Ecken eines Körpers.
Sehwinkel
Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt in der Ferne von einem Beobachter wahrgenommen wird.
Höhenwinkel
Der Höhenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen aufwärts gemessen wahrgenommen wird
Tiefenwinkel
Der Tiefenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen abwärts gemessen wahrgenommen wird
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Geometrie | Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Analytische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven |
Aktuelle Lerneinheit
| Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern | Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstig in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Abbildungsgeometrie | In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen |
| Analytische Geometrie | Bei der analytischen Geometrie werden Aufgaben der Geometrie auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt |
| Vektor | Ein Vektor ist durch seine Richtung, seine Orientierung und durch seinen Betrag gekennzeichnet |
| Trigonometrie | Es geht bei der Trigonometrie um die Berechnung von rechtwinkeligen Dreiecken mit Hilfe vom Verhältnis zweier Dreiecksseiten |
| Koordinatensysteme | Koordinatensysteme dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben |
Vertiefe dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Zylinderstumpf | Ein Zylinderstumpf entsteht, wenn man einen Drehzylinder mit einer Ebene schneidet |
| Symmetralen | Die Streckensymmetrale halbiert die Strecke und steht normal auf diese Strecke. Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel, sodass Punkte die auf ihr liegen den selben Normalabstand von den beiden Schenkeln dieses Winkels haben.
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| Euklidische und nichteuklidische Geometrie | Ziel ist eine Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade |
| Allgemeines Viereck | Bild
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| Besondere Punkte im Dreieck | Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt bilden die vier besonderen Punkte im Dreieck. |
| Ergänzungswinkel und Winkelpaare | Unter Ergänzungswinkel versteht man Komplementär- und Supplementärwinkel |
| Arten von Winkel | Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. |
| Kugel | Die Kugel ist jener Rotationskörper, der bei Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entsteht |
| Pyramide | Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks |
| Kreis und Gerade | Eine Sehne ist jener Teil einer Geraden (also eine Strecke), die einen Kreis in 2 Punkten schneidet, wobei der eine Schnittpunkt der Anfang und der andere Schnittpunkt das Ende der Strecke ist |
| Kugelkalotte | Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht. Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke. Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde. Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. |
| Kegelstumpf | Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat |
| Drehkegel | Ein Drehkegel ist ein Körper dessen Grundfläche ein Kreis ist. Der Mittelpunkt des Kreises, ist zugleich der Fußpunkt der Kegelhöhe
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| Zylinder | Ein Zylinder ist ein Körper dessen Grund- und Deckfläche flächengleiche Kreise sind und dessen Mantellinie auf die Grund- und Deckfläche normal steht. |
| Pyramidenstumpf | Schneidet man eine Pyramide unterhalb der Spitez ab, so bleibt ein Pyramidenstumpf zurück |
| Prisma | Ein gerades Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. |
| Quader | Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei gegenüberliegende Rechtecke gleich groß sind |
| Würfel | Ein Würfel ist ein Körper der von 6 Quadraten begrenzt wird. |
| Kreis | Jene Linie die einen Kreis bildet, setzt sich aus der Menge all jener Punkte der Ebene zusammen, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand hat |
| Polygon | Ein Polygon ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug und gleich vielen Ecken gebildet wird |
| Trapez | Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind |
| Parallelogramm bzw. Rhomboid | Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind |
| Rechteck | Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind |
| Deltoid (Drachenviereck) | Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt. |
| Raute bzw. Rhombus | Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
| Quadrat | Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
| Rechtwinkeliges Dreieck | Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel |
| Gleichseitiges Dreieck | Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten |
| Gleichschenkeliges Dreieck | Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis |
| Allgemeines Dreieck | Verbindet man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken, so erhält man ein allgemeines Dreieck |
| Winkelmaße | Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossene Winkels, kann man u.a. mit dem Grad- und dem Bogenmaß messen |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 11226
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zentripetalkraft
Bei der Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn mit dem Radius r mit konstanter Geschwindigkeit v ist der Betrag der Zentripetalkraft F eine Funktion in Abhängigkeit von der Masse m dieses Körpers. Es gilt:
\(F\left( m \right) = \dfrac{{m \cdot {v^2}}}{r}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Skizzieren Sie in der nachstehenden Abbildung den Graphen von F so, dass er durch den Punkt A verläuft.
Bild
Aufgabe 4253
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
New Horizons - Aufgabe A_294
New Horizons ist eine Raumsonde, die im Jahr 2006 von der Erde aus in den Weltraum gestartet ist und immer noch unterwegs ist.
Teil c
Die nachstehende (nicht maßstabgetreue) Skizze zeigt die Position von New Horizons relativ zur Sonne.
Bild
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der obigen Skizze den Sehwinkel α ein, unter dem die Sonne von New Horizons aus gesehen wird. [1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie aus r und x eine Formel zur Berechnung des Sehwinkels α.
α = [1 Punkt]
Aufgabe 4274
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Darts - Aufgabe A_302
Darts ist ein Spiel, bei dem Pfeile auf eine kreisförmige Dartscheibe geworfen werden
Teil b
Eine Dartscheibe mit dem Durchmesser D hangt senkrecht an einer Wand (siehe unten stehende nicht maßstabgetreue Abbildung in der Ansicht von der Seite).
Bild
Der Mittelpunkt der Dartscheibe und das Auge eines Spielers befinden sich in der gleichen Höhe über dem Boden.
- L ist der Abstand des Auges vom Mittelpunkt der Dartscheibe.
- α ist der Sehwinkel, unter dem der Spieler die Dartscheibe sieht.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die Größen L und α ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie mithilfe von D und L eine Formel zur Berechnung vom Winkel α auf.
α =
[0 / 1 P.]