Rechteck

Rechteck

Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Es ist ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die einander halbieren

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
• Sind sogar alle vier Seiten gleich lang, dann handelt es sich um ein Quadrat
• Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel
• Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander
• Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt

Umfang vom Rechteck

Der Umfang vom Rechteck entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen

\(U = a + b + a + b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)

Winkelsumme im Rechteck

Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)

Flächeninhalt vom Rechteck

Die Fläche vom Rechteck entspricht dem Produkt der beiden Seitenlängen

\(A = a \cdot b\)

Länge der Diagonalen im Rechteck

Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Rechteck entsrpicht der Wuzel aus der Summe der beiden quadrierten Seitenlängen

\(d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Umkreis vom Rechteck

Der Radius vom Umkreis eines Rechtecks entspricht der halben Diagonale. Der Mittelpunkt vom Umkreis liegt am Schnittpunkt der beiden Diagonalen und ist gleichzeitig der Schwerpunkt des Dreiecks.

\({r_U} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Illustration vom Rechteck

Das "perfekte" Rechteck

Das perfekte Rechteck ist ein Rechteck, dessen Fläche man lückenlos und überdeckungslos mit Quadraten füllen kann. Das kleinste derartige Rechteck hat eine Seitenlänge von 32 bzw. 33 Einheiten. Die 9 eingeschriebenen Quadrate haben die Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.

Das "goldene" Rechteck

Das goldene Rechteck ist ein Rechteck mit den beiden Seitenlängen a und a+b, die zueinander im Verhältnis vom goldenen Schnitt \(1:\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1:1,6180\) stehen. Gemäß dieser Bedingung ergibt sich wie folgt, wenn man a=1 setzt.

\(\eqalign{ & \Phi = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{a + b}}{a} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}{1} \approx \frac{{1,6180}}{1} \approx 1,6180 \cr & a = 1 \cr & a + b = 1,6180 \cr & b = 0,618 \cr} \)

Der goldene Schnitt entspricht einem Aufteilungsverhältnis einer Strecke von 61,8 zu 38,2 also von ca. 2/3 zu 1/3. Dieses Aufteilungsverhältnis kommt oft in der Natur vor und gilt in der Kunst als besonders harmonisch. Bildwichtige Elemente werden also nicht in der geometrischen Mitte eines Gemäldes, Gebäudes oder Fotos sondern entlang der Linie des goldenen Schnitts plaziert.

Das so entstandene kleinere Rechteck ist ein zweites goldenes Rechteck mit den beiden Seitenlängen b und a, da diese Seiten zueinander ebenfalls im im Verhältnis vom goldenen Schnitt stehen. Man kann dieses kleinere Rechteck b, a erneut in ein Quadrat und ein noch kleineres Rechteck teilen, und das immer fort.

Die Fibonacci Folge

Die Zahl Phi \(\Phi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1,618\) vom goldenen Schnitt kann durch die Fibonacci Folge beliebig genau angenähert werden. Die Fibonacci Folge beginnt mit 0 und 1. Die folgenden Glieder ergeben sich immer als die Summe der beiden vorangehenden Glieder. So entsteht die unendliche Folge. Der Quotient zweier auf einander folgenden Zahlen nähert sich beliebig genau der Zahl Phi vom goldenen Schnitt an.