Aufgabe 4093
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Abrissbirnen - Aufgabe B_012
Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.
Teil a
Eine Abrissbirne hat die Form einer Kugel mit dem Durchmesser d. Die Masse m und die Dichte ϱ der Kugel sind bekannt. Die Masse ist das Produkt von Volumen und Dichte.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Durchmessers d aus m und ϱ .
d= ……
[1 Punkt]
Eine einfache Regel besagt: „Um die Masse einer Kugel zu verdoppeln, ist ihr Durchmesser um rund ein Viertel zu vergrößern.“
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie allgemein, dass diese Regel richtig ist.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir kennen die Formel für das Volumen einer Kugel:
\({V_{Kugel}} = \dfrac{{4 \cdot \pi }}{3} \cdot {r^3}\)
Aus der Angabe kennen wir den Zusammenhang zwischen Volumen, Masse und Dichte:
\(m = V \cdot \rho \Rightarrow V = \dfrac{m}{\rho }\)
Indem wir die beiden Formel gleich setzen können wir r und d wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} \dfrac{{4 \cdot \pi }}{3} \cdot {r^3} = \dfrac{m}{\rho }\\ {r^3} = \dfrac{m}{\rho } \cdot \dfrac{3}{{4 \cdot \pi }} \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\dfrac{{3 \cdot m}}{{4 \cdot \pi \cdot \rho }}}}\\ d = 2 \cdot r = \sqrt[3]{{{2^3} \cdot \dfrac{{3 \cdot m}}{{4 \cdot \pi \cdot \rho }}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{{8 \cdot 3 \cdot m}}{{4 \cdot \pi \cdot \rho }}}} = \\ d\left( {m,\rho } \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{{6 \cdot m}}{{\pi \cdot \rho }}}} \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Wir setzen die doppelte Masse, also 2m, in die Formel aus der 1. Teilaufgabe ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} d\left( {2m,\rho } \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{{6 \cdot 2 \cdot m}}{{\pi \cdot \rho }}}} = \sqrt[3]{{2 \cdot \dfrac{{6 \cdot m}}{{\pi \cdot \rho }}}} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{{\dfrac{{6 \cdot m}}{{\pi \cdot \rho }}}} = \sqrt[3]{2} \cdot d\left( {m,\rho } \right)\\ d\left( {2m,\rho } \right) \approx 1,2599 \cdot d\left( {m,\rho } \right) \end{array}\)
→ Um die Masse zu verdoppeln, ist der Durchmesser einer Kugel um rund 26 % (also um rund ein Viertel) zu vergrößern.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(d\left( {m,\rho } \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{{6 \cdot m}}{{\pi \cdot \rho }}}}\)
2. Teilaufgabe:
Um die Masse zu verdoppeln, ist der Durchmesser einer Kugel um rund 26 % (also um rund ein Viertel) zu vergrößern.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: Für das richtige Erstellen der Formel (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × D: Für den richtigen Nachweis (KB)