Trapez
Formel
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind
- 2 Seiten (die Grundseiten) sind zueinander parallel \(a\parallel c\), die längere Seite (a) bezeichnet man als Basis, die beiden nicht parallelen Seiten (b, d) nennt man Schenkel.
- Parallel zu den beiden Grundseiten verläuft durch die Mittelpunkte der beiden Schenkel die Mittelparallele m
- Die (einzige) Höhe h ist der Abstand der beiden parallelen Seiten.
- Die beiden Diagonalen (e, f) schneiden einander im gleichen Verhältnis.
Umfang vom Trapez
Der Umfang vom Trapez entspricht der Summe der vier Seitenlängen
\(U = a + b + c + d\)
\(a\parallel c;\,\,\,\,\,a > c;\,\,\,\,\,b\nparallel d\)
Mittenparallele
\(m = \dfrac{{a + c}}{2}\)
Winkelsumme im Trapez
Die Summe der Innenwinkel im Trapez beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
\(\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ\)
Flächeninhalt vom Trapez
Die Fläche vom Trapez berechnet sich aus der halben Summe der Längen beiden Grundseiten mal deren Parallelabstand (also der Höhe)
\(A = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot h = m \cdot h\)
Länge der Diagonalen im Trapez
Die Länge der Diagonalen im Trapez errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.
\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \\ = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \\ f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \\ = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \end{array}\)
Illustration vom Trapez
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern | Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstig in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente |
Aktuelle Lerneinheit
Trapez | Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind |
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Zylinderstumpf | Ein Zylinderstumpf entsteht, wenn man einen Drehzylinder mit einer Ebene schneidet |
Symmetralen | Die Streckensymmetrale halbiert die Strecke und steht normal auf diese Strecke. Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel, sodass Punkte die auf ihr liegen den selben Normalabstand von den beiden Schenkeln dieses Winkels haben.
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Euklidische und nichteuklidische Geometrie | Ziel ist eine Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade |
Allgemeines Viereck | Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Ecken, vier Seiten und zwei Diagonalen |
Besondere Punkte im Dreieck | Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt bilden die vier besonderen Punkte im Dreieck. |
Ergänzungswinkel und Winkelpaare | Unter Ergänzungswinkel versteht man Komplementär- und Supplementärwinkel |
Arten von Winkel | Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. |
Kugel | Die Kugel ist jener Rotationskörper, der bei Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entsteht |
Pyramide | Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks |
Kreis und Gerade | Eine Sehne ist jener Teil einer Geraden (also eine Strecke), die einen Kreis in 2 Punkten schneidet, wobei der eine Schnittpunkt der Anfang und der andere Schnittpunkt das Ende der Strecke ist |
Kugelkalotte | Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht. Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke. Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde. Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. |
Kegelstumpf | Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat |
Drehkegel | Ein Drehkegel ist ein Körper dessen Grundfläche ein Kreis ist. Der Mittelpunkt des Kreises, ist zugleich der Fußpunkt der Kegelhöhe
|
Zylinder | Ein Zylinder ist ein Körper dessen Grund- und Deckfläche flächengleiche Kreise sind und dessen Mantellinie auf die Grund- und Deckfläche normal steht. |
Pyramidenstumpf | Schneidet man eine Pyramide unterhalb der Spitez ab, so bleibt ein Pyramidenstumpf zurück |
Prisma | Ein gerades Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. |
Quader | Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei gegenüberliegende Rechtecke gleich groß sind |
Würfel | Ein Würfel ist ein Körper der von 6 Quadraten begrenzt wird. |
Kreis | Jene Linie die einen Kreis bildet, setzt sich aus der Menge all jener Punkte der Ebene zusammen, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand hat |
Polygon | Ein Polygon ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug und gleich vielen Ecken gebildet wird |
Parallelogramm bzw. Rhomboid | Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind |
Rechteck | Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind |
Deltoid (Drachenviereck) | Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt. |
Raute bzw. Rhombus | Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
Quadrat | Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
Rechtwinkeliges Dreieck | Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel |
Gleichseitiges Dreieck | Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten |
Gleichschenkeliges Dreieck | Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis |
Allgemeines Dreieck | Verbindet man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken, so erhält man ein allgemeines Dreieck |
Winkelmaße | Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossene Winkels, kann man u.a. mit dem Grad- und dem Bogenmaß messen |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1070
AHS - 1_070 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Äquivalenz von Formeln
Die nachstehende Abbildung zeigt ein Trapez:
- Aussage 1: \({A_1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 2: \({A_2} = b \cdot c + \dfrac{{\left( {a - c} \right) \cdot b}}{2}\)
- Aussage 3: \({A_3} = a \cdot b - 0,5 \cdot \left( {a - c} \right) \cdot b\)
- Aussage 4: \({A_4} = 0,5 \cdot a \cdot b - \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 5: \({A_5} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + b \cdot c\)
Aufgabenstellung:
Mit welchen der obenstehenden Formeln kann man die Fläche dieses Trapezes berechnen? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Formel(n) an!
Aufgabe 4481
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bordcomputer - Aufgabe A_308
Teil a
Ein Bordcomputer hat 12 min lang die Geschwindigkeit eines PKW aufgezeichnet. Der Graph der so ermittelten Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v ist im nachstehenden Diagramm modellhaft dargestellt.
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von v und der Zeitachse im Intervall [8 min; 12 min] kann durch den Flächeninhalt eines Vierecks angenähert werden. Die gekennzeichneten Gitterpunkte sind die Eckpunkte dieses Vierecks.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie diesen Flächeninhalt im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei auch die zugehörige Einheit an.
[0 / 1 P.]