Winkelmaße
Formel
Winkelmaße
Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossenen Winkels, kann auf unterschiedliche Arten gemessen werden.
Gradmaß
Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile, das sogenannten Grad, unterteilt
\(\alpha\) … Winkel in Grad, als 360-ster Teil des Vollwinkels
1‘ … 1 Winkel-Minute als 60-stel Teil von 1 Grad
1‘‘ … 1 Winkel-Sekunde als 60-stel Teil von 1 Winkel-Minute
Bogenmaß
Im Bogenmaß wird dem Vollwinkel (360°) die Maßzahl 2π zugewiesen. Ein Radiant ist der \(\dfrac{1}{{2\pi }}\) -te Teil des Vollwinkels
- 1 Radiant ist jener Winkel, bei dem der Bogen des vom Winkel aufgespannten Kreissektors mit dem Radius vom Kreissektor ident ist. \(1rad = \dfrac{{180^\circ }}{\pi } \approx 57,2958^\circ \)
- Unter dem Bogenmaß (ausgedrückt in Vielfachen oder Teilen von \(\pi\)) versteht man das Verhältnis von Bogenlänge b zum Radius r eines Kreissektors.
- arc α ist eine dimensionslose Zahl des Winkels α, die das Verhältnis von der Länge des Kreisbogens b zum Radius r des Kreises angibt. Um die dimensionslose Zahl arc α von Grad unterscheiden zu können, schreibt man als Einheit „rad“ für Radiant dazu. Wählt man den Einheitskreis (r=1) so ist das Bogenmaß gleich der Länge des Kreisbogens
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Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß
Merke: 2π im Bogenmaß entsprechen 360° im Gradmaß
\(\alpha = 180^\circ \cdot \dfrac{{arc\alpha }}{\pi } \Leftrightarrow {\rm{Gradmaß = 180^\circ }} \cdot \dfrac{{{\rm{Bogenmaß}}}}{\pi }\)
\(\dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ ;\,\,\,\,\,\pi \buildrel \wedge \over = 180^\circ ;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} \buildrel \wedge \over = 270^\circ ;\,\,\,\,\,2\pi \buildrel \wedge \over = 360^\circ \)
Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß
Merke: 360° im Gradmaß entsprechen 2π im Bogenmaß
\({\rm{arc}}\alpha {\rm{ = }}\dfrac{\alpha }{{180}} \cdot \pi \Leftrightarrow {\rm{Bogenmaß}} = \dfrac{{{\rm{Gradmaß}}}}{{180^\circ }} \cdot \pi \)
\(90^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{\pi }{2};\,\,\,\,\,180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi ;\,\,\,\,\,270^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,360^\circ \buildrel \wedge \over = 2\pi \)
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Wissenspfad
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Aktuelle Lerneinheit
| Winkelmaße | Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossene Winkels, kann man u.a. mit dem Grad- und dem Bogenmaß messen |
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| Gleichseitiges Dreieck | Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten |
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| Allgemeines Dreieck | Verbindet man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken, so erhält man ein allgemeines Dreieck |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1506
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodische Funktion
Gegeben ist die periodische Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die kleinste Zahl a > 0 (Maßzahl für den Winkel in Radiant) so an, dass für alle \(x \in {\Bbb R}\) die Gleichung \(f\left( {x + a} \right) = f\left( x \right)\) gilt!