Analysis
Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Anwendungen der Integralrechnung
Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen.
- Figuren, die durch Gerade oder Kreise begrenzt werden
Für geometrische Figuren wie Dreiecke, Vielecke oder Kreise gibt es feste Formeln für die Berechnung von Umfang oder Fläche. Auch für die Oberfläche oder das Volumen von geometrischen Körpern wie Quader, Zylinder, Pyramide oder Kugel gibt es feste Formeln. - Figuren, die durch eine Funktion begrenzt werden
Bei Flächen, die von krummlinigen Kurven, also durch Funktionen f(x) begrenzt werden, kann man die Fläche leider nicht so einfach wie beim Rechteck, mit „Länge mal Breite“ berechnen. Durch die Integralrechnung wird die Berechnung von Bogenlängen, Flächen oder Volumina von Figuren und Körpern ermöglicht, deren Begrenzungslinien allgemeine Funktionen f(x) sind.
Illustration: links die Fläche unter der Funktion f(x)=x² rechts daneben die zusammengesetzte geometrische Figur bestehend aus einem Rechteck und einem Dreieck
Produktsumme zur näherungsweisen Berechnung von Flächen
Man zerlegt geometrisch die von den Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen. Summiert man die einzelnen Flächen als das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt.
Praktisch kann man die Streifen nach verschiedenen Kriterien auswählen: Als „Obersumme“ , als „Untersumme“, als „Mittelsumme“, als "Linkssumme“ oder als „Rechtssumme“ oder als "Trapezsumme".
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Untersumme“ und „Obersumme“
Teilt man das Intervall \(\left[ {a;b} \right]\) in n Teile der gleichen Breite \(\Delta x = {{b - a} \over n}\), so erhält man die Untersumme als die Summe aller Rechteckstreifen unterhalb der Kurve und die Obersumme als die Summe aller Rechteckstreifen oberhalb der Kurve. Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) genau zwischen Ober- und Untersumme.
\({U_n} = \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \left[ {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cdot \Delta x\)
für \(n \to \infty\)
\({U_n} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x} }\)
Obersumme
Bei der Obersumme wählt man den größten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Untersumme
Bei der Untersumme wählt man den niedersten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Wenn der Grenzwert der Untersummen gleich groß ist wie der Grenzwert der Obersummen aller Rechteckstreifen, dann ist dieser Grenzwert zugleich der Wert des bestimmten Integrals.
\({U_n} = {O_n} = \int\limits_a^b {f\left( {x\,\,dx} \right)} = A\)
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Linkssumme“, Mittelsumme" und „Rechtssumme“
Bei Funktionen deren Monotonie sich ändert (steigend, fallend) verwendet man statt der Ober- und Untersummen die Links- und die Rechtssummen.
Linkssumme
Bei der Linkssumme liegt für jedes Teilintervall der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Mittelsumme
Bei der Mittelsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der Halbierungspunkt der oberen Seite des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Rechtssumme
Bei der Rechtssumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte ober Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Annäherung der exakten Fläche durch "Trapezsumme"
Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts. Bei der Trapezsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte und der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion. Da die Punkte, (außer im Bereich eines konstanten Verlaufs) unterschiedlich hoch liegen, wird die Fläche unter der Funktion durch ein Trapez sehr genau angenähert.
Trapezsumme mit 6 Trapezen
Trapezsumme mit 12 Trapezen
Riemann Summe
Zerlegt man die von einer Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen und summiert man das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt. Macht man die Rechteckstreifen immer schmäler - also tendenziell unendlich schmal - so nähert sich die Summe der Flächeninhalte beliebig genau dem tatsächlichen Flächeninhalt an. Man nennt dies die Riemann Summe.
Zusammenhang zwischen der Riemann-Summe und dem bestimmten Integral
Ist f(x) eine stetige Funktion im Intervall \(\left[ {a;b} \right]\), dann ist das bestimmte Integral \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\) gleich dem Grenzwert („Limes“) der Riemann-Summe für
- unendlich viele (\(n \to \infty \)) und gleichbedeutend mit
- unendlich schmalen xi Rechteckstreifen.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx = \mathop {\lim }\limits_{\Delta {x_i} \to 0} } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i}\)
Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral
Die Integrationsgrenzen geben an, für welches Intervall einer stetigen Funktion die Fläche berechnet werden soll. Die linke und die rechte Grenze vom Intervall, also die Werte „a“ und „b“ nennt man die Integrationsgrenzen, weil „…von „a“ nach „b“ integriert wird…“
Vertauscht man die Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral, so wechselt das Vorzeichen
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Unterschied bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beim bestimmten Integral sind die Integrationsgrenzen angegeben beim unbestimmten Integral hingegen nicht.
- Beim bestimmten Integral erhält man als Resultat einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalischer Einheit), der der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „a“ und der oberen Grenze „b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
- Beim unbestimmten Integral erhält man als Resultat die, bis auf die additive „Integrationskonstante c“ eindeutige Stammfunktion F(x). Es gibt also zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, deren Graph durch die Wahl von „c“ lediglich entlang der y-Achse (nach oben oder unten) parallel verschoben wird.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\)
Zusammenhang Stammfunktion und bestimmtes Integral
Setzt man in die Stammfunktion für die obere und die untere Grenze konkrete Werte ein, dann erhält man als Resultat das bestimmte Integral. Es ist als Differenz „obere minus untere Grenze“ ein konkreten Zahlenwert, der wiederum der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „x=a“ und der oberen Grenze „x=b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Erklärung für das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral ist ein dimensionsloser Zahlenwert, der der Fläche entspricht, die
- oben oder unten vom Graphen f(x)
- unten oder oben von der x-Achse
- links von der „unteren“ Grenze, gemäß der Geraden x=a
- rechts von der „oberen Grenze, gemäß der Geraden x=b
begrenzt wird.
Unterschied zwischen Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion
Flächeninhaltsfunktion
Die Flächeninhaltsfunktion F(b) ist das bestimmte Integral mit fester unterer Grenze "a" aber variabler oberer Grenze "b". Die Fläche A=F(b) ist also eine Funktion der oberen Grenze „b“.
\(F\left( b \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Stammfunktion
Die Stammfunktion F(x) ist jene Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ergibt.
\(F'(x) = f(x)\)
Orientierte Fläche
Das bestimmte Integral liefert eine „orientierte Fläche“. D.h.: Bei der Ermittlung der Fläche gehen jene Teilflächen die unter der x-Achse liegen mit einem negativen Vorzeichen in den Flächeninhalt ein und jene Teilflächen die oberhalb der x-Achse liegen gehen mit positiven Vorzeichen ein.
- Das bestimmte Integral ist nur für Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen und über der x-Achse. Bedenke: Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, haben keine Nullstellen, allenfalls haben sie die x-Achse als Tangente an einen Wendepunkt für den y=0 gilt.
- Bei Funktionen die negativ werden, gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Summe ein. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in die Summe ein. Man spricht hier von negativ orientierten Flächen.
Bedeutung vom Differential dx
Das sogenannte „Differential“ z.B.: „dx“ gibt an, über welche Variable - bei „dx“ nach der „x“-Variablen - integriert werden soll. Würde das Differential "dt" lauten, so würde nach der "t"-Variablen abgeleitet werden. Kommen noch andere Variablen vor, so werden diese so behandelt, als wären sie keine Variablen sondern Konstante!
Im nachfolgendem Beispiel ist „x“ die Variable und „t“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(x), F(x) und dx
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 2x + 2t \cr & F\left( x \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dx} = \int {2x\,\,dx} + \int {2t\,\,dx} = 2{{{x^2}} \over 2} + 2t \cdot x + c = {x^2} + 2tx + c \cr}\)
Im nachfolgendem Beispiel ist „t“ die Variable und „x“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(t), F(t) und dt
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 2x + 2t \cr & F\left( t \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dt} = \int {2x\,\,dt} + \int {2t\,\,dt} = 2x \cdot t + 2{{{t^2}} \over 2} + c = 2xt + {t^2} + c \cr} \)
Mehrfach Integrale - wenn über mehr als eine Variable integriert wird
Beim einfachsten Mehrfach-Integral, dem „Doppelintegral“ etwa wird zuerst das „innere Integral“ gemäß dem „inneren Differential“ mit variablen Grenzen und dann das „äußere Integral“ gemäß dem „äußeren Differential“ mit konstanten Integrationsgrenzen berechnet. Als Resultat erhält man einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalische Einheit), der dem Rauminhalt eines zylindrischen Körpers entspricht, welcher über der Fläche A liegt und den zur z-Achse parallelen Mantellinien begrenzt wird.
\(\int\limits_A^{} {f\left( {x,y} \right)\,\,dA = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)\,\,dy} } \right)} } \,\,dx = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)} } \,\,dy\,\,dx\)
Am Beispiel eines unbestimmten Integrals:
1. Es wird zuerst nach "x" und dann nach "t" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dx + \int {2t\,\,dx} } } \right]} \,\,dt = \cr & = \int {\left[ {{x^2} + 2tx} \right]} \,\,dt = \int {{x^2}\,\,dt} + \int {2tx\,\,dt} = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
2. Es wird zuerst nach "t" und dann nach "x" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dt + \int {2t\,\,dt} } } \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \cr & = \int {\left[ {2xt + {t^2}} \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \int {2xt\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } + \int {{t^2}\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
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Zahlenreihen
Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden ai sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge ⟨ai⟩
\(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + ...{a_n} + {a_{n + 1}} + ...\)
Beispiel:
Bildungsvorschrift:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Reihe: }}s = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2 \cr}\)
Partialsumme
Während bei einer Reihe unendlich viele Glieder aufsummiert werden, summiert man bei einer Partialsumme nur endlich viele Gieder (nämlich vom ersten bis zum n-ten Glied) auf.
\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...{a_n}\)
Arithmetische Zahlenreihe
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)
Die zugehörige arithmetische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenreihe ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} = n \cdot {a_1} + \dfrac{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}}{2}d = n\dfrac{{\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)
a1 | Startwert |
d | konstante Differenz |
sn | Anzahl * Durchschnittswert |
Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n. Wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + (n-1)d\)
Geometrische Zahlenreihe
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)
Die zugehörige geometrische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der geometrischen Zahlenreihe ist der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Abhängig von der Größe von q bevorzugt man einer der zwei folgenden gleichwertigen Fomeln:
Für \(q < 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \)
Für \(q > 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}} \)
Für \(\left| q \right| > 1\) konvergiert die geometrische Reihe. Ihr Grenzwert für \(n \to \infty \) ergibt sich zu:
\({s_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\)
Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
Beispiel:
Eulersche Zahl als Reihe
Die Euler'sche Zahl kann wie folgt als Summe aller Glieder einer geometrischen Reihe dargestellt werden
\(e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} = \dfrac{1}{{0!}} + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + ... = 2,71828...\)
Auffinden gängiger Stammfunktionen
Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.
Konstante Funktion integrieren bzw. Stammfunktion einer konstanten Funktion
Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = k \cr & F\left( x \right) = \int {k\,\,dx = kx + c} \cr}\)
Potenzfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Potenzfunktion
Die n-te Potenz von x wird integriert, indem man x hoch (n+1) in den Zähler und (n+1) in den Nenner schreibt. Gilt für alle n ungleich -1.
\(\eqalign{ & {\text{für }}n \ne - 1 \cr & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}.dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + C \cr}\)
1/x integrieren bzw. Stammfunktion von 1/x
Zur Funktion 1/x lautet die Stammfunktion ln|x|+C. Die Funktion 1/x ist gleich der Potenzfunktion xn für n=-1.
\(\eqalign{ & {\text{für }}n = - 1 \cr & f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr & F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{x}} .dx = \ln |x| + C \cr}\)
Der Definitionsbereich von ln(x) ist R+, also die positiven reellen Zahlen. Indem man im Argument der Logarithmusfunktion den Betrag von x nimmt, erweitert man den Definitionsbereich der Stammfunktion auf negative x. x=0 muss man ausschließen, da der ln(0) nicht definiert ist.
Wurzelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Wurzelfunktion
Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Stammfunktion F(x) aufzusuchen
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & F\left( x \right) = \int {\sqrt x } \,\,dx = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C \cr}\)
Exponentialfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Exponentialfunktion
Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mir Ihrer eigenen Stammfunktion F(x) identisch ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^x}} \,\,dx = {e^x} + C \cr}\)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^{k \cdot x}}} \,\,dx = \frac{1}{k}{e^{k \cdot x}} + C \cr} \)
Bei der Exponentialfunktion zur Basis a lautet die Stammfunkton "a hoch x dividiert durch den natürlichen Logarithmus von der Basis a"
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{a^x}} \,\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C \cr} \)
Logarithmusfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Logarithmusfunktion
Bei der Logarithmusfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um den sogenannten natürlichen Logarithmus "ln". Er hat die selben Eigenschaften wir Logarithmusfunktionen zu einer beliebigen Basis log a. Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion lautet "x mal ln x minus x"
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & F\left( x \right) = \int {\ln x} \,\,dx = x \cdot \ln x - x + C \cr} \)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & F\left( x \right) = \int {{}^a\log x} \,\,dx = \dfrac{1}{{\ln a}}\left( {x.\ln x - x} \right) + C \cr} \)
Winkelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion von Winkelfunktionen
Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (der Hypotenuse, der Ankathete und der Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Ihrer Stammfunktionen sind Teil der Standardintegraltabellen
Sinus integrieren
Das Integral der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion plus der Integrationskonstante
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & F\left( x \right) = \int {\sin x} \,\,dx = - \cos x + C \cr}\)
Kosinus integrieren
Das Integral der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion plus der Integrationskonstante
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & F\left( x \right) = \int {\cos x} \,\,dx = \sin x + C \cr} \)
Illustration als Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus
Tangens integrieren
Das Integral der Tangensfunktion ist der negative Logarithmus vom Betrag der Kosinusfunktion plus die Integrationskonstante.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & F\left( x \right) = \int {\tan x} \,\,dx = - \ln \left| {cosx} \right| + C \cr} \)
Kotangens integrieren
Das Integral der Kotangensfunktion ist der positive Logarithmus vom Betrag der Sinusfunktion plus die Integrationskonstante.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & F\left( x \right) = \int {\cot x} \,\,dx = \ln \left| {\sin x} \right| + C \cr} \)
Grad einer Funktion
Polynomfunktionen, auch ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Exponenten angeschrieben. Der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten:
- Eine konstante Funktion, die nicht konstant null ist, hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade.
- Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade.
- Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel.
- Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf.
- Eine Polynomfunktion vom 4. Grad kann einen w-förmigen Verlauf haben.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über besondere Funktionswerte herleiten:
- Der Grad einer Funktion ist gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Vergleiche dazu den „Fundamentalsatz der Algebra“, welcher für den Bereich der komplexe Zahlen gilt.
- Grad einer Funktion minus 1, ergibt die maximale Anzahl der Extremstellen.
- Grad einer Funktion minus 2, ergibt die maximale Anzahl der Wendestellen.
-
Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen haben.
-
Wenn der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.
Graphen von Funkionen unterschiedlichen Grades
Die Beschriftung vom Graph der jeweiligen Funktion erfolgt einmal in der Polynomform und einmal in der Linearfaktordarstellung, in der man die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann, indem man dasjenige x bestimmt, für das der Wert der jeweiligen Klammer zu Null wird:
Funktion vom 0. Grad: Konstante Funktion
Funktion vom 1. Grad: Gerade, ob sie steigt oder fällt hängt vom Parameter vor der linearen Variable ab
Funktion vom 2. Grad: Parabel
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von links unten nach rechts oben
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von rechts oben nach links unten
Funktion vom 4. Grad: W-förmiger Kurvenverlauf
Spezielle Ableitungsfunktionen
Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x0 an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x0. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.
Trigonometrische Winkelfunktionen differenzieren
Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen bei den "Grundlegenden Ableitungsfunktionen" angeführt.
Arkusfunktionen differenzieren
Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.
arcsin differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Sinus arcsin ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin \,\,x \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)
arccos differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kosinus arccos ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)
arctan differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Tangens arctan ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan \,\,x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)
arccot differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kotangens arccot ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)
Hyperbolische Funktionen differenzieren
Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen ex und e-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.
sinh differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Sinus Hyperbolicus sinh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \cosh x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)
cosh differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kosinus Hyperbolicus cosh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)
tanh differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Tangens Hyperbolicus tanh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cosh }^2}x}} = 1 - {\tanh ^2}x \cr} \)
coth differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kotangens Hyperbolicus coth ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 - {\coth ^2}x \cr} \)
Areafunktionen differenzieren
Area-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolsichen Funktionen.
arsinh differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areasinus Hyperbolicus arsinh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} \left( x \right) = {\sinh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) \cr & \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\text{ mit - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)
arcosh differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areakosinus Hyperbolicus arcosh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} \left( x \right) = {\cosh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{\text{ mit x > 1}} \cr} \)
artanh differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areatangens Hyperbolicus artanh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} \left( x \right) = {\tanh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{1 + x}}{{1 - x}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| < 1 \cr} \)
acoth differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areakotangens Hyperbolicus acoth ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} \left( x \right) = {\coth ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| > 1 \cr} \)
Anmerkung: Hier liegt keinTippfehler vor, die abgeleitete Funktionsvorschrift vom acoth ist mit jener vom artanh gleich, aber es gilt ein anderer Definitionsbereich.
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Eigenschaften von Zahlenfolgen
Wir haben bereits beschrieben, dass Zahlenfolgen an Hand ihrer Bildungsvorschrift unterschieden werden können. Wir erinnern uns etwa an die arithmetische Folge, bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, oder an die geometrische Folge, bei der der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Nachfolgend lernen wir weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen:
Umgebung bzw. Epsilontik
Die Ɛ-Umgebung U(a;Ɛ) einer reellen Zahl a, ist die Menge aller Zahlen x aus \({\Bbb R}\), für die der Betrag der Differenz (a-x) kleiner als Ɛ ist.
\(\eqalign{ & U\left( {a;\varepsilon } \right) = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {a - \varepsilon } \right. < x < a + \varepsilon } \right\} \cr & \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {\left| {a - x} \right|} \right. < \varepsilon } \right\} \cr}\)
Häufungswert von Folgen
Die Zahl h heißt Häufungswert einer Folge ⟨an⟩, wenn in jeder ɛ-Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge liegen. Eine Folge kann auch mehrere Häufungswerte haben.
\(\left| {{a_n} - \eta } \right| < \varepsilon\)
Satz von Bolzano und Weierstraß
Der Satz von Bolzano und Weierstraß besagt, dass jede beschränkte unendliche Zahlenfolge ⟨an⟩ zumindest einen Häufungswert h besitzt. Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen.
Grenzwert bzw. Limes
Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨an⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\)
Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert. Die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häufungswerte aber keinen Grenzwert besitzen.
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \)
Nullfolge
Eine Folge ⟨an⟩ ist eine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert Null konvergiert. Jede konvergente Folge kann als Summe aus ihrem Grenzwert und einer Nullfolge dargestellt werden
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = 0\)
Die Folge mit \({a_n} = \dfrac{1}{n}\) ist ein Beispiel für eine Nullfolge
Konvergenz, Divergenz
Eine Folge ⟨an⟩ nennt man konvergent mit dem Grenzwert g, wenn in jeder e-Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Folgen die keinen Grenzwert haben, heißen divergent.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = g\)
Supremum und Infimum
- Supremum: Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, dann heißt die kleinste obere Schranke ihr Supremum.
- Infimum: Wenn die Folge nach unten beschränkt ist, dann heißt die größte untere Schranke ihr Infimum.
- Supremum bzw. Infimum müssen selbst nicht zur Folge gehören;
Maximum und Minimum
- Maximum: Das Maximum ist das größte Element der Folge. Jedes Maximum ist ein Supremum.
- Minimum: Das Minimum ist das kleinste Element der Folge. Jedes Minimum ist ein Infimum.
- Maximum und Minimum müssen zur Folge gehören. Supremum und Infimum müssen nicht zur Folge gehören, daher ist nicht jedes Supremum ein Maximum und es ist nicht jedes Infimum ein Minimum.
Beispiel:
\(\left[ {0,1} \right]\) | Infimum=0 | Minimum=0 | Maximum=1 | Supremum=1 |
\(\left] {0,1} \right[\) | Infimum=0 | kein Minimum, weil \({\text{0}} \notin \left] {0,1} \right[\) | kein Maximum, weil \(1 \notin \left] {0,1} \right[\) | Supremum=1 |
Beschränkte und unbeschränkte Folgen
Beschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke besitzt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine beschränkte Folge muss nicht unbedingt konvergieren. Eine konvergierende Folge ist beschränkt.
- obere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach oben beschränkt, wenn eine Zahl O existiert, sodass jedes Glied der Folge kleiner oder gleich O ist.
- untere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach unten beschränkt, wenn eine Zahl U existiert, sodass jedes Glied der Folge größer oder gleich U ist.
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \leqslant M\) | nach oben beschränkte Folge |
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \geqslant m\) | nach unten beschränkte Folge |
\(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:m \leqslant {a_n} \geqslant M\) | beschränkte Folge |
Unbeschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt nach oben und nach unten unbeschränkt, wenn sie \( - \infty \) und \( + \infty \) als Häufungswert hat. Jede unbeschränkte Folge divergiert. Eine divergierende Folge ist unbeschränkt.
- \({\text{Supremum}} = \infty \) : Wenn das Supremum „unendlich“ ist, dann ist die Folge nach oben unbeschränkt
- \({\text{Infimum}} = - \infty \) Wenn das Supremum „minus unendlich“ ist, dann ist die Folge nach unten unbeschränkt
Monotonie einer Folge
Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (d.h. das Vorzeichen wechseln).
Der nachfolgende Wert ist ... | ||
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \geqslant {a_n};}\) | monoton wachsend | größer gleich dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} > {a_n};}\) | streng monoton wachsend | größer dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \leqslant {a_n};}\) | monoton fallend | kleiner gleich dem vorhergehenden Wert |
\({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} < {a_n};}\) | streng monoton fallend | kleiner dem vorhergehenden Wert |
Beispiel:
Alternierende Folge:
\({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n} = 1,\,\, - 1,\,\,1,\,\, - 1,..\)
Bestimmtes Integral - Flächeninhalte
Das bestimmte Integral ermöglicht es, Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinatenachse begrenzt werden.
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar.
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Ist in einem betrachteten Intervall f(x) < 0, so ergibt sich ein negativer Wert für den Flächeninhalt. Die zugehörige Fläche wird als „negativ orientiert“ bezeichnet.
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen 2 einander nicht schneidender Graphen
Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden, kann aus der Differenz der jeweiligen Flächeninhalte zwischen dem zugehörigem Graphen und der x-Achse berechnet werden. Dabei gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion"
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,\,dx = } } \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} \)
Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] an der Stelle x1 schneiden
- Am einfachsten zu merken ist die 1. Art:
- An der Schnittstelle x1 der beiden Graphen sind die Integrale zu teilen.
- Es gilt grundsätzlich "obere minus untere" Funktion
- Bei der 2. und 3. Art ist zu bedenken, dass in diesem Fall das rechte bestimmte Integral eine negativ Fläche ausweist. Das Vorzeichen dieser negativen Fläche kann auf 2 Arten umgekehrt werden:
- durch ein "minus" oder
- durch den "Betrag"
Anmerkung:
- a, x1 und b sind dabei z.B. die 3 Schittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x). Damit man das bestimmte Integral berechnen kann, muss man die Schnittpunkte durch Gleichsetzen der beiden Funktionen f(x)=g(x) ermitteln.
- Während a und b auch von Schnittpunkten abweichende Integrationsgrenzen sein können, ist bei einander schneidenden Funktionen x1 auf jeden Fall ein Schnittpunkt.
\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx + \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} } \,\,dx = \cr & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx - \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \cr & A = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| + \left| {\int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| \cr} \)
Integrationsregeln
Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.
Konstantenregel oder Faktorregel
Einen konstanten Faktor im Integrand kann man vor das Integrationszeichen ziehen, wodurch sich die eigentliche Integration vereinfacht. D.h. der Multiplikationsfaktor bleibt beim Integrieren unverändert erhalten.
\(\eqalign{ & y = k \cdot f\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {k \cdot f\left( x \right)} \,\,dx = k \cdot \int {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & {\text{wobei }}k \ne 0 \cr} \)
Summen- und Differenzenregel
Das Integral eine Summe bzw. Differenz bildet man, indem man zunächst jeden Summanden einzeln integriert und anschließend die jeweiligen Integrale addiert bzw. subtrahiert. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {f\left( x \right)\,\,dx} \pm \int {g\left( x \right)\,\,dx} \cr}\)
Partielle Integration (Produktintegration)
Lässt sich der Integrand als das Produkt zweier Funktionen darstellen, kann das Integral bei geschickter Wahl von f(x) bzw. g‘(x) so umgeformt werden, dass es durch bekannte Grundintegrale lösbar wird. Speziell nützlich, wenn die Stammfunktion eines Faktors bereits bekannt ist.
\(\int {f\left( x \right)} \cdot g'\left( x \right)\,\,dx = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx}\)
Die partielle Integration entspricht der Produktregel aus der Differentialrechnung. Auch hier soll das Produkt zweier Funktionen integriert werden. Wenn nach dem Ausmultiplizieren der beiden Faktoren das Integral nicht angemessen lösbar ist, so bietet sich die partielle Integration an, bei der man das Integral in einem Zwischenschritt verändert, natürlich in der Absicht danach einfacher als zuvor integrieren zu können
\(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\)
\(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\)
- 1. Schritt: Einen (beliebigen) Faktor setzt man mit f'(x) gleich, den zweiten Faktor setzt man mit g(x) gleich. Da die Wahl beliebig ist, wählt man für g(x) jenen Faktor dessen Ableitung das in weiterer Folge entstehende Integral vereinfacht.
- 2. Schritt: Den ersten Faktor f'(x) muss man nun integrieren, um f(x) zu erhalten
- 3. Schritt: Den zweiten Faktor g(x) muss man zunächst differenzieren, um g'(x) zu erhalten.
- Zwischenschritt: Die Resultate aus Schritt 1 und 2 in die Formel für H(x) einsetzen
- Der Minuend (vor dem Minus) kann sofort angeschrieben werden, da man zu diesem Zeitpunkt f(x) und g(x) schon kennt
- Der Subtrahend (nach dem Minus) enthält nun das (hoffentlich) einfachere Integral,
- Letzter Schritt: Auffinden des (hoffentlich) einfacheren Integrals. Wenn das nicht gelingt, dann sollte man prüfen, ob man im 1. Schritt die beiden Faktoren nicht umgekehrt zuordnen soll
Integrationsregel für verkettete Funktionen - Lineare Substitution
Ist der Integrand eine verkettete lineare Funktion, so schreibt man in den Zähler die Stammfunktion der verketteten linearen Funktion und in den Nenner die Steigung k der linearen Funktion.
\(\int {f\left( {k \cdot x + d} \right)} \,\,dx = \dfrac{{F\left( {k \cdot x + d} \right)}}{k}\)
F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) und \(k \ne 0\)
Beispiel:
Integrationsregel für verkettete Funktionen:
\(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}} \,\,dx = \dfrac{{\dfrac{1}{4} \cdot {{\left( {5x + 3} \right)}^4}}}{5} = \dfrac{1}{{20}} \cdot {\left( {5x + 3} \right)^4}\)
Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution führt dann zum Ziel, wenn eine Variablentransformation gefunden werden kann, bei der sich ein gegebener Integrand in einen leichter zu integrierenden Term überführen lässt.
\(\int {f\left[ {g\left( x \right)} \right]} .g'\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left( u \right)\,\,du = F\left[ {g\left( x \right)} \right]} + C\)
Substitution: \(u = g\left( x \right){\text{ und }}g'\left( x \right)\operatorname{dx} = du;\)
\(\int {f\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left[ {h\left( u \right)} \right]} .h'\left( u \right)\,\,du}\)
Substitution: \(x = h\left( u \right){\text{ und dx = }}h'\left( u \right)\,\,du\)
Nullstelle einer Funktion
Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). Um die Nullstellen einer Funktion aufzufinden, setzt man die Funktion einfach gleich Null.
\(f\left( x \right) = 0\)
- Es gibt maximal so viele Nullstellen, wie der Grad der Funktion ist, bzw. ein Polynom n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben
- Ein Polynom von ungeradem Grad, muss mindestens eine Nullstelle haben
Regula Falsi
Die Regula Falsi ist eine Methode zur numerischen Berechnung von Nullstellen mit Hilfe von Sekanten, deren Schnittpunkt mit der x-Achse sich bei jeder Iteration der gesuchten Nullstelle annähert. Die Regula Falsi wird aus folgemden Grund auch Sekantenverfahren genannt: Von zwei Funktionswerten mit unterschiedlichem Vorzeichen wird der Schnittpunkt der Sehne mit der x-Achse bestimmt. Mit Hilfe dieses Näherungswertes für die Nullstelle wird ein neuer Funktionswert bestimmt, sodass die Funktionswerte weiterhin unterschiedliche Vorzeichen haben. In der Folge wird eine weitere Sehne gelegt und so wird der nächste Näherungswert für die Nullstelle bestimmt.
\(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - f\left( {{x_n}} \right) \cdot \dfrac{{{x_i} - {x_{i - 1}}}}{{f\left( {{x_i}} \right) - f\left( {{x_{i - 1}}} \right)}} \cr & \operatorname{sgn} f\left( {{x_i}} \right) \ne \operatorname{sgn} f\left( {{x_{i - 1}}} \right) \cr}\)
Newtonsches Näherungsverfahren
Das newtonsche Näherungsverfahren ist eine Methode zur numerischen oder graphischen Bestimmung von Nullstellen.
Rechnerische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren
Für das rechnerische newtonsche Näherungsverfahren schätzt man zunächst einen Startwert x1. Für diesen Startwert x1 berechnet man den Funktionswert f(x1) und den Wert der 1. Ableitung f'(x1). Für den jeweils nächst-besseren Wert xi+1 zum Vorgängerwert xi gilt die Iterationsformel:
\(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - \dfrac{{f\left( {{x_i}} \right)}}{{f'\left( {{x_i}} \right)}} \cr & f'\left( {{x_i}} \right) \ne 0 \cr & {\text{Startwert: }}{x_1} \cr}\)
Hoch- und Tiefpunkte eignen sich daher nicht als Startwert, da sonst der Nenner f'(x), auf Grund der horizontalen Tangente an den Extremwert, zu Null wird.
Graphische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren
Beim grafischen newtonschen Näherungsverfahren wird die Funktion durch eine Tangente Tg1 in einem geeignet gewählten Näherungswert x1 der tatsächlichen Nullstelle x0 ersetzt. Dort wo die Tangente Tg1 die x-Achse schneidet, wird erneut ein Näherungswert x2 bestimmt. Dabei liegt x2 schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x0 als dies noch bei x1 der Fall war. Die nächste Näherung x3 wird mittels der Tangente Tg2 bestimmt. Dabei liegt x3 schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x0 als dies noch bei x1 und x2 der Fall war....
Die Lösungen der Gleichung f(x)=0 stimmen mit den Nullstellen der Funktion f(x) überein. Im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) befindet sich nur dann mindestens eine Nullstelle x0 der Funktion f(x), wenn f(x) dort stetig ist und f(x1) und f(x2) unterschiedliche Vorzeichen besitzen.
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Bestimmtes Integral - Schwertpunkt von Flächen
Das bestimmte Integral ermöglicht es, den Schwerpunkt von Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinantenachse begrenzt werden.
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen Graph und x-Achse
Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen Graph und x-Achse einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.
\(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot f\left( x \right)\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot y\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr}\)
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden
Die x- und y-Koordinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.
\(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {\left[ {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} \,\,dx}}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr}\)
Die Integrationsgrenzen a, b selbst dürfen natürlich mit einem oder beiden Schnittpunkten der Funktionen f(x) und g(x) zusammenfallen.
Die Gültigkeit obiger Formeln - dass sich die Funktionen im Intervall [a,b] nicht schneiden dürfen - hat folgenden Hintergrund:
- In die Berechnung vom Schwerpunkt geht die Berechnung der Fläche mit ein und für deren Berechnung gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion".
- Wenn die Funktionen f(x) und g(x) einander aber schneiden, dann kehrt sich "oben" und "unten" für jede der beiden Funktionen ab dem Schnittpunkt um. Es liegt keine "einteilige Fläche" mehr vor. Das müsste bei der Flächen- und folglich bei der Schwerpunktberechnung gesondert berücksichtigt werden. In diesem Zusammenhang sei auf den Satz von Steiner hingewiesen, mit dessen Hilfe man das Flächenträgheitsmoment von zusammengesetzten Flächen berechnen kann.
Integration spezieller Funktionen
Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.
Integration durch Partialbruchzerlegung
Integrale gebrochener Funktionen (Brüche) werden in einfachere Teilbrüche, sogenannte Partialbrüche, zerlegt, die auf bekannten Integralen basieren. Ein Koeffizientenvergleich zwischen Z(x) und Z1 (x; A1…Dr) führt auf die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten A1 bis Dr.
\(\int {\dfrac{{{Z_m}\left( x \right)}}{{{N_n}\left( x \right)}}} \,\,dx\)
Partialbruchzerlegung
\(\eqalign{ & \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{N\left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{{x^p}.{{\left( {x - a} \right)}^q} \cdot {{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{A_1}}}{x} + \dfrac{{{A_2}}}{{{x^2}}} + ... + \dfrac{{{A_p}}}{{{x^p}}} + \cr & + \dfrac{{{B_1}}}{{\left( {x - a} \right)}} + \dfrac{{{B_2}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{B_q}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^q}}} + \cr & + \dfrac{{{C_1}x + {D_1}}}{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}} + \dfrac{{{C_2}x + {D_2}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{C_r}x + {D_r}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{Z_1} \cdot \left( {x;\,\,\,{A_1},...{A_p};\,\,\,{B_1}...{B_q};\,\,\,{C_1}...{C_r},{D_1}...{D_r}} \right)}}{{N\left( x \right)}} \cr}\)
Trigonometrische Winkelfunktionen integrieren
Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen unter "Auffinden gängiger Stammfunktionen" angeführt.
Arkusfunktionen integrieren
Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.
arcsin integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin x \cr & F\left( x \right) = \int {\arcsin x} \,\,dx = x \cdot \arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)
arccos integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos x \cr & F\left( x \right) = \int {\arccos x} \,\,dx = x \cdot \arccos x - \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)
arctan integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan x \cr & F\left( x \right) = \int {\arctan x} \,\,dx = x \cdot \arctan x - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)
arccot integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} x \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arccot} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arccot} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)
Hyperbolische Funktionen integrieren
Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen ex und e-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.
sinh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x \cr & F\left( x \right) = \int {\sinh x} \,\,dx = \cosh x + C \cr}\)
cosh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x \cr & F\left( x \right) = \int {\cosh x} \,\,dx = \sinh x + C \cr}\)
tanh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x \cr & F\left( x \right) = \int {\tanh x} \,\,dx = \ln \left| {\cosh x} \right| + C \cr} \)
coth integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x \cr & F\left( x \right) = \int {\coth x} \,\,dx = \ln \left| {\sinh x} \right| + C \cr} \)
Areafunktionen integrieren
Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolischen Funktionen.
arsinh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{{\sinh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arsinh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arsinh} x - \sqrt {{x^2} + 1} + C \cr}\)
arcosh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{{\cosh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcosh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcosh} x - \sqrt {{x^2} - 1} + C \cr}\)
artanh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{{\tanh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{artanh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{artanh} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr}\)
arcoth integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} x = \dfrac{1}{{\coth x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcoth} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcoth} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr} \)
Wichtige Funktionswerte im Zuge einer Kurvendiskussion
Im Rahmen von Kurvendiskussionen untersucht man verschiedene Eigenschaften von Funktionen
- Definitionsmenge, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- Polstellen und Lücken
- Verhalten im Unendlichen sowie Asymptotengleichungen
- Symmetrie sowie Periodizität
- Ableitungen f‘(x), f‘‘(x), f‘‘‘(x)
- Nullstellen f(x)=0 sowie Schnittpunkt mit der y-Achse f(0)
- Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
- Wendepunkte und Sattelpunkte
- Wendetangente
- Krümmungsverhalten und Monotonie
- Charakteristische Wertetabelle
- Graph der Funktion mit Wendetangente(n)
Extremstellen einer Funktion
Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat sie darin auch ein Minimum und ein Maximum.
- notwendiges Kriterium: \(f'\left( x \right) = 0\)
- hinreichendes Kriterium: \(f'' \ne 0\)
- Minimum, wenn \(f'' > 0\)
- Maximum, wenn \(f'' < 0\)
Lokaler Extremwert
Ein lokaler Extremwert liegt vor, wenn es keinen kleineren / größeren Funktionswert in der unmittelbaren Nähe am Funktionsgraph gibt.
Absoluter bzw. globaler Extremwert
Ein absoluter Extremwert ist der kleinste / größte von allen lokalen Extremwerten.
Wendestelle einer Funktion
Im Wendepunkt bzw. an der Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten vom Graphen der Funktion. Eine Linkskrümmung geht in eine Rechtskrümmung bzw. umgekehrt über. Nur im Wendepunkt schneidet eine Tangente an den Graph der Funktion diesen Graph. Ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente heißt Sattelpunkt
An einer Wendestelle / im Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0{\text{ sowie }}f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0\)
- Ein Polynom vom \({\text{Grad }} \geqslant 3\) muss mindestens eine Wendestelle haben.
- Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2 Wendestellen haben.
Monotonie von Funktionen
Steigt/fällt der Graph einer Funktion an jeder Stelle, so heißt die Funktion streng monoton steigend / fallend. Gibt es auch Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt, also konstant bleibt und daher parallel zur x-Achse verläuft, so fällt das Word „streng“ weg und die Funktion ist „nur“ monoton steigend / fallend. Aussagen betreffend Monotonie in bestimmten Intervalle der Funktion leitet man daraus ab, ob dort die ersten Ableitung \(f'\left( x \right)\) größer oder kleiner Null ist.
\(\eqalign{ & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton fallend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton fallend}} \cr}\)
Definitionslücke
Unter einer Definitionslücke versteht man einzelne Punkte einer Funktion, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. (Nullstellen des Nenners)
Dort ist die Funktion also nicht definiert. Entweder nähert sich der Graph dort einer senkrechten Asymptote an, dann liegt eine Polstelle vor, oder es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Eine hebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zähler größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner sind. Dann lässt sich die Nullstelle durch Kürzen entfernen.
Obige Illustration zeigt eine Funktion die an der Stelle x=1 nicht definiert ist und in deren Definitionsbereich somit an dieser Stelle eine Lücke vorliegt. Durch Kürzen kann man an der Stelle x=1 dem Definitionsbereich den Wert "2" zuordnen. Der Definitionsbereich ist somit \({D_f} = {\Bbb R}\), die Lücke ist geschlossen, man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke"
Polstelle
Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Die gebrochenrationale Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) besitzt an der Stelle x0 eine Polstelle, wenn gilt: \(p\left( {x = {x_0}} \right) \ne 0{\text{ und }}q\left( {x = {x_0}} \right) = 0\). Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms in Nenner bestimmt.
- Bei Polstellen mit Vorzeichenwechsel strebt die Funktion auf einer Seite nach + Unendlich während sie auf der anderen Seite nach - Unendlich strebt.
- Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten entweder nach + oder nach - Unendlich
Obige Illustration zeigt den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)
- mit der x-Achse und der y-Achse als Asymptote
- der an der Stelle x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist
Links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert
An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verhält sich der Graph der Funktion von links bzw. von rechts betrachtet unterschiedlich.
- Der linksseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von links kommend annähert.
- Der rechtsseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von rechts kommend annähert.
- Ist die Funktion an der Stelle x0 stetig, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein.
- Aus dem Inneren des Definitionsbereichs betrachtet kann man daher einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert ermitteln.
In GeoGebra gibt es dafür die Befehle- LinksseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
- RechtsseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie aber nie erreicht.
Dabei unterscheidet man zwischen senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten. Kurven, die sich dem Graph einer anderen Funktion zunehmend annähern, bezeichnet man als asymptotische Kurven.
- Zählergrad = Höchste Potenz im Zähler einer Funktion
- Nennergrad = Höchste Potenz im Nenner einer Funktion
- Zählergrad < Nennergrad: die Funktion hat die x-Achse als Asymptote
- Zählergrad = Nennergrad: die Asymptote verläuft horizontal
- Zählergrad = Nennergrad + 1: die Asymptote verläuft schief
- Zählergrad > Nennergrad+1: zu der Funktion gibt es eine asymptotische Kurve
- Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.
Bei obenstehender Funktion gilt: Zählergrad = 2 = Nennergrad und daher hat die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) die horizontal verlaufende Asymptote y=1; An den Stellen x=-1 bzw. x=1 hat die Funktion zudem Polstellen mit Vorzeichenwechsel
Aufgaben
Aufgabe 222
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung \(g:y = {e^{4x}}\)
Wähle aus den folgenden 5 Funktionsgleichungen f1..f5 jene 2 aus, deren 1. Ableitung durch g gegeben ist.
- Aussage 1: \({f_1}:y = \dfrac{1}{4} \cdot {\left( {{e^x}} \right)^4}\)
- Aussage 2: \({f_2}:y = 4 \cdot {\left( {{e^x}} \right)^4}\)
- Aussage 3: \({f_3}:y = 0,25 \cdot {\left( {{e^4}} \right)^x}\)
- Aussage 4: \({f_4}:{e^{{x^4}}}\)
- Aussage 5: \({f_5} = \dfrac{1}{4} \cdot {\left( {{e^{ - x}}} \right)^4}\)
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Aufgabe 234
Partielle Ableitungen
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer eindimensionalen Welle:
Gegeben ist die eindimensionale Wellengleichung
\(\dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} = \dfrac{\rho }{\sigma } \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {t^2}}}\)
wobei:
\(\rho \) | Dichte des Saitenmaterials |
\(\sigma\) | Saitenspannung mit \(\sigma \left( {F,q} \right)\) |
F | Kraft mit der die Saite gespannt wird |
q | Querschnitt der Saite |
Gesucht ist ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit c für folgende harmonische Erregung:
\(\psi \left( {x,t} \right) = A \cdot \sin \dfrac{{2\pi }}{\lambda }\left( {c \cdot t - x} \right)\)
Aufgabe 207
Newtonschen Näherungsverfahren
Bestimme mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahrens eine Nullstelle von f(x).
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 6\)
Aufgabe 242
Parameter einer quadratischen Funktion
In einem Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion dargestellt.
Es gilt: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) mit b=0 und \({\text{a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Ermittle die Werte der Parameter a und c. Die dafür erforderlichen Punkte - wähle solche mit ganzzahligen Koordinaten - sind im Koordinatensystem abzulesen.
Aufgabe 243
Geschwindigkeiten im Weg-Zeit Diagramm
Das nachfolgende Weg-Zeit Diagramm zeigt das Flugverhalten einer Stubenfliege.
Geschwindigkeit | |
\({v_{Fliege}} = 0\,\,m/s\) | A |
\({v_{Fliege}} = 1\,\,m/s\) | B |
\({v_{Fliege}} = 2\,\,m/s\) | C |
\({v_{Fliege}} = 2,5\,\,m/s\) | D |
\({v_{Fliege}} = 5\,\,m/s\) | E |
Aufgabenstellung:
Ordne jedem Zeitintervall jene Geschwindigkeit (aus A bis F) zu, die dem jeweiligen Flugverhalten der Fliege entspricht.
Zeitintervall | Deine Antwort |
\(\left[ {0;\,2} \right]\) | |
\( \left[ {2;\,3} \right]\) | |
\(\left[ {3;\,4,5} \right]\) | |
\(\left[ {4,5;\,10} \right]\) |
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