Aufgabe 222
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung \(g:y = {e^{4x}}\)
Wähle aus den folgenden 5 Funktionsgleichungen f1..f5 jene 2 aus, deren 1. Ableitung durch g gegeben ist.
- Aussage 1: \({f_1}:y = \dfrac{1}{4} \cdot {\left( {{e^x}} \right)^4}\)
- Aussage 2: \({f_2}:y = 4 \cdot {\left( {{e^x}} \right)^4}\)
- Aussage 3: \({f_3}:y = 0,25 \cdot {\left( {{e^4}} \right)^x}\)
- Aussage 4: \({f_4}:{e^{{x^4}}}\)
- Aussage 5: \({f_5} = \dfrac{1}{4} \cdot {\left( {{e^{ - x}}} \right)^4}\)
Lösungsweg
Wir wenden die Regel zum Differenzieren von Exponentialfunktionen an
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)
- Aussage 1: Richtig, weil \({f_1}:y = \dfrac{1}{4} \cdot {\left( {{e^x}} \right)^4} = \dfrac{1}{4} \cdot {e^{4x}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{f_1}^\prime = \dfrac{1}{4} \cdot 4 \cdot {e^{4x}} = {e^{4x}} = g\)
- Aussage 2: Falsch, weil \({f_2}:y = 4 \cdot {\left( {{e^x}} \right)^4} = 4 \cdot {e^{4x}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{f_2}^\prime :4 \cdot {e^{4x}} \cdot 4 = 16 \cdot {e^{4x}} \ne g\)
- Aussage 3: Richtig, weil \({f_3}:y = 0,25 \cdot {\left( {{e^4}} \right)^x} = 0,25 \cdot {e^{4x}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{f_3}^\prime = 0,25 \cdot {e^{4x}} \cdot 4 = {e^{4x}} = g\)
- Aussage 4: Falsch, weil \({f_4}:{e^{{x^4}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{f_4}^\prime = 4 \cdot {e^{4x}} \cdot {x^3} \ne g\)
- Aussage 5: Falsch, weil \({f_4} = 0,25 \cdot {e^{{x^4}}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{f_4}^\prime = 0,25 \cdot {e^{{x^4}}} \cdot 4 = - {e^{{x^4}}} \ne g\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählten Lösungen mit den korrekten Lösungen übereinstimmen.