Aufgabe 1035
AHS - 1_035 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleiche Ableitungsfunktionen
In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Funktion g dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie im vorgegebenen Koordinatensystem den Graphen einer Funktion f (f ≠ g) ein, die die gleiche Ableitungsfunktion wie die Funktion g hat!
Lösungsweg
Aus der Angabe können wir entnehmen, dass die gegebene Funktion g eine Stammfunktion ist. Wir sollen eine weitere Stammfunktion finden, die die gleiche Ableitungsfunktion f hat wie die gegebene Stammfunktion g.
In diesem Zusammenhang fällt uns die Definition vom unbestimmten Integral ein:
\(\int {f\left( {\,\,dx} \right)} = F\left( x \right) + C\)
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Die Graphen aller Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung längs der y-Achse ineinander über.
Auf die Notation im gegebenen Beispiel umgeschrieben:
\(\int {f\left( {x\,\,dx} \right) = g\left( x \right) + C}\)
Wir zeichnen eine, entlang der y-Achse verschobene, sonst identische Funktion f ein. Dabei ist es bedeutungslos, ob und wie weit wir die Funktion g nach oben (z.B. so wie f1) oder nach unten (z.B. so wie f2) verschieben. Auf keinen Fall aber dürfen wir die Form der Funktion verändern oder sie nach links oder nach rechts verschieben.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Wir haben zur Veranschaulichung 2 der unendlich vielen Lösungen f1 und f2 eingezeichnet.
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn der Graph von f erkennbar durch eine Verschiebung in Richtung der y-Achse aus dem Graphen von g entsteht.