Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
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Formeln
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
- Das Potenzieren entspricht einer mehrfachen Multiplikation. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.
- Das Ziehen von Wurzeln stellt die Umkehrung vom Potenzieren dar. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.
- Das Logarithmieren ist eine weitere Möglichkeit einen Potenzterm nach x aufzulösen. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist.
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Potenzieren
Potenzieren, d.h. die Potenzrechnung, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.
Beispiel:
Berechne x
\(\eqalign{ & \root 3 \of x = 5 \cr & x = {5^3} = 125 \cr}\)
Bezeichnungen beim Potenzieren
Eine Potenz ist ein Begriff aus der Exponentialrechnung. Sie setzt sich aus einer Mantisse, einer Basis und einem Exponenten zusammen. Es handelt sich dabei um eine vereinfachte Schreibweise einer Multiplikation.
\(m \cdot {a^n}\) | |
m | Mantisse, das ist die Gleitkommazahl vor der Potenz |
\({a^n}\) | Potenz |
a | Basis oder Grundzahl beschreibt, welche Basis zu multiplizieren ist, |
\({^n}\) | Exponent oder Hochzahl beschreibt, wie oft die Basis mit sich selbst zu multiplizieren ist |
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Beim Potenzieren handelt es sich um eine abgekürzte Schreibweise für eine spezielle Multiplikation, bei der ein Faktor „a“ n-mal mit sich selbst multipliziert wird. Man spricht „a hoch n“.
\(\eqalign{ & {a^n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \cr & a \in {\Bbb R} \cr & n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\} \cr}\)
- Quadrieren: Multipliziert man eine Zahl einmal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zum Quadrat, so spricht man vom Quadrieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 2. Beispiel: x2
Quadriert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine positive Zahl. Beispiel: (-2)2=4 - Kubieren: Multipliziert man eine Zahl zweimal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zur dritten Potenz, so spricht man vom Kubieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 3. Beispiel: x3
Kubiert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine negative Zahl. Beispiel: (-2)3= -8
Potenzen mit negativen Exponenten
Eine Potenz mit negativem Exponent kann in einen Quotienten umgewandelt werden, in dessen Zähler eine 1 steht und dessen Nenner die Basis der Potenz aber mit positivem Exponenten ist. In der Praxis geht man aber eher umgekehrt vor und macht aus einem Bruch eine Potenz mit negativem Exponent.
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen mit negativer Basis
Potenzen von Zahlen mit einer negativen Basis sind positiv, wenn der Exponent gerade ist bzw. negativ, wenn der Exponent ungerade ist.
Beispiel:
- negative Basis, gerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^4} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot 9 = 81\)
- negative Basis, ungerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^3} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot \left( { - 3} \right) = - 27\)
Beispiel aus der Physik:
Lichtgeschwindigkeit
\({{c_0} = {{2,99792.10}^8}\dfrac{m}{s}}\) | Potenzen |
2,99792 | Mantisse |
10 | Basis |
8 | Exponent |
\({\dfrac{m}{s}}\) | physikalische Einheit |
Rechenregeln für Potenzen
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^n} = 0\)
- \({a^0} = 1\)
- \({a^1} = a\)
- \(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
- \(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
- \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen
Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".
\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen
Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)
Potenzen potenzieren bzw. radizieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)
Potenzen von Binomen
Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.
Binom
Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)
Binomische Formeln
Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)
Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)
\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.
\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)
\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)
Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.
Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen
Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.
\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)
Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten
Merke:
- Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
- In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
- Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
- Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied
Quadratische Ergänzung
Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.
Radizieren bzw. Wurzelziehen
Radizieren, d.h. das Wurzelziehen, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.
Beispiel:
Berechne x
\(\begin{array}{l} {x^3} = 125\\ x = \sqrt[3]{{125}} = 5 \end{array}\)
Bezeichnungen beim Wurzelziehen / Radizieren
Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Der Wurzelexponent ist jener Wert, mit dem man den Wurzelwert potenzieren muss, um als Resultat den Radikanden der Wurzel zu erhalten. Schreibt man keinen Wurzelwert an, so gilt automatisch n=2
\({b = \root n \of a }\) | n-te Wurzel aus a |
b | Wurzelwert |
a | Radikand, Wert unter dem Wurzelzeichen |
n | Wurzelexponent |
Potenzen mit rationalen Exponenten
Die n-te Wurzel aus der nicht-negativen Zahl a ist jene eindeutige, ebenfalls nicht negative Zahl b, deren n-te Potenz wiederum gleich a ist. Anmerkung: Die n-te Wurzel aus der negativen Zahl a, kann nur im Bereich der komplexen Zahlen gelöst werden.
\(\eqalign{ & \root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n} \cr & a,b \in {{\Bbb R}^ + };\,\,r,s \in {\Bbb R};\,\,n \in {\Bbb N} \cr}\)
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Logarithmen - Grundbegriffe
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Logarithmieren
Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist. Der Logarithmus von b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}\left( b \right){ = ^a}\log b\)
Beispiel: Berechne x
\(\eqalign{ & {5^x} = 125 \cr & x{ = ^5}\log 125 = 3 \cr} \)
Äquivalente Schreibweisen für Logarithmen
\(^a\log {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}\left( b \right)\)
Zusammenhang zwischen den Exponentialfunktionen und den allgemeinen Logarithmusfunktionen
Logarithmen sind die Umkehrfunktion zu Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \ne 1\) bildet das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\)streng monoton auf das Intervall des Wertebereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) ab. Daher existiert eine Umkehrfunktion \(g\left( x \right)\) genannt Logarithmus zur Basis a, welche das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) auf das Intervall ihres Wertebereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\) stetig abbildet.
Bezeichnungen beim Logarithmieren
Ein Logarithmus wird durch seine Basis a und seinen Numerus b bestimmt. Für die Basis a sind 10, die eulersche Zahl e und 2 üblich.
\({x = {}^a\log b}\) | Logarithmus von b zur Basis a |
a | Basis |
b | Numerus |
x | Logarithmuswert |
Praktischer Nutzen von Logarithmen
Logarithmen sind in der Wissenschaft und Technik weit verbreitet. Sie ermöglichen
- große Zahlenbereiche mittels logarithmischer Skalen kompakt darzustellen
- einfache Lösungen für Gleichung mit Exponentialfunktionen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert
- Intensitäten und Verhältnisse, wie die Lautstärke, den pH-Wert, den Signal-zu-Rauschabstand anschaulich auszudrücken
- exponentielles Wachstum als linearen Anstieg darzustellen.
\(\eqalign{ & y = a \cdot {e^{k \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( y \right) = \ln \left( a \right) + k \cdot t \cr} \)
wobei a der Anfangswert und k die Wachstumsrate ist - den Grad von Gleichungen zu senken (Potenzieren → Multiplizieren; Multiplizieren → Addieren). Diese Rechenerleichterung erlaubte vor der Erfindung des Computers eine dramatische Vereinfachung und Reduzierung von Rechenfehlern bei Berechnungen in der Astronomie und in der Navigation), erforderte aber den Einsatz von vorab erstellten, von der konkreten Aufgabenstellung unabhängigen, Logarithmustafeln bzw. eines Rechenschiebers.
Unterscheidung von Logarithmen nach deren Basis
Es ist möglich die Basis vom Logarithmus frei zu wählen. Es ist aber üblich für die Basis entweder 10, die Eulersche Zahl e, oder 2 zu wählen
\({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) | Der allgemeine Logarithmus von b zur beliebigen Basis a |
\(^{10}\log b = \lg \left( b \right) = \log \left( x \right) = {\log _{10}}\left( x \right)\) | Der dekadische Logarithmus hat die Zahl a=10 als Basis |
\({}^e\log b = \ln b\) | Der natürliche Logarithmus hat die Zahl a=e=2,71828 als Basis |
\({}^2\log b = {\mathop{\rm lb}\nolimits} \,b\) | Der binäre Logarithmus hat die Zahl a=2 als Basis |
Alle Logarithmusfunktionen sind unabhängig von ihrer Basis proportional zueinander und unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor. In der Praxis kommt nur der dekadische Logarithmus zur Anwendung, daher lässt man mitunter die Bezeichnung 10 für die Basis weg oder schreibt lg.
Spricht man von Exponentialfunktionen, so hat die natürliche Exponentialfunktion zur Basis e eine überragende Bedeutung. Ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln(x), ist in der Schreibweise deutlich von log(x) zu unterscheiden.
Allgemeiner Logarithmus von b zur Basis a
Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Diese Form vom Logarithmus ist zwar allgemein, hat aber kaum praktische Bedeutung im Vergleich um dekadischen und zum natürlichen Logarithmus.
\(\eqalign{ & {}^a\log b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\};\,\,b \in {{\Bbb R}^ + }\, \cr}\)
\({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) ist die eindeutige Lösung der Gleichung \({b^x} = a\) . Den Zahlenwert vom allgemeinen Logarithmus, für den es keine Logarithmentafeln aber auch keine separate Taste am Taschenrechner gibt, kann man berechnen, indem man den Logarithmus vom Numerus b durch den Logarithmus der Basis a dividiert.
\(^a\log b = \dfrac{{\ln b}}{{\ln a}} = \dfrac{{\lg b}}{{\lg a}} = \dfrac{{{\text{lb}}(b)}}{{{\text{lb}}(a)}}\)
Beispiel:
\({}^2\log16 = x;\)
... folgende Umrechnung vereinfacht die Berechnung, sollte man keinen modernen Taschenrechner zur Hand haben:
\(x = \dfrac{{\ln 16}}{{\ln 2}} = \dfrac{{\lg 16}}{{\lg 2}} = \dfrac{{lb\left( {16} \right)}}{{lb\left( 2 \right)}} = 4\)
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus hat die eulersche Zahl e=2,71828 als Basis.
Der Logarithmus naturalis ln(x) ist die Umkehrfunktion der eulerschen Funktion ex. Beide Funktionen kommt in den Ingenieurwissenschaften auf Grund der Eulerschen Formel zentrale Bedeutung zu.
\({e^{j\varphi }} = \cos \left( \varphi \right) + i \cdot \sin \left( \varphi \right)\)
Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi \) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten j einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits.
\(\eqalign{ & {\text{Basis = e: }}{\log _e}\left( b \right) = \ln \left( b \right) \cr & {D_f} = {{\Bbb R}^ + } \cr & {W_f} = {\Bbb R} \cr & \ln \left( 0 \right){}...{\text {nicht definiert}} \cr & {\text{ln}}\left( 1 \right) = 0 \cr & \ln (e) = 1 \cr} \)
Dekadischer Logarithmus
Der dekadische Logarithmus hat die Zahl 10 als Basis und da wir mit einem 10-er System rechnen, wurde er früher bevorzugt durch umfangreiche Logarithmentafeln unterstützt.
\({\text{Basis = 10: }}{}^{10}\log b = \lg b\)
Es ist zweckmäßig für die Basis b=10 zu wählen, denn dann kann man Logarithmen mit beliebiger Basis leicht berechnen.
\({}^b\log x = {}^a\log x \cdot {}^b\log a\,\, \Leftrightarrow \,\,{}^a\log x = \dfrac{{{}^b\log x}}{{{}^b\log a}}\)
Wichtige Werte:
\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 1 \right) = 0 \cr & {\log _{10}}\left( {10} \right) = 1 \cr & {\log _{10}}\left( {100} \right) = 2 \cr & {\log _{10}}\left( {1.000} \right) = 3 \cr} \)
Zusammenhang dekadischer Logarithmus und natürlicher Logarithmus
Bei der Umrechnung vom dekadischen auf den natürlichen Logarithmus erfolgt ein Wechsel der Basis von 10 auf e=2,718
\({}^a\log x = \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}\)
Binärer Logarithmus
Der binäre Logarithmus hat die Zahl 2 als Basis.
\({\rm{Basis = 2: }}{{\rm{\;}}^2}\log b = {\rm{lb}}\left( b \right)\)
In der Informatik werden Daten in Form von Binärzahlen dargestellt, wobei jedes Bit entweder den Wert 0 oder 1 annehmen kann. Der binäre Logarithmus wird verwendet, um die Anzahl der Bits zu bestimmen, die benötigt werden, um einen bestimmten maximalen dezimalen Zahlenbereich binär darzustellen. Zum Beispiel benötigt die Darstellung vom dezimalen Zahlenbereich 0 .. 255, also 256 verschiedene Zustände, 8 Bit.
Beipiel
\({\text{lb}}(256) = 8\)
Logarithmentafeln
Logarithmentafeln waren vor der Verbreitung von Computer Algebra Systemen (CAS) ein wichtiges Werkzeug der Mathematik und der Naturwissenschaften. Dabei handelt es sich um vorab berechnete Tabellen, welche die Werte von Logarithmen, vorzugsweise von dekadischen oder natürlichen Logarithmen, für verschiedene Zahlen enthalten.
Indem man in diesen Tabellen den Wert von x sucht, kann man den entsprechenden Logarithmus lg(x) bzw. ln(x) ablesen und umgekehrt.
Beispiel: Führe 81*243 auf eine Addition zurück und berechne unter Verwendung einer Logarithmentafel
\(\eqalign{ & x = 81 \cdot 243\,\,\,\left| {\log } \right. \cr & \log x = \log \left( {81 \cdot 243} \right) = \log \left( {81} \right) + \log \left( {243} \right) \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & \log \left( {81} \right) \approx 4,394449 \cr & \log \left( {243} \right) \approx 5,493061 \cr & \cr & \log x \approx 4,394449 + 5,493061 \approx 9,88751 \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & {\text{9}}{\text{,88751 = log(19683) = log(x)}} \cr & \cr & {\text{x = 19683}} \cr} \)
Logarithmen erleichterten komplexe Berechnungen, insbesondere bei Multiplikationen, Divisionen, Potenzierung und beim Wurzelziehen, so wie sie in der Astronomie und der Navigation häufig vorkommen. Heute erledigen CAS diese Aufgabe.
Logarithmische Skala
Logarithmische Skalen werden verwendet, wenn der Wertebereich der darzustellenden Größe viele Zehnerpotenzen umfasst. Auf einer logarithmischen Skala werden Werte, die sich in gleichen Zeiträumen verzehnfachen als Gerade dargestellt. Kleine Werte sind genauer ablesbar als große Werte.
Dabei ergibt 10 hoch dem dekadischen Wert den entsprechenden logarithmischen Wert.
\(\begin{gathered} {10^0} = 1 \hfill \\ {10^1} = 10 \hfill \\ {10^2} = 100 \hfill \\ ... \hfill \\ {10^7} = 10.000.000 \hfill \\ \end{gathered} \)
Beispiele für logarithmische Skalen:
- Lautstärken misst man in Dezibel, wobei der leiseste hörbare Ton mit 0dB definiert ist. Ein 10-mal größerer Schalldruck ist mit 10dB definiert und ein 100-mal größerer Schalldruck ist mit 20 dB definiert....
- Das Spektrum elektromagnetischer Wellen reicht von 100 Hz bis 1023 Hz.
- Aktienkurse, die alle 10 Jahre ihren Wert verzehnfachen, haben einen linear verlaufenden Graph, wenn die Zeitachse linear und die Werteachse logarithmisch beschriftet ist.
- Potenzfunktionen werden als Gerade dargestellt, wenn sowohl die x- als auch die y-Achse logarithmisch beschriftet sind.
Rechenregeln für's Wurzelziehen
Wurzelrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \(\root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n}\)
- \(\root n \of 0 = 0\)
- \(\root n \of 1 = 1\)
- \(\root 1 \of a = a\)
- \(\root 2 \of a = \sqrt a \)
Wurzel mit negativem Radikand
Wurzeln mit negativem Radikand kann man nur im Bereich der komplexen Zahlen lösen, dazu wird die imaginäre Einheit i definiert.
- \(\sqrt { - 1} = i\)
Addition bzw. Subtraktion bei gleichen Radikanden und gleichem Wurzelexponent
Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und diese Summe (r+s) mit der Wurzel multipliziert.
Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und die Summe (r+s) bzw. Differenz (r-s) bildet und diese mit der n-ten Wurzel aus a multipliziert.
\(r\root n \of a \pm s\root n \of a = \left( {r \pm s} \right) \cdot \root n \of a \)
Multiplikation von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten
Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht.
\(\root n \of a \cdot \root n \of b = \root n \of {a \cdot b}\)
mit
a, b | Radikanden |
n, m | Wurzelexponent |
Multiplikation von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten
Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}} \cdot \sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m} \cdot {b^n}}}\)
Division von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten
Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht.
\(\dfrac{{\root n \of a }}{{\root n \of b }} = \root n \of {\dfrac{a}{b}} \)
Division von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten
Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Division von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Quotient der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:
\(\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[m]{b}}} = \dfrac{{\sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}}}}{{\sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{\dfrac{{{a^m}}}{{{b^n}}}}}\)
Potenzieren von Wurzeln
Wurzeln werden potenziert, indem man den Radikanden potenziert und anschließend radiziert. Alternativ kann man aber auch zuerst radizieren und dann potenzieren.
\({\left( {\root n \of a } \right)^m} = \root n \of {{a^m}} \)
Radizieren von Wurzeln
Man radiziert eine Wurzel, d.h. man zieht die Wurzel von einer Wurzel, indem man die Wurzelexponenten multipliziert
\(\root n \of {\root m \of a } = \root {n.m} \of a \)
Umformen von Wurzeln in Potenzen
Wurzeln lassen sich sehr einfach in Potenzen umwandeln. Aus dem Radikand der Wurzel wird die Basis der Potenz, deren Exponent der Bruch "1 durch Wurzelexponent" ist.
\(\eqalign{ & \root n \of a = {a^{\left( {\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \dfrac{1}{{\root n \of a }} = {a^{\left( { - \,\,\,\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \root n \of {{a^k}} = {a^{\left( {\dfrac{k}{n}} \right)}} \cr & \cr & \root n \of {{a^k}} = \root {n.m} \of {{a^{k.m}}} \cr} \)
Anmerkung: Die Klammern bei den Exponenten werden nur geschrieben um die Lesbarkeit im Webbrowser zu verbessern. Sie sind natürlich nicht falsch, aber unnötig.
Logarithmen - Rechenregeln
Vorab eine Mindmap zu den Inhalten dieser Mikro-Lerneinheit
Grundlegende Rechenregeln für Logarithmen
\(\eqalign{ & {\log _a}b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & {\log _a}1 = 0 \cr & {\log _a}a = 1 \cr & {\log _a}\frac{1}{a} = - 1 \cr & {\log _a}{a^n} = n \cr & {\log _a}{a^x} = x \cr & {a^{{t_1}}} = {a^{{t_2}}} \Leftrightarrow {t_1} = {t_2}{\text{ für a > 0 und a}} \ne {\text{1}} \cr} \)
Bei der Verwendung von Taschenrechnern ist folgender Zusammenhang sehr nützlich, da er eine Möglichkeit bietet, allgemeine Logarithmen mit Hilfe der auf jedem Taschenrechner vorhandenen natürlichen Logarithmen zu berechnen:
\(x = {\log _a}\left( b \right) = \dfrac{{\ln \left( b \right)}}{{\ln \left( a \right)}}\)
Die Rechenregeln für Logarithmen erlauben es, den "Grad einer Rechenoperation" zu "erniedrigen".
- Aus Potenzieren und Radizieren wird Multiplikation und Division.
- Aus Multiplikation bzw. Division werden Addition bzw. Subtraktion.
Dies war vor der Erfindung vom Taschenrechner vor allem in der Astronomie und der Seefahrt von so großer Bedeutung, dass Mathematiker ihr ganzes Berufsleben damit verbrachten Logarithmustabellen zu erstellen, um es den Astronomen und Navigatoren zu ermöglichen, einfache Multiplikationen oder Divisionen statt aufwendig Potenzen bzw. Wurzeln zu berechnen. Noch heute löst man Exponentialgleichungen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
- Multiplikation → Addition:
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\) - Division → Subtraktion:
\({\log _a}\dfrac{u}{v} = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\) - Potenzieren → Multiplikation:
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\) - Wurzelziehen → Division:
\({\log _a}\left( {\root r \of u } \right) = \dfrac{1}{r} \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus eines Produkts
Der Logarithmus eines Produkts, ist gleich der Summe der Logarithmen seiner Faktoren. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Multiplikation auf eine wesentlich einfachere Addition zurück.
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus eines Quotienten
Der Logarithmus eines Quotienten, ist gleich der Differenz der Logarithmen seines Dividenden und seines Divisors. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Division auf eine wesentlich einfachere Subtraktion zurück.
\({\log _a}\left( {\dfrac{u}{v}} \right) = - {\log _a}\left( {\dfrac{v}{u}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus einer Potenz
Der Logarithmus einer Potenz, ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Potenzieren von ur auf eine wesentlich einfachere Multiplikation zurück.
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus einer Wurzel
Der Logarithmus einer Wurzel, ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmen seines Radikanden und aus dem Wert des Wurzelexponenten. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Wurzelziehen auf eine wesentlich einfachere Division zurück
\({\log _a}\left( {\root n \of u } \right) = \dfrac{{{{\log }_a}\left( u \right)}}{n}\)
Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist
Der Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist, ist gleich dem mit -1 multiplizierten Logarithmus, dessen Basis der Kehrwert des Quotienten ist.
\({\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( u \right) = - {\log _a}\left( u \right)\)
Zusammenhang zwischen e-Funktion und natürlichem Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die inverse Funktion zur e-Funktion. Das bedeutet, wenn man die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus aufeinander anwendet, heben sie sich gegenseitig auf:
\({e^{\ln \left( x \right)}} = x = \ln \left( {{e^x}} \right)\)
Auf folgende Weise helfen Logarithmen bei der Lösung von Exponentialgleichungen
1. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^x} = 5\)
Berechne x
Lösungsweg
\({3^x} = 5\,\,\,\,\,\left| {{\text{beide Seiten logarithmieren}}} \right.\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\(\ln \left( {{3^x}} \right) = \ln \left( 5 \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & x \cdot \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 5 \right)\,\,\,\,\,\left| {:\ln \left( 3 \right)} \right. \cr & x = \frac{{\ln \left( 5 \right)}}{{\ln \left( 3 \right)}} \approx 1,465 \cr} \)
2. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)
Berechne x
Lösungsweg:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {{\text{beide}}} \right.{\text{ Seiten logarithmieren}}\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\({\text{ln}}\left( {{3^{\left( {2x - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {{{10}^x}} \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right) \cdot \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr & 2x \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr} \)
Nun bringen wir alle Ausdrücke, welche die Variable x enthalten, auf die linke Seite der Gleichung, auf der rechten Seite der Gleichung verbleiben Zahlenwerte:
\(2x \cdot \ln \left( 3 \right) - x \cdot \ln \left( {10} \right) = \ln \left( 3 \right)\)
wir heben x heraus:
\(x \cdot \left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right] = \ln \left( 3 \right)\)
und machen x explizit:
\(x = \dfrac{{\ln \left( 3 \right)}}{{\left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right]}} \approx - 10,4271\)
Probe:
Linke Seite der Gleichung: \({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {3^{\left( { - 2 \cdot 10,4271 - 1} \right)}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
Rechte Seite der Gleichung: \({10^x} = {10^{ - 10,4271}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
wzbw.
Aufgaben
Aufgabe 38
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {a^0}{\text{ für }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
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Aufgabe 39
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {0^0}\)
Aufgabe 40
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {0^n}{\text{ für }}n \ne 0\)
Aufgabe 41
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {1^n}\)
Aufgabe 42
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^n}\)
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Aufgabe 43
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n}}\)
Aufgabe 44
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n - 1}}\)
Aufgabe 45
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n + 1}}\)
Aufgabe 46
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {4^3}\)
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Aufgabe 47
Potenzen mit reellen Exponenten:
Vereinfache:
\(w = {( - 4)^3}\)
Aufgabe 48
Potenzen mit übereinstimmenden Basen und Exponenten
Vereinfache:
\(w = \left( {{a^2} - 2a} \right) \cdot 4 - ({a^2} - 8a)\)
Aufgabe 49
Potenzen mit übereinstimmenden Basen
Vereinfache:
\(w = \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)