Binom

Terme

Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Koeffizienten, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen bestehen. Gleichungen und Ungleichungen haben links und rechts vom Relationszeichen einen Term. Äquivalenz bezeichnet die Gleichwertigkeit von Termen.

• Beispiel für einen Term: \({x^2} + (px + q) \cdot 2\)
• Beispiel für kein Term, weil sinnlos: 1+!²

Terme sind Grundbestandteile um mathematische Aussagen zu formulieren. Sie müssen daher sinnvoll sein ("1" ist ein Term, "+" ist ein Term). Mathematisch Sinnloses stellt keinen Term dar.

Wert eines Terms

Den Wert eines Terms erhält man, indem man für die Variablen und für die durch Buchstaben ausgedrückten Konstanten konkrete Zahlen in den Term einsetzt

Beispiel:
\(\eqalign{ & {\text{Term: }}2x + c \cr & {\text{Variable }}x = 5 \cr & {\text{Konstante }}c = 3 \cr & {\text{Einsetzen in den Term: 2}} \cdot {\text{5 + 3}} \cr & {\text{Wert vom Term: }}13 \cr} \)

Gleichwertige bzw. äquivalente Terme

Zwei Terme sind gleichwertig bzw. äquivalent, wenn sie den selben Wert ergeben, nachdem man für die selben Variablen bzw. durch Buchstaben angeschriebene Konstanten im Term, jeweils den selben Zahlenwert eingesetzt hat.

Terme vereinfachen

• Gleich lautende Terme darf man zusammenfassen
  Beispiel: \(x + 2x - 4x = - x\)
• Prioritäten der Rechenoperationen: Klammern vor Punktrechnung vor Strichrechnung

Polynome

Man unterscheidet Terme nach der Anzahl ihrer Glieder. Für Polynome mit 1, 2 oder 3 Gliedern gibt es spezielle Bezeichner

• Monom: Term mit einem Glied
  Beispiel: \(\dfrac{2}{5}{x^3}\)
• Binom: Term mit zwei Gliedern. Das Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome
  Beispiel: \(\left( {a + b} \right)\)
• Trinom: Term mit drei Gliedern. Das Trinom ist die Summe oder Differenz dreier Monome
  Beispiel: \({a^2} - 2ab + {b^2}\)

Koeffizienten

Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor einer Variablen stehen. Der Koeffizient "1" wird nicht angeschrieben, sodass \(1 \cdot x = x\)

Konstante

Konstante sind Zahlen, die als alleinstehender Summand angeschrieben werden.
Beispiel: 2x+3

• 2 ist ein Koeffizient, weil die 2 ein Faktor vor dem x ist
• x ist eine Variable, also die Veränderliche
• 3 ist eine Konstante

Achtung: Auch für Konstante werden Variablen wie a, b, c oder k verwendet. D.h. auch wenn ein Buchstabe verwendet wird, handelt es sich nach wie vor um eine Konstante. Die wohl berühmteste Konstante ist die Kreiszahl Pi: \(\pi = 3,14159\)

Beispiel: 2x+c

• 2 ist ein Koeffizient, weil die 2 ein Faktor vor dem x ist
• x ist eine Variable, also die Veränderliche
• c ist eine Konstante, die für eine Zahl steht, die im aktuell betrachteten Zusammenhang nicht veränderlich ist

Variable

Variablen sind Platzhalter für veränderliche Elemente aus einer Grundmenge (z.B.: einen veränderlichen Zahlenwert)

• für Variablen bevorzugt man: x, y, z
• für Variablen, die abhängig von einer Formel mehrere Werte annehmen können, bevorzugt man x₁, x₂
• für Lauf-Variable, das sind Variablen die hochgezählt werden, also 0, 1, 2, 3,... bevorzugt man i, j für den höchsten Wert den die Zählvariable erreicht bevorzugt man n, m
• für Konstante bevorzugt man a, b, c, k

"Variable" auch "Platzhalter" oder "Veränderliche" stehen stellvertretend für einen veränderlichen Zahlenwert in Gleichungen oder Ungleichungen. Um Gleichungen lösen zu können, d.h. jenes x zu ermitteln, welches die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, strebt man an, dass die Variable x alleine (ohne Koeffizienten) auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. 

Lösbarkeit: Für n Variablen braucht man n unabhängige Gleichungen um das Gleichungssystem lösen zu können. Hat man n+1 Gleichungen ist das Gleichungssystem überbestimmt (was nicht automatisch ein Problem darstellen muss), hat man n-1 Gleichungen, ist das Gleichungssystem unlösbar, weil es unterbestimmt ist.

Rechenzeichen

Rechenzeichen sind Teil der mathematischen Notation und verbinden zwei Zahlen.
Die gängigsten Rechenzeichen sind das

• Plus-Zeichen: "a+b" für a und b werden addiert
• Minus-Zeichen: "a-b" für b wird von a subtrahiert
• Mal-Zeichen: "\(a \cdot b\)" für a und b werden multipliziert
• Dividiert-Zeichen: "\(a:b\,\,\,a/b\,\,\,a \div b\,\,\,\dfrac{a}{b}\)" für a wird durch b dividiert
• Plusminuszeichen: "\(a \pm b\)" für a plus oder minus b, kommt etwa beim Lösen quadratischer Gleichungen vor
• Minuspluszeichen: "\(a \mp b\)" für a minus oder plus b

Vorzeichen

Das Vorzeichen entscheidet ob die Zahl links und somit im negativen Bereich oder rechts und somit im positiven Bereich auf der Zahlengerade liegt. Steht kein Vorzeichen angeschrieben, so ist die Zahl grundsätzlich positiv. Bei negativen Vorzeichen in Verbindung mit Rechenzeichen empfiehlt sich die Verwendung von Klammern.

• Plus-Vorzeichen: \(1 = + 1\)
• Minus-Vorzeichen: \(- 1 = \left( { - 1} \right)\)

Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division

• Zweimal plus oder zweimal minus ergibt plus.
  • Positives mal Positives = Positives Ergebnis \(3 \cdot 2 = 6\)
  • Negatives mal Negatives = Positives Ergebnis \( - 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 6\)
  • Positives durch Positives = Positives Ergebnis \(3/2 = 1,5\)
  • Negatives durch Negatives = Positives Ergebnis \(\left( - \right)3/\left( { - 2} \right) = 1,5\)
• Einmal plus und einmal minus ergibt minus.
  • Positives mal Negatives = Negatives Ergebnis \(3 \cdot \left( { - 2} \right) = - 6\)
  • Negatives mal Positives = Negatives Ergebnis \( - 3 \cdot 2 = - 6\)
  • Positives durch Negatives = Negatives Ergebnis \(3/\left( { - 2} \right) = - 1,5\)
  • Negatives durch Positives = Negatives Ergebnis \(\left( { - 3} \right)/2 = - 1,5\)
• Positive oder negative Zahl mal Null ergibt Null \(\left( { - 3} \right) \cdot 0 = 3 \cdot 0 = 0\)
• Null geteilt durch positive oder negative Zahl ergibt Null \(0/2 = 0/\left( { - 2} \right) = 0\)
• Positive oder negative Zahl geteilt durch Null ist in der klassischen Arithmetik nicht definiert \(2/0 \buildrel \wedge \over = \left( { - 2} \right)/0 = {\text{ nicht definiert}}\)

Relationszeichen

• Gleichheitszeichen
  Gleichungen sind Terme, die durch ein Gleichheitszeichen „=“ verbunden sind
  Beispiel für eine Gleichung: 1+2x=5
• Ungleichheitszeichen
  Ungleichungen sind Terme, die durch ein Ungleichheitszeichen „<“, „≤“, „>“, „≥“, “ ≠“ verbunden sind
  Beispiel für eine Ungleichung: 1+2x>5

Klammern

Klammern sind Zeichen, die festlegen, in welcher Reihenfolge Terme ausgewertet werden. Es gibt mehrere Klammerstile, damit man diese optisch gut unterscheiden kann.

• Runde Klammer: \(\left( {{\rm{Term}}} \right)\)
• Eckige Klammer: \(\left[ {{\rm{Term}}} \right]\)
• Geschwungene Klammer: \(\left\{ {{\rm{Term}}} \right\}\)
• Verschachtelte Klammern: \(\left\{ {\left[ {\left( {{\rm{Term1}}} \right){\rm{Term2}}} \right]{\rm{Term3}}} \right\}\) Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst

Klammerregeln

• Plus vor der Klammer. Steht vor der Klammer ein Plus, so darf man die Klammer einfach weglassen
  \(a + \left( {b + c} \right) = a + b + c\)
   
• Minus vor der Klammer: Steht vor der Klammer ein Minus, so muss man beim Weglassen der Klammer alle Rechenzeichen die in der Klammer stehen umkehren
  \(\begin{gathered} a - \left( {b + c} \right) = a - b - c \hfill \\ a - \left( {b - c} \right) = a - b + c \hfill \\ \end{gathered} \)
   
• Ausmultiplizieren: Steht ein Faktor vor der Klammer, so multipliziert man diesen Faktor mit jedem Monom in der Klammer (Distributivgesetz)
  \(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)

• Herausheben: Kommt in mehreren Gliedern eines Polynoms der gleiche Faktor vor, so kann man diese Glieder in eine Klammer schreiben und den Faktor davor anschreiben.
  \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot \left( {b + c} \right)\)

• Einklammern: Darunter versteht man, wenn alle positiven und alle negativen Werte zu je einer Summe in einer Klammer zusammengefasst werden. Vor der Klammer mit der Summe der negativen Werte, kommt als Rechenzeichen ein Minus.
  \(a - b + c - d = (a + c) - (b + d)\)

• Ausklammern: Unter ausklammern versteht man das Auflösen von Klammern.

\(\left( {a - b} \right) - (c + d) = a - b - c - d\)

Rangordnung der Grundrechenarten

Reihenfolge, in der man die Rechenregeln anwendet:

• Klammern werden zuerst aufgelöst. Innere Klammern werden vor äußeren Klammer berechnet. Innerhalb einer Klammer gilt: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
• Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

Beispiel 1:

\(\eqalign{ & {\left( { - 3 + 4} \right)^2} - \left( {3 \cdot \left( { - 4 + 1} \right)} \right) = \cr & {\text{Exponenten und innere Klammern zuerst}} \cr & = \left( {9 - 24 + 16} \right) - \left( {3 \cdot \left( { - 3} \right)} \right) = \cr & {\text{Punktrechnung und Klammern auflösen}} \cr & =9 - 24 + 16 - \left( { - 9} \right) =\cr & {\text{Strichrechnung}} \cr & {\text{=9 - 24 + 16 + 9 = 10}} \cr} \)

Beispiel 2:
Achtung bei gleichrangigen Rechenarten:
\({6^2}:2 \cdot \left( {2 + 1} \right) = 36:2 \cdot 3 = ?\)

• Richtig: Wir rechnen von links nach rechts und schreiben die Division als Bruch an
  \(36:2 \cdot 3 = \dfrac{{36}}{2} \cdot 3 = 18 \cdot 3 = 54\)
• Falsch: Weil wir in der Rangordnung höhere Klammern dazuerfinden, die es in der Angabe gar nicht gibt. Daher auch das abweichende Resultat.
• \(36:2 \cdot 3 \ne 36:\left( {2 \cdot 3} \right) = \dfrac{{36}}{{2 \cdot 3}} = 36:6 = 6\)

Formel

Formeln sind allgemeingültige wissenschaftliche mathematische Formulierungen in Form einer Gleichung.

Beispiele für Formeln:

Potenzen von Binomen

Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.

Binom

Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)

Binomische Formeln

Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.

1. Binomische Formel (Plus-Formel)

\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)

2. Binomische Formel (Minus-Formel):

\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)

3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)

\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)

Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel

\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)

\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)

Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.

\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)

\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)

Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.

Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen

Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.

\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)

Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten

Merke:

• Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
• In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
• Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
• Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied

Quadratische Ergänzung

Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.