Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Potenzen von Binomen
Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.
Binom
Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)
Binomische Formeln
Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)
Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)
\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.
\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)
\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)
Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.
Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen
Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.
\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)
Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten
Merke:
- Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
- In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
- Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
- Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied
Quadratische Ergänzung
Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.
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Fakultät
Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine Fakultät. Die Fakultät ist das Produkt aller natürlichen Zahlen größer als Null, die kleiner oder gleich der jeweiligen natürlichen Zahl sind, von der die Fakultät bestimmt werden soll. "n!" oder „n Faktorielle“ oder “n Fakultät“ sind entsprechende vereinfachte Schreibweisen für Fakultät. F
\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n = \prod\limits_{i = 1}^n k \) mit \(n \in {\Bbb N}\)
Rechenregeln zur Fakultät
\(\eqalign{ & \left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right) \Rightarrow n! = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{n + 1}} \cr & 0! = \dfrac{{\left( {0 + 1} \right)!}}{{0 + 1}} = \dfrac{1}{1} = 1 \cr & 1! = \dfrac{{\left( {1 + 1} \right)!}}{{1 + 1}} = \dfrac{{2!}}{2} = \dfrac{{1 \cdot 2}}{2} = 1 \cr} \)
\(\eqalign{ & 0! = 1 \cr & 1! = 1 \cr & 2! = 1 \cdot 2 = 2 \cr & 3! = \left( {1 \cdot 2} \right) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6 \cr & 4! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3} \right) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \cr & 5! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \right) \cdot 5 = 24 \cdot 4 = 120 \cr & 6! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \right) \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720 \cr & 7! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \right) \cdot 7 = 720 \cdot 7 = 5040 \cr} \)
Fakultät in der Kombinatorik
- Permutation: Die Fakultät n! gibt die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihenfolgen an, die n Elemente einer Menge anzuordnen.
- Binomialkoeffizient: Mit Hilfe der Fakultät kann der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\) berechnet werden, der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen zu ziehen.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von insgesamt n Elementen auszuwählen. Die Reihenfolge der Auswahl spielt keine Rolle.
\(\eqalign{ & \left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right) = {{n!} \over {k!(n - k)!}} = \left( {\matrix{ n \cr {n - k} \cr } } \right); \cr & \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right) = 1; \cr & \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right) = n; \cr & \left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right) + \left( {\matrix{ n \cr {k + 1} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {n + 1} \cr {k + 1} \cr } } \right); \cr}\)
\(n,k \in {\Bbb N};\)
Eingabe am Taschenrechner
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ 3 \end{array}} \right) = 9 + Shift + nCr + 3 = 84\)
Aufgaben
Aufgabe 1290
AHS - 1_290 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Betrachtet wird der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ x \end{array}} \right)\)mit \(x \in {\Bbb N}\).
Aufgabenstellung:
Geben Sie alle Werte für \(x \in {\Bbb N}\) an, für die der gegebene Binomialkoeffizient den Wert 1 annimmt!
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Aufgabe 1306
AHS - 1_306 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ferienlager
Aus einer Gruppe von Jugendlichen (14 Mädchen und 10 Burschen) sollen Betreuer/innen für ein Ferienlager ausgewählt werden.
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie den Wert des Ausdrucks \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24}\\ 2 \end{array}} \right)\) im gegebenen Kontext!
Aufgabe 1307
AHS - 1_307 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schischule
Einer Schischule stehen in einer Woche neun Schilehrer/innen zur Verfügung. Für die in dieser Woche geplanten Schikurse werden aber nur sechs Schilehrer/innen benötigt.
Aufgabenstellung
Geben Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ 6 \end{array}} \right)\)in diesem Zusammenhang an!
Aufgabe 1352
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Betrachtet wird der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right)\).
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aufgabenstellungen an, die mit der Rechnung \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right) = 15\) gelöst werden können.
- Aussage 1: Gegeben sind sechs verschiedene Punkte einer Ebene, von denen nie mehr als zwei auf einer Geraden liegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Punkte auszuwählen, um jeweils eine Gerade durch zulegen?
- Aussage 2: An einem Wettrennen nehmen sechs Personen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Zieleinlauf, wenn nur die ersten beiden Plätze relevant sind?
- Aussage 3: Von sechs Kugeln sind vier rot und zwei blau. Sie unterscheiden sich nur durch ihre Farbe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
- Aussage 4: Sechs Mädchen einer Schulklasse kandidieren für das Amt der Klassensprecherin. Die Siegerin der Wahl soll Klassensprecherin werden, die Zweitplatzierte deren Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Vergabe der beiden Ämter?
- Aussage 5: Wie viele sechs stellige Zahlen können aus den Ziffern 6 und 2 gebildet werden?
Aufgabe 1400
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Elfmeterschießen
In einer Fußballmannschaft stehen elf Spieler als Elfmeterschützen zur Verfügung.
Aufgabenstellung:
Deuten Sie den Ausdruck \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}\\ 5 \end{array}} \right)\) im gegebenen Kontext!
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Aufgabe 1545
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Jugendgruppe
Eine Jugendgruppe besteht aus 21 Jugendlichen. Für ein Spiel sollen Teams gebildet werden.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {21}\\ 3 \end{array}} \right)\) gibt an, _____1______ ; Sein Wert beträgt_____ 2_____ .
1:
- Aussage 1: wie viele der 21 Jugendlichen in einem Team sind, wenn man drei gleich große Teams bildet
- Aussage 2: wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus den 21 Jugendlichen ein Dreierteam auszuwählen
- Aussage 3: auf wie viele Arten drei unterschiedliche Aufgaben auf drei Mitglieder der Jugendgruppe aufgeteilt werden können
2:
| Wert 1 | 7 |
| Wert 2 | 1330 |
| Wert 3 | 7980 |
Aufgabe 1659
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Anzahl an Möglichkeiten
Eine Mannschaft besteht aus n Spielerinnen. Aus diesen wählt die Trainerin an einem Tag sechs Spielerinnen, an einem anderen Tag acht Spielerinnen aus, wobei es auf die Reihenfolge der Auswahl der Spielerinnen jeweils nicht ankommt. In beiden Fällen ist die Anzahl der Möglichkeiten, die Auswahl zu treffen, gleich groß.
Aufgabenstellung:
Geben Sie n (die Anzahl der Spielerinnen dieser Mannschaft) an!
n=___
Aufgabe 1803
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Eine Gruppe besteht aus 12 Schülerinnen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.
Der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 2 \end{array}} \right)\) hat den Wert _____1______; er kann dazu verwendet werden, die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, ______2______, zu berechnen
- Auswahl 1_1: 24
- Auswahl 1_2: 66
- Auswahl 1_3: 144
- Auswahl 2_1: 2 Schülerinnen dieser Gruppe auszuwählen, die gemeinsam ein Referat halten sollen
- Auswahl 2_2: 2 Schülerinnen dieser Gruppe 2 unterschiedliche Preise zu verleihen
- Auswahl 2_3: die Schülerinnen in 2 Gruppen zu je 6 Schülerinnen einzuteilen
[0 / ½ / 1 Punkt]
Aufgabe 1875
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Auswahlmöglichkeiten
Bei einem bestimmten Preisausschreiben kann man Jahrestickets für den Zoo gewinnen. Bei diesem Preisausschreiben haben 1 000 Personen jeweils 1-mal teilgenommen. Als Gewinner/innen werden 2 Personen nach dem Zufallsprinzip ausgewählt.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Anzahl der Möglichkeiten an, diese 2 Personen aus den 1 000 Teilnehmerinnen und Teilnehmern nach dem Zufallsprinzip auszuwählen.
- Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten beträgt:
[0 / 1 P.]
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