Potenzieren

Potenzieren

Potenzieren, d.h. die Potenzrechnung, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.

Beispiel:
Berechne x
\(\eqalign{ & \root 3 \of x = 5 \cr & x = {5^3} = 125 \cr}\)

Bezeichnungen beim Potenzieren

Eine Potenz ist ein Begriff aus der Exponentialrechnung. Sie setzt sich aus einer Mantisse, einer Basis und einem Exponenten zusammen. Es handelt sich dabei um eine vereinfachte Schreibweise einer Multiplikation.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Beim Potenzieren handelt es sich um eine abgekürzte Schreibweise für eine spezielle Multiplikation, bei der ein Faktor „a“ n-mal mit sich selbst multipliziert wird. Man spricht „a hoch n“.

\(\eqalign{ & {a^n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \cr & a \in {\Bbb R} \cr & n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\} \cr}\)

• Quadrieren: Multipliziert man eine Zahl einmal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zum Quadrat, so spricht man vom Quadrieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 2. Beispiel: x²
  Quadriert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine positive Zahl. Beispiel: (-2)²=4
• Kubieren: Multipliziert man eine Zahl zweimal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zur dritten Potenz, so spricht man vom Kubieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 3. Beispiel: x³
  Kubiert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine negative Zahl. Beispiel: (-2)³= -8

Potenzen mit negativen Exponenten

Eine Potenz mit negativem Exponent kann in einen Quotienten umgewandelt werden, in dessen Zähler eine 1 steht und dessen Nenner die Basis der Potenz aber mit positivem Exponenten ist. In der Praxis geht man aber eher umgekehrt vor und macht aus einem Bruch eine Potenz mit negativem Exponent.
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

Potenzen mit negativer Basis

Potenzen von Zahlen mit einer negativen Basis sind positiv, wenn der Exponent gerade ist bzw. negativ, wenn der Exponent ungerade ist.

Beispiel:

• negative Basis, gerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^4} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot 9 = 81\)
• negative Basis, ungerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^3} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot \left( { - 3} \right) = - 27\)

Beispiel aus der Physik:

Lichtgeschwindigkeit