Rechenregeln für Logarithmen
Formel
Logarithmen - Rechenregeln
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Grundlegende Rechenregeln für Logarithmen
\(\eqalign{ & {\log _a}b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & {\log _a}1 = 0 \cr & {\log _a}a = 1 \cr & {\log _a}\frac{1}{a} = - 1 \cr & {\log _a}{a^n} = n \cr & {\log _a}{a^x} = x \cr & {a^{{t_1}}} = {a^{{t_2}}} \Leftrightarrow {t_1} = {t_2}{\text{ für a > 0 und a}} \ne {\text{1}} \cr} \)
Bei der Verwendung von Taschenrechnern ist folgender Zusammenhang sehr nützlich, da er eine Möglichkeit bietet, allgemeine Logarithmen mit Hilfe der auf jedem Taschenrechner vorhandenen natürlichen Logarithmen zu berechnen:
\(x = {\log _a}\left( b \right) = \dfrac{{\ln \left( b \right)}}{{\ln \left( a \right)}}\)
Die Rechenregeln für Logarithmen erlauben es, den "Grad einer Rechenoperation" zu "erniedrigen".
- Aus Potenzieren und Radizieren wird Multiplikation und Division.
- Aus Multiplikation bzw. Division werden Addition bzw. Subtraktion.
Dies war vor der Erfindung vom Taschenrechner vor allem in der Astronomie und der Seefahrt von so großer Bedeutung, dass Mathematiker ihr ganzes Berufsleben damit verbrachten Logarithmustabellen zu erstellen, um es den Astronomen und Navigatoren zu ermöglichen, einfache Multiplikationen oder Divisionen statt aufwendig Potenzen bzw. Wurzeln zu berechnen. Noch heute löst man Exponentialgleichungen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
- Multiplikation → Addition:
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\) - Division → Subtraktion:
\({\log _a}\dfrac{u}{v} = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\) - Potenzieren → Multiplikation:
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\) - Wurzelziehen → Division:
\({\log _a}\left( {\root r \of u } \right) = \dfrac{1}{r} \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus eines Produkts
Der Logarithmus eines Produkts, ist gleich der Summe der Logarithmen seiner Faktoren. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Multiplikation auf eine wesentlich einfachere Addition zurück.
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus eines Quotienten
Der Logarithmus eines Quotienten, ist gleich der Differenz der Logarithmen seines Dividenden und seines Divisors. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Division auf eine wesentlich einfachere Subtraktion zurück.
\({\log _a}\left( {\dfrac{u}{v}} \right) = - {\log _a}\left( {\dfrac{v}{u}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus einer Potenz
Der Logarithmus einer Potenz, ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Potenzieren von ur auf eine wesentlich einfachere Multiplikation zurück.
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus einer Wurzel
Der Logarithmus einer Wurzel, ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmen seines Radikanden und aus dem Wert des Wurzelexponenten. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Wurzelziehen auf eine wesentlich einfachere Division zurück
\({\log _a}\left( {\root n \of u } \right) = \dfrac{{{{\log }_a}\left( u \right)}}{n}\)
Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist
Der Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist, ist gleich dem mit -1 multiplizierten Logarithmus, dessen Basis der Kehrwert des Quotienten ist.
\({\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( u \right) = - {\log _a}\left( u \right)\)
Zusammenhang zwischen e-Funktion und natürlichem Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die inverse Funktion zur e-Funktion. Das bedeutet, wenn man die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus aufeinander anwendet, heben sie sich gegenseitig auf:
\({e^{\ln \left( x \right)}} = x = \ln \left( {{e^x}} \right)\)
Auf folgende Weise helfen Logarithmen bei der Lösung von Exponentialgleichungen
1. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^x} = 5\)
Berechne x
Lösungsweg
\({3^x} = 5\,\,\,\,\,\left| {{\text{beide Seiten logarithmieren}}} \right.\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\(\ln \left( {{3^x}} \right) = \ln \left( 5 \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & x \cdot \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 5 \right)\,\,\,\,\,\left| {:\ln \left( 3 \right)} \right. \cr & x = \frac{{\ln \left( 5 \right)}}{{\ln \left( 3 \right)}} \approx 1,465 \cr} \)
2. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)
Berechne x
Lösungsweg:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {{\text{beide}}} \right.{\text{ Seiten logarithmieren}}\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\({\text{ln}}\left( {{3^{\left( {2x - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {{{10}^x}} \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right) \cdot \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr & 2x \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr} \)
Nun bringen wir alle Ausdrücke, welche die Variable x enthalten, auf die linke Seite der Gleichung, auf der rechten Seite der Gleichung verbleiben Zahlenwerte:
\(2x \cdot \ln \left( 3 \right) - x \cdot \ln \left( {10} \right) = \ln \left( 3 \right)\)
wir heben x heraus:
\(x \cdot \left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right] = \ln \left( 3 \right)\)
und machen x explizit:
\(x = \dfrac{{\ln \left( 3 \right)}}{{\left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right]}} \approx - 10,4271\)
Probe:
Linke Seite der Gleichung: \({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {3^{\left( { - 2 \cdot 10,4271 - 1} \right)}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
Rechte Seite der Gleichung: \({10^x} = {10^{ - 10,4271}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
wzbw.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren | Potenzen, Wurzeln und Logarithmen ermöglichen es x zu berechnen wenn x unter einer Wurzel steht oder wenn x die Basis oder der Exponent einer Potenz ist. |
Aktuelle Lerneinheit
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| Rechenregeln für Wurzelziehen | Wurzelrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung |
| Rechenregeln beim Potenzieren | Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung |
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| Radizieren bzw. Wurzelziehen | Radizieren bzw. Wurzelziehen ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist. |
| Potenzieren | Potenzieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht. |
| Potenzen von Binomen | Ein Binom ist ein Polynom mit genau 2 Gliedern. Es kann eine Summe oder eine Differenz sein. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 260
Logarithmus eines Produkts oder Quotienten
Folgende dekadische Logarithmen sind gegeben:
\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 2 \right) = \lg \left( 2 \right) \approx 0,30103 \cr & {\log _{10}}\left( 3 \right) = \lg \left( 3 \right) \approx 0,47712 \cr} \)
1. Teilaufgabe:
Berechne ohne Taschenrechner
\(\eqalign{ & \lg \left( 4 \right) = \cr & \lg \left( 5 \right) = \cr & \lg \left( 6 \right) = \cr & \lg \left( 8 \right) = \cr & \lg \left( 9 \right) = \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Begründe warum man den lg(7) nicht auf diese Weise berechnen kann!
Aufgabe 261
Schreibe die Quotienten als einzelne Logarithmen an
\(\eqalign{ & \ln \frac{{abc}}{d} = \cr & \ln \frac{d}{{abc}} = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot {b^2} \cdot {c^3}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{a \cdot {b^2}}}{{{c^3}}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {\frac{{3 \cdot {a^2}}}{{{b^2} \cdot c}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot \root 4 \of b } \right) = \cr & \ln \left( {\root 4 \of {\frac{{{a^2}}}{b}} } \right) = \cr} \)
Aufgabe 262
Fasse zu einem einzigen Term zusammen
\(\eqalign{ & 2\lg \left( a \right) + 3\lg \left( b \right) = \cr & \lg \left( a \right) - 3\lg \left( b \right) + 2\lg \left( c \right) = \cr & \cr & \lg \left( {1 - a} \right) + \lg \left( {1 + a} \right) - 2 \cdot \lg \left( a \right) = \cr & \lg \left( {a + b} \right) - \lg \left( {a - b} \right) + 2 \cdot \lg \left( {10} \right) = \cr & \cr & 3 \cdot \left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - 2 \cdot \lg \left( c \right)} \right] = \cr & \frac{1}{2} \cdot \lg \left( a \right) + 4 \cdot \lg \left( b \right) = \cr} \)
Aufgabe 264
Rechnen mit Logarithmen(tafeln)
\(x = \sqrt {{7^3} \cdot {5^{2,1}}} \)
Berechne x mit Hilfe von Logarithmen, indem die die Berechnung auf Additionen und Multiplikationen zurückführst, statt Potenzen und Wurzeln zu verwenden.
Anmerkung: In den 1970-er Jahren mussten Maturanten tatsächlich mit Logarithmentafeln oder Rechenschiebern rechnen, da Taschenrechner noch unerschwinglich teuer waren. Anfang der 1980-er Jahre kostete ein guter technischer Taschenrechner ca. einen Monatslohn.
Folgende Werte stammen aus einer Logarithmentafel:
\(\lg \left( 7 \right) \to {\text{Logarithmus aus Tafel}} \to \approx 0,84509\)
\(\lg (5) \to {\text{Logarithmus aus Tafel}} \to \approx 0,69897\)
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Aufgabe 260
Logarithmus eines Produkts oder Quotienten
Folgende dekadische Logarithmen sind gegeben:
\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 2 \right) = \lg \left( 2 \right) \approx 0,30103 \cr & {\log _{10}}\left( 3 \right) = \lg \left( 3 \right) \approx 0,47712 \cr} \)
1. Teilaufgabe:
Berechne ohne Taschenrechner
\(\eqalign{ & \lg \left( 4 \right) = \cr & \lg \left( 5 \right) = \cr & \lg \left( 6 \right) = \cr & \lg \left( 8 \right) = \cr & \lg \left( 9 \right) = \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Begründe warum man den lg(7) nicht auf diese Weise berechnen kann!
Aufgabe 261
Schreibe die Quotienten als einzelne Logarithmen an
\(\eqalign{ & \ln \frac{{abc}}{d} = \cr & \ln \frac{d}{{abc}} = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot {b^2} \cdot {c^3}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{a \cdot {b^2}}}{{{c^3}}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {\frac{{3 \cdot {a^2}}}{{{b^2} \cdot c}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot \root 4 \of b } \right) = \cr & \ln \left( {\root 4 \of {\frac{{{a^2}}}{b}} } \right) = \cr} \)
Aufgabe 262
Fasse zu einem einzigen Term zusammen
\(\eqalign{ & 2\lg \left( a \right) + 3\lg \left( b \right) = \cr & \lg \left( a \right) - 3\lg \left( b \right) + 2\lg \left( c \right) = \cr & \cr & \lg \left( {1 - a} \right) + \lg \left( {1 + a} \right) - 2 \cdot \lg \left( a \right) = \cr & \lg \left( {a + b} \right) - \lg \left( {a - b} \right) + 2 \cdot \lg \left( {10} \right) = \cr & \cr & 3 \cdot \left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - 2 \cdot \lg \left( c \right)} \right] = \cr & \frac{1}{2} \cdot \lg \left( a \right) + 4 \cdot \lg \left( b \right) = \cr} \)
Aufgabe 260
Logarithmus eines Produkts oder Quotienten
Folgende dekadische Logarithmen sind gegeben:
\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 2 \right) = \lg \left( 2 \right) \approx 0,30103 \cr & {\log _{10}}\left( 3 \right) = \lg \left( 3 \right) \approx 0,47712 \cr} \)
1. Teilaufgabe:
Berechne ohne Taschenrechner
\(\eqalign{ & \lg \left( 4 \right) = \cr & \lg \left( 5 \right) = \cr & \lg \left( 6 \right) = \cr & \lg \left( 8 \right) = \cr & \lg \left( 9 \right) = \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Begründe warum man den lg(7) nicht auf diese Weise berechnen kann!
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Aufgabe 261
Schreibe die Quotienten als einzelne Logarithmen an
\(\eqalign{ & \ln \frac{{abc}}{d} = \cr & \ln \frac{d}{{abc}} = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot {b^2} \cdot {c^3}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{a \cdot {b^2}}}{{{c^3}}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {\frac{{3 \cdot {a^2}}}{{{b^2} \cdot c}}} \right) = \cr & \cr & \ln \left( {a \cdot \root 4 \of b } \right) = \cr & \ln \left( {\root 4 \of {\frac{{{a^2}}}{b}} } \right) = \cr} \)
Aufgabe 262
Fasse zu einem einzigen Term zusammen
\(\eqalign{ & 2\lg \left( a \right) + 3\lg \left( b \right) = \cr & \lg \left( a \right) - 3\lg \left( b \right) + 2\lg \left( c \right) = \cr & \cr & \lg \left( {1 - a} \right) + \lg \left( {1 + a} \right) - 2 \cdot \lg \left( a \right) = \cr & \lg \left( {a + b} \right) - \lg \left( {a - b} \right) + 2 \cdot \lg \left( {10} \right) = \cr & \cr & 3 \cdot \left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - 2 \cdot \lg \left( c \right)} \right] = \cr & \frac{1}{2} \cdot \lg \left( a \right) + 4 \cdot \lg \left( b \right) = \cr} \)
Aufgabe 1155
AHS - 1_155 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit von Felbamat
Zur Behandlung von Epilepsie wird oft der Arzneistoff Felbamat eingesetzt. Nach der Einnahme einer Ausgangsdosis D0 nimmt die Konzentration D von Felbamat im Körper näherungsweise exponentiell mit der Zeit ab. Für D gilt folgender funktionaler Zusammenhang: \(D\left( t \right) = {D_0} \cdot {0,9659^t}\) Dabei wird die Zeit t in Stunden gemessen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Halbwertszeit von Felbamat! Geben Sie die Lösung auf Stunden gerundet an!
Aufgabe 4073
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Die Genussformel - Aufgabe A_263
Teil a
Der Physiker Werner Gruber erklärt in seinem Buch Die Genussformel (Salzburg: Ecowin, 2008) die kleinen chemischen und physikalischen Tricks der großen Köchinnen und Köche. Dabei werden auch mathematische Zusammenhange betrachtet.
In der Genussformel betrachtet Gruber den Genuss beim Essen als messbare Größe mit Werten von 0 (kein Genuss) bis 1 (maximaler Genuss). Für die Abhängigkeit des Genusses von der Anzahl der Geschmacksrichtungen auf einem Teller gibt Gruber folgende Funktion G an:
\(G\left( n \right) = {e^{ - \dfrac{{{{\left( {n - 3} \right)}^2}}}{{0,2746}}}}\)
mit:
| n | Anzahl der unterschiedlichen Geschmacksrichtungen auf dem Teller |
| G(n) | Genuss bei n unterschiedlichen Geschmacksrichtungen auf dem Teller |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie diejenige Anzahl an unterschiedlichen Geschmacksrichtungen, bei der man laut Gruber den maximalen Genuss hat.
[1 Punkt]
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