Potenzen von Binomen
Formel
Potenzen von Binomen
Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.
Binom
Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)
Binomische Formeln
Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)
Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)
\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.
\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)
\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)
Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.
Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen
Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.
\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)
Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten
Merke:
- Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
- In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
- Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
- Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied
Quadratische Ergänzung
Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.
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Wissenspfad
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Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 22
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{i{{(5 + 4i)}^2}}}{{4 - 5i}}\)
Aufgabe 23
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{i{{(6 - 3i)}^2}}}{{3 + 6i}}\)
Aufgabe 27
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( { - 2 + i} \right)^3}\)
Aufgabe 28
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + {\left( {2 + 3i} \right)^2} - \left( { - 3 - 23i} \right)\)
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Aufgabe 29
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + \left( {2 + 3i} \right) \cdot \left( { - 1 + 5i} \right) - \dfrac{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}{{1 - 2i}}\)
Aufgabe 203
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {2x} } \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
- 1. Teilaufgabe: Löse die Klammer auf und differenziere die verbleibenden Summanden
- 2. Teilaufgabe: Löse die Klammer nicht auf und wende die Kettenregel an.
Aufgabe 1545
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Jugendgruppe
Eine Jugendgruppe besteht aus 21 Jugendlichen. Für ein Spiel sollen Teams gebildet werden.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {21}\\ 3 \end{array}} \right)\) gibt an, _____1______ ; Sein Wert beträgt_____ 2_____ .
1:
- Aussage 1: wie viele der 21 Jugendlichen in einem Team sind, wenn man drei gleich große Teams bildet
- Aussage 2: wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus den 21 Jugendlichen ein Dreierteam auszuwählen
- Aussage 3: auf wie viele Arten drei unterschiedliche Aufgaben auf drei Mitglieder der Jugendgruppe aufgeteilt werden können
2:
| Wert 1 | 7 |
| Wert 2 | 1330 |
| Wert 3 | 7980 |
Aufgabe 1400
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Elfmeterschießen
In einer Fußballmannschaft stehen elf Spieler als Elfmeterschützen zur Verfügung.
Aufgabenstellung:
Deuten Sie den Ausdruck \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}\\ 5 \end{array}} \right)\) im gegebenen Kontext!
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Aufgabe 1306
AHS - 1_306 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ferienlager
Aus einer Gruppe von Jugendlichen (14 Mädchen und 10 Burschen) sollen Betreuer/innen für ein Ferienlager ausgewählt werden.
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie den Wert des Ausdrucks \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24}\\ 2 \end{array}} \right)\) im gegebenen Kontext!
Aufgabe 1290
AHS - 1_290 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Betrachtet wird der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ x \end{array}} \right)\)mit \(x \in {\Bbb N}\).
Aufgabenstellung:
Geben Sie alle Werte für \(x \in {\Bbb N}\) an, für die der gegebene Binomialkoeffizient den Wert 1 annimmt!
Aufgabe 1307
AHS - 1_307 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schischule
Einer Schischule stehen in einer Woche neun Schilehrer/innen zur Verfügung. Für die in dieser Woche geplanten Schikurse werden aber nur sechs Schilehrer/innen benötigt.
Aufgabenstellung
Geben Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ 6 \end{array}} \right)\)in diesem Zusammenhang an!
Aufgabe 1803
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Eine Gruppe besteht aus 12 Schülerinnen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.
Der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 2 \end{array}} \right)\) hat den Wert _____1______; er kann dazu verwendet werden, die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, ______2______, zu berechnen
- Auswahl 1_1: 24
- Auswahl 1_2: 66
- Auswahl 1_3: 144
- Auswahl 2_1: 2 Schülerinnen dieser Gruppe auszuwählen, die gemeinsam ein Referat halten sollen
- Auswahl 2_2: 2 Schülerinnen dieser Gruppe 2 unterschiedliche Preise zu verleihen
- Auswahl 2_3: die Schülerinnen in 2 Gruppen zu je 6 Schülerinnen einzuteilen
[0 / ½ / 1 Punkt]
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