Rechenregeln fürs Potenzieren
Es gibt umfangreiche Regeln für das Rechnen mit Potenzen, die dann besonders einfach sind wenn die Basen und / oder die Exponenten übereinstimmen.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Rechenregeln für Potenzen
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^n} = 0\)
- \({a^0} = 1\)
- \({a^1} = a\)
- \(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
- \(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
- \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen
Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".
\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen
Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)
Potenzen potenzieren bzw. radizieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Potenzen von Binomen
Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.
Binom
Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)
Binomische Formeln
Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)
Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)
\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.
\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)
\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)
Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.
Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen
Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.
\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)
Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten
Merke:
- Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
- In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
- Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
- Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied
Quadratische Ergänzung
Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.
Aufgaben
Aufgabe 38
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {a^0}{\text{ für }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Aufgabe 39
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {0^0}\)
Aufgabe 40
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {0^n}{\text{ für }}n \ne 0\)
Aufgabe 41
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {1^n}\)
Aufgabe 42
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^n}\)
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Aufgabe 43
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n}}\)
Aufgabe 44
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n - 1}}\)
Aufgabe 45
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n + 1}}\)
Aufgabe 4250
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sicherheit auf dem Schulweg - Aufgabe A_293
Im Nahbereich von Schulen stellen die zu- und abfahrenden Fahrzeuge ein großes Problem dar.
Teil c
Der relative Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, kann für einen bestimmten Zeitabschnitt modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( t \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^t}\)
mit:
- t ... Zeit ab Beginn der Beobachtung
- f(t) ... relativer Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, zur Zeit t
- b ... Parameter (b > 0, b ≠ 1)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters b auf das Monotonieverhalten der Funktion f.
[1 Punkt]
Folgende Berechnung wurde durchgeführt:
\(f\left( 0 \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^0} = 0,1 + 0 = 0,1\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, welcher Fehler bei dieser Berechnung gemacht wurde.
[1 Punkt]
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Aufgabe 4479
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Holzfeuchte und Holztrocknung - Aufgabe A_307
Teil b
Holzbretter der gleichen Holzsorte mit verschiedenen Dicken trocknen unterschiedlich schnell. Dieser Zusammenhang kann näherungsweise durch die nachstehende Formel beschrieben werden.
\(\dfrac{T}{t} = {\left( {\dfrac{D}{d}} \right)^{1,5}}\)
Dicke | Trockenzeit | |
Holzbrett 1 | d | t |
Holzbrett 2 | D | T |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem obigen Zusammenhang entspricht.
[1 aus 5]
- Ausdruck 1: \(\dfrac{T}{t} = {\left( {\dfrac{D}{d}} \right)^{\dfrac{3}{2}}}\)
- Ausdruck 2: \(\dfrac{T}{t} = {\left( {\dfrac{d}{D}} \right)^{ - 1,5}}\)
- Ausdruck 3: \(\dfrac{T}{t} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{D}{d}} \right)}^3}} \)
- Ausdruck 4: \(\dfrac{t}{T} = {\left( {\dfrac{d}{D}} \right)^{ - \dfrac{3}{2}}}\)
- Ausdruck 5: \(\dfrac{t}{T} = {\left( {\dfrac{d}{D}} \right)^{1,5}}\)