Zusammenhang e-Funktion und natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die inverse Funktion zur e-Funktion. Das bedeutet, wenn man die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus aufeinander anwendet, heben sie sich gegenseitig auf.
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Formeln
Logarithmen - Rechenregeln
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Grundlegende Rechenregeln für Logarithmen
\(\eqalign{ & {\log _a}b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & {\log _a}1 = 0 \cr & {\log _a}a = 1 \cr & {\log _a}\frac{1}{a} = - 1 \cr & {\log _a}{a^n} = n \cr & {\log _a}{a^x} = x \cr & {a^{{t_1}}} = {a^{{t_2}}} \Leftrightarrow {t_1} = {t_2}{\text{ für a > 0 und a}} \ne {\text{1}} \cr} \)
Bei der Verwendung von Taschenrechnern ist folgender Zusammenhang sehr nützlich, da er eine Möglichkeit bietet, allgemeine Logarithmen mit Hilfe der auf jedem Taschenrechner vorhandenen natürlichen Logarithmen zu berechnen:
\(x = {\log _a}\left( b \right) = \dfrac{{\ln \left( b \right)}}{{\ln \left( a \right)}}\)
Die Rechenregeln für Logarithmen erlauben es, den "Grad einer Rechenoperation" zu "erniedrigen".
- Aus Potenzieren und Radizieren wird Multiplikation und Division.
- Aus Multiplikation bzw. Division werden Addition bzw. Subtraktion.
Dies war vor der Erfindung vom Taschenrechner vor allem in der Astronomie und der Seefahrt von so großer Bedeutung, dass Mathematiker ihr ganzes Berufsleben damit verbrachten Logarithmustabellen zu erstellen, um es den Astronomen und Navigatoren zu ermöglichen, einfache Multiplikationen oder Divisionen statt aufwendig Potenzen bzw. Wurzeln zu berechnen. Noch heute löst man Exponentialgleichungen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
- Multiplikation → Addition:
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\) - Division → Subtraktion:
\({\log _a}\dfrac{u}{v} = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\) - Potenzieren → Multiplikation:
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\) - Wurzelziehen → Division:
\({\log _a}\left( {\root r \of u } \right) = \dfrac{1}{r} \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus eines Produkts
Der Logarithmus eines Produkts, ist gleich der Summe der Logarithmen seiner Faktoren. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Multiplikation auf eine wesentlich einfachere Addition zurück.
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus eines Quotienten
Der Logarithmus eines Quotienten, ist gleich der Differenz der Logarithmen seines Dividenden und seines Divisors. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Division auf eine wesentlich einfachere Subtraktion zurück.
\({\log _a}\left( {\dfrac{u}{v}} \right) = - {\log _a}\left( {\dfrac{v}{u}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus einer Potenz
Der Logarithmus einer Potenz, ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Potenzieren von ur auf eine wesentlich einfachere Multiplikation zurück.
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus einer Wurzel
Der Logarithmus einer Wurzel, ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmen seines Radikanden und aus dem Wert des Wurzelexponenten. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Wurzelziehen auf eine wesentlich einfachere Division zurück
\({\log _a}\left( {\root n \of u } \right) = \dfrac{{{{\log }_a}\left( u \right)}}{n}\)
Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist
Der Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist, ist gleich dem mit -1 multiplizierten Logarithmus, dessen Basis der Kehrwert des Quotienten ist.
\({\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( u \right) = - {\log _a}\left( u \right)\)
Zusammenhang zwischen e-Funktion und natürlichem Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die inverse Funktion zur e-Funktion. Das bedeutet, wenn man die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus aufeinander anwendet, heben sie sich gegenseitig auf:
\({e^{\ln \left( x \right)}} = x = \ln \left( {{e^x}} \right)\)
Auf folgende Weise helfen Logarithmen bei der Lösung von Exponentialgleichungen
1. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^x} = 5\)
Berechne x
Lösungsweg
\({3^x} = 5\,\,\,\,\,\left| {{\text{beide Seiten logarithmieren}}} \right.\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\(\ln \left( {{3^x}} \right) = \ln \left( 5 \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & x \cdot \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 5 \right)\,\,\,\,\,\left| {:\ln \left( 3 \right)} \right. \cr & x = \frac{{\ln \left( 5 \right)}}{{\ln \left( 3 \right)}} \approx 1,465 \cr} \)
2. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)
Berechne x
Lösungsweg:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {{\text{beide}}} \right.{\text{ Seiten logarithmieren}}\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\({\text{ln}}\left( {{3^{\left( {2x - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {{{10}^x}} \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right) \cdot \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr & 2x \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr} \)
Nun bringen wir alle Ausdrücke, welche die Variable x enthalten, auf die linke Seite der Gleichung, auf der rechten Seite der Gleichung verbleiben Zahlenwerte:
\(2x \cdot \ln \left( 3 \right) - x \cdot \ln \left( {10} \right) = \ln \left( 3 \right)\)
wir heben x heraus:
\(x \cdot \left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right] = \ln \left( 3 \right)\)
und machen x explizit:
\(x = \dfrac{{\ln \left( 3 \right)}}{{\left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right]}} \approx - 10,4271\)
Probe:
Linke Seite der Gleichung: \({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {3^{\left( { - 2 \cdot 10,4271 - 1} \right)}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
Rechte Seite der Gleichung: \({10^x} = {10^{ - 10,4271}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
wzbw.
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