Varianz hypergeometrischen Verteilung
\(Var\left( X \right) = V\left( X \right) = {\sigma ^2} = n \cdot \dfrac{M}{N} \cdot \left( {1 - \dfrac{M}{N}} \right) \cdot \dfrac{{N - n}}{{N - 1}}\)
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Formeln
Hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: 0 = Misserfolg / Niete bzw. 1 = Erfolg / Treffer. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. Das Ereignis X tritt genau k mal ein. Die hypergeometrische Verteilung kann durch eine Binomialverteilung approximiert werden, wenn \(\dfrac{N}{n} > 10\)
3 Parameter:
- N ... Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit (am Anfang vom Experiment)
- M ... Anzahl der Elemente (am Anfang vom Experiment) die ein „Erfolg“ sind
- n ... Anzahl der Ziehungen = Stichprobenumfang
- N-M Anzahl der Elemente, die kein "Erfolg" sind
- k … Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe: \(k \le n;\,\,\,\,\,k \le M;\,\,\,\,\,n - k \le N - M\)
Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung
\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} M\\ k \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {N - M}\\ {n - k} \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} N\\ n \end{array}} \right)}}\)
Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung
\(F\left( X \right) = \sum\limits_{k = 0}^x {\dfrac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} M\\ k \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {N - M}\\ {n - k} \end{array}} \right)}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} N\\ n \end{array}} \right)}}} \)
Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot \dfrac{M}{N}\)
Varianz der hypergeometrischen Verteilung
\(Var\left( X \right) = V\left( X \right) = {\sigma ^2} = n \cdot \dfrac{M}{N} \cdot \left( {1 - \dfrac{M}{N}} \right) \cdot \dfrac{{N - n}}{{N - 1}}\)
Beispiel österreichisches Lotto "6 aus 45" (in Deutschland: 6 aus 49)
N = 45 ... Grundgesamtheit. Also die Anzahl der möglichen Kugeln, die gezogen werden können.
M=6 ... Anzahl der Elemente, die ein Erfolg sind. Also die Anzahl der gezogenen Kugeln
n=6 ... Anzahl der Ziehungen
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