Stetige Zufallsvariable

Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zuordnet.

\(X:\Omega \to R;\,\,\,X:\omega \to X\left( \omega \right) = x\)

Das Ergebnis einfacher Zufallsexperimente ist etwa eine Augenzahl beim Würfeln oder "Kopf" oder "Zahl" beim Werfen einer Münze. Bei komplexeren Zufallsexperimenten ist das Ergebnis vom Experiment meist praktischer Weise eine Zahl. Der Großbuchstabe X steht dabei für die Zufallsvariable und der Kleinbuchstabe x steht für den einen, ganz konkreten Wert, den X annimmt. Man sagt auch, dass x die Zufallsvariable X "realisiert" und dass diese konkrete Realisation mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt.

Man unterscheidet zwischen

• diskreten Zufallsvariablen, die durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben werden
• stetigen Zufallsvariablen, die durch eine Dichtefunktion beschrieben werden

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Ergebnisse eines Zufallsexperiments auftreten. Sie lässt sich auf 2 Arten, bei gleichem Informationsgehalt aber unterschiedlicher Darstellung, beschreiben:

Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Zufallsvariablen

Für diskrete Zufallsvariablen (Bernoulli Verteilung, Binomialverteilung, Poissonverteilung, hypergeometrische Verteilung) liegt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von jedem einzelnen Wert zwischen 0 und 1. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten beträgt 1 (entsprechend 100%). Die Beschreibung erfolgt durch die

• Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x): \(f\left( x \right) = P\left( {X = x} \right)\)
   
• Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \sum\limits_{{x_i} \leqslant x} {f\left( {{x_i}} \right)} \)

Wahrscheinlichkeitsverteilung für stetige Zufallsvariablen

Für stetige Zufallsvariablen (Normalverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung) beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jedes einzelnen Werts der Zufallsvariablen exakt Null. Die Beschreibung erfolgt durch die

• Dichtefunktion f(x): \(P\left( {a < X \le b} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) wobei \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = 1\)
  • Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt immer Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)
     
• Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {f\left( t \right)\,\,dt} \)
  • Auf der y-Achse der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \le {x_1}} \right)\) ablesen, höchstens den Wert x₁ zu erreichen.

Stetige Zufallsvariable

Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich,also nicht abzählbar, ist. Sie wird durch eine Dichtefunktion und/oder eine Verteilungsfunktion beschrieben.

Spezielle Verteilungen stetiger Zufallsvariabler sind

• Rechtecksverteilung
• Exponentialverteilung
• Normalverteilung
• Standardnormalverteilung

Dichtefunktion

Die Fläche unter der Dichtefunktion beschreibt (mittels Integralrechnung) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die stetige Zufallsvariable innerhalb vom Intervall [a, b] liegt. Umgekehrt bedeutet dies, dass in Intervallen in denen die Dichte (de-facto) Null ist auch (de-facto) keine Realisierungen von X liegen, während in Intervallen mit hoher Dichte auch eine große Anzahl an Realisierungen von X liegen.

Dichtefunktion f(x): \(P\left( {a < X \le b} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) , wobei die Fläche unter der Dichtefunktion normiert ist gemäß: \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = 1\)

Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt, Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)

Zwischen der Dichtefunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) besteht folgender Zusammenhang:

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = F'\left( x \right)\\ F\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(t)\,\,dt} \end{array}\)

Durch Ableiten der Verteilfunktion F erhält man die Dichtefunktion. Aus einer gegebenen Dichtefunktion f erhält man durch Integrieren die Verteilfunktion F.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion F(x) einer stetigen Zufallsvariablen gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Zufallsvariable X einen Wert der kleiner oder gleich x annimmt. Sie entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion f(t), die sich bis zum Wert x kumuliert hat.

\(F(X) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right)} \,\,dt\)

Weil bei stetigen Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Wert Null ist, gemäß \(P(X = x) = 0\) ist es egal, ob die Intervallgrenze zum Intervall gezählt wird [a, b], oder ob nicht (a, b):

\(P\left( {a \le X \le b} \right) = P\left( {a < X \le b} \right) = P\left( {a \le X < b} \right) = P\left( {a < X < b} \right) = F(b) - F(a)\)

Erwartungswert

Der Erwartungswert E(X) einer stetigen Zufallsvariable X gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable X im Mittel bei einer unbegrenzten Wiederholung annimmt. Gegenüber dem Erwartungswert einer diskreten Verteilung ersetzt man bei der stetigen Verteilung die Summe durch das Integral und die Wahrscheinlichkeit P(X=x_i) durch die Dichtefunktion f(x).

\(E(X) = \mu = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x \cdot f\left( x \right)} \,\,dx\)

Varianz

Die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen ist die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert und somit ein Streumaß der beschreibenden Statistik.

\({\sigma _x}^2 = Var\left( X \right) = E{\left( {X - {\mu _x}} \right)^2} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {x - {\mu _x}} \right)}^2}} \cdot f\left( x \right)\,\,dx\)

Verschiebungssatz

Der Verschiebungssatz für stetige Zufallsvariablen kann den Rechenaufwand für die Berechnung der Varianz verringern.

• Der 1. Term ist das einfacher zu rechnende Integral von X² , also dem Erwartungswert von X²
• Der 2. Term ist ganz simpel das Quadrat vom Erwartungswert von X

\({\sigma _x}^2 = Var(X) = E{\left( X \right)^2} - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2} = \left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{x^2} \cdot f\left( x \right)\,\,dx} } \right) - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2}\)

Standardabweichung

Die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen hat den Nachteil, als Einheit das Quadrat der Einheit der zugrunde liegenden Zufallsvariablen zu haben. Das ist bei der Standardabweichung (auf Grund der Quadratwurzel) und beim Erwartungswert nicht der Fall.
\({\sigma _x} = \sqrt {Var\left( X \right)} \)

Physikalische Analogie für den Erwartungswert und für die Varianz:

• Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Man muss sich dabei die Massen R(X=x_i) an den Positionen x_i entlang vom Zahlenstrahl x plaziert vorstellen.
• Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft