Zusammenhang Laplace Experiment bzw. Laplace Wahrscheinlichkeit mit Bernoulli- bzw. Binomialverteilung
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Formeln
Zusammenhang
Laplace Experiment bzw. Laplace Wahrscheinlichkeit
mit Bernoulli- bzw. Binomialverteilung
Laplace Experiment
- Einstufiges Zufallsexperiment
- n-mögliche Ergebnisse
- jedes Ergebnis hat dieselbe Wahrscheinlichkeit
- P(X) = konst.
Beispiel: Einmaliges Würfel
Man würfelt 6-mal, die Wahrscheinlichkeit für jede der 6 Augenzahlen ist konstant 1/6
Laplace Wahrscheinlichkeit
- Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an.
Bsp.: gerader oder ungerader Tag im Jänner:
Jeder Tag im Jänner muss entweder gerade oder ungerade sein, aber es gibt im Jänner 15 gerade aber 16 ungerade Tage, folglich
- P(X=gerade) =15/31
- P(X=ungerade) = 16/31
Bernoulli Verteilung
- Einstufiges Zufallsexperiment
- 2 mögliche Ergebnisse,
- Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete muss aber keinesfalls gleich groß also etwa 50:50 bzw. 0,5 sein, sondern sie errechnet sich aus der Laplace Wahrscheinlichkeit („günstige“ durch „mögliche“)
- P(X=Treffer)=p
- P(X=Niete)=1-p
Binomialverteilung
- Mehrstufiges Zufallsexperiment
- In jeder der n Stufen genau 2 mögliche Ergebnisse
- Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete errechnet sich aus der Laplace Wahrscheinlichkeit („günstige“ durch „mögliche“)
- X ... Trefferzahl
- k … Anzahl der Treffer
Bsp.: Es werden 3 Tage im Jänner ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Tage gerade Tage sind?
- n=3 Tage
- p = 15/31
- k=3 Treffer, d.h. der jeweilige Tag ist ein gerader Tag
- X ... Zufallsvariable
\(\begin{array}{l} P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\\ P\left( {X = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{{15}}{{31}}} \right)^3} \cdot {\left( {1 - \dfrac{{15}}{{31}}} \right)^{3 - 3}} = 1 \cdot {\left( {\dfrac{{15}}{{31}}} \right)^3} \cdot {\left( {\dfrac{1}{{31}}} \right)^0} = 0,113 \buildrel \wedge \over = 11,3\% \end{array}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 im Jänner willkürlich ausgewählten 3 Tagen gerade Tage sind beträgt 11,3%
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