Lorentzkurve

Gleichverteilung - Disparität - Konzentration

Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint.

Disparität und Konzentration sind Maße für die Ungleichheit bei der Verteilung der Merkmalsumme auf einzelne Merkmalsträger.

• Eine hohe Disparität liegt dann vor, wen ein kleiner %-Anteil der Merkmalsträger einen hohen Anteil an der Merkmalssumme hat. Z.B. welchen Anteil am Gesamteinkommen der Bevölkerung eines Landes die 10% der Reichsten auf sich vereinen.
• Eine hohe Konzentration liegt vor, wenn eine kleine Anzahl an Merkmalsträgern einen hohen Anteil der Merkmalssumme hat. Z.B. welchen Anteil am Gesamteinkommen der Bevölkerung eines Landes die 10.000 der Reichsten auf sich vereinen.

Lorenzkurve

Die Lorenz Kurve ist ein grafisches Maß für die Disparität. Die Fläche zwischen der Lorentzkurve und der Diagonalen (Gerade der Gleichverteilung) wird als Lorentzfläche bezeichnet.

\(Lorenz-Fläche = \dfrac{{n - 1}}{{2n}} - \dfrac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{v_i}} \)

Die Lorentzkurve ist eine graphische Darstellung von Ungleichheiten in der Verteilung von Merkmalsträger (x-Achse, Anteil der Bevölkerung) und zugehöriger Merkmalssumme (y-Achse, Anteil am Einkommen). Die Lorentzkurve geht immer durch die Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) und \(\left( {100\left| 100 \right.} \right)\)der Gleichverteilung. Die Ungleichheit kann aus der Abweichung von der Verbindung der Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) und \(\left( {100\left| 100 \right.} \right)\) abgelesen werden. Je weiter entfernt, um so ungleicher.

Die Lorentzkurve ist der Streckenzug durch die Punkte \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\), \(\left( {{u_1}\left| {{v_1}} \right.} \right)...\left( {{u_n}\left| {{v_n}} \right.} \right)\) und \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\) mit den summierten Anteilen \({u_j} = \dfrac{j}{n}\) und \({v_j} = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^j {{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\) auf der y-Achse.

Gini-Koeffizient

Der Gini-Koeffizient ist eine Zahl, die der Fläche unter der Gleichverteilungsgeraden und der Lorentzkurve entspricht. Je weiter die Lorentzkurve unter der Gleichverteilungsgeraden liegt, umso größer ist die Fläche, umso ungerechter ist die Verteilung (Disparität) und um so größer ist der Gini-Koeffizient.

Mathematisch ist der Gini-Koeffizient G der dimensionslose Quotient zweier Flächen. G=(Fläche zwischen der Gleichverteilungsgeraden und der Lorentzkurve) in Relation zur darunter liegenden (Dreiecksfläche zwischen der Gleichverteilungsgeraden und der x-Achse).

• G=0 entspricht einer Gleichverteilung, also fehlender Konzentration bzw. fehlender Disparität.
• \(G \to 1\) entspricht „Einer oder Wenige besitzen fast alles, also hoher Konzentration bzw. hoher Dispersität.

Ein Gini-Koeffizient alleine macht keine Aussagen, denn es gibt kein absolutes Maß dafür, ab wann eine Verteilung „unfair“ wird. Man kann aber mit dem Gini-Koeffizient unterschiedliche Verteilungen einander gegenüberstellen.