Geometrie
Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Anayltische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Gleichung der Ellipse
Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecken F1P bzw. F2P nennt man Brennstrecke. Schneidet man einen geraden Zylinder mit einer Ebene, dann ist die Schnittlinie eine Ellipse.
\([ell = \left\{ {P \in ell:\overline {{F_1}P} + \left| {P{F_2}} \right| = 2a > \overline {{F_1}{F_2}} } \right\}\)
Die Brennstrecken sind die beiden Abstände eines Punkts auf der Ellipse von den beiden Brennpunkten der Ellipse. Die Summe der beiden Brennstrecken ist immer gleich lang wie die doppelte Hauptachse.
A, B | Hauptscheitel |
C, D | Nebenscheitel |
a | große Halbachse, zugleich halbe Hauptachse |
b | kleine Halbachse, zugleich halbe Nebenachse |
F1, F2 | Brennpunkte |
e | lineare Exzentrizität |
mit:
\(\begin{array}{l} \left| {\overline {AB} } \right| = 2a\\ \left| {\overline {CD} } \right| = 2b\\ e = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array}\)
Im Spezialfall a=b wird aus der Ellipse ein Kreis.
Ellipse in 1. Hauptlage
Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse \({F_{1,2}}\left( { \pm e\left| 0 \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:
Normalform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage
\({b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Flächeninhalt Ellipse
\(A = a \cdot b \cdot \pi \)
Illustration einer Ellipse in 1. Hauptlage
Ellipse in 2. Hauptlage
Eine Ellipse in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse \({F_{1,2}}\left( {0\left| { \pm e} \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:
Normalform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
\({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Illustration einer Ellipse in 2. Hauptlage
Lagebeziehung Punkt und Ellipse
Ein Punkt kann bezüglich einer Ellipse innerhalb, außerhalb oder auf der Ellipse liegen
- P liegt innerhalb der Ellipse:
\({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 < {a^2}{b^2}\) - P liegt auf der Ellipse:
\({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 = {a^2}{b^2}\) - P liegt außerhalb der Ellipse: \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 > {a^2}{b^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Ellipse
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ellipse interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente
Berührbedingung Gerade an Ellipse
Die Berührbedingung der Ellipse ergibt sich aus der großen und der kleinen Halbachse der Ellipse sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)
\({a^2}{k^2} + {b^2} = {d^2}\)
Spaltform der Tangentengleichung der Ellipse
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Ellipsengleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Ellipse aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)
\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x + {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern
Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstieg in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente, ausgehend vom einfachsten Objekt, dem "Punkt".
Punkt
Ein Punkt repräsentiert eine konkrete Position in einem Koordinatensystem. Der Punkt ist ein null-dimensionales Objekt, also ein Objekt ohne Ausdehnung (ohne Länge, Breite oder Höhe). Daher hat er auch keine physikalische Einheit. Punkte werden mit Großbuchstaben beschriftet, etwa P1, P2,...
Linie
Die Linie ist ein Oberbegriff für zusammenhängende eindimensionale geometrische Objekte wie Geraden oder Kurven. Als eindimensionales Objekt hat die Linie eine Länge und somit die physikalische Einheit "Meter". Linien werden mit Kleinbuchstaben beschriftet, etwa mit g, f. Gerade werden mit den Mitteln der linearen Geometrie beschrieben, Kurven mit den Mitteln der nichtlinearen Geometrie.
Gerade
Die Gerade ist eine unendlich lange Linie ohne Begrenzungspunkte. Eine Gerade wird durch 2 Punkte definiert und verbindet diese durch eine nicht gekrümmte Linie.
Strahl bzw. Halbgerade
Die Halbgerade ist eine unendlich lange Linie, die von einem Begrenzungspunkt ausgeht.
Strecke
Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten. Die beiden Punkte begrenzen die Strecke, indem sie den Anfangs und den Endpunkt der Strecke festlegen. Entlang des Weges vom Anfangs- zum Endpunkt liegen unendlich viele Punkte. Wenn die Strecke eine Länge ungleich null hat, dann stellt sie eine unendliche Punktmenge dar.
Geodäte
Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten auf gekrümmten Flächen (Kugeloberfläche) oder in der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie
Kurve
Eine Kurve ist eine gekrümmte Linie. Obwohl die Punkte der Kurve in einer Ebene oder sogar im Raum liegen, ist die Kurve eindimensional, weil man sich auf ihr nur in eine Richtung bzw. deren Gegenrichtung bewegen kann. Mandelbrot erkannte, dass es Kurven (Küstenlinien) gibt, die ein Mittelding zwischen Linie und Fläche sind, und führte neben den ganzzahligen Dimensionen die gebrochenzahlige fraktale Dimensionen ein.
Geometrische Figur
Eine geometrische Figur ist eine Teilmenge von Punkten, die entweder in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum liegen. Letztere werden auch als Körper bezeichnet. Die einfachste geometrische Figur ist die Gerade, bzw. die Strecke als deren Teilmenge.
Geometrischer Körper
Geometrische Körper kann man anhand ihrer Kanten, Ecken und Begrenzungsflächen unterscheiden
Stereometrie
Die Stereometrie ist jenes Teilgebiet der Geometrie, welches sich mit dreidimensionalen Gebilden beschäftigt. Dazu gehören speziell die Berechnung vom Volumen und von der Oberfläche des Körpers.
Kanten eines Körpers
Kanten entstehen dort, wo sich 2 Begrenzungsflächen eines Körpers schneiden.
Ecken eines Körpers
Ecken entstehen dort, wo sich 3 Kanten eines Körpers schneiden.
Oberfläche eines Körpers
Die Oberfläche eines Körpers setzt sich zusammen aus der Mantelfläche plus den Grund- bzw. Deckflächen. Die Oberfläche ist also die Summe aller Begrenzungsflächen. Oberfläche = Mantel(fläche) + Grundfläche + Deckfläche
Netz eines Körpers
Als Netz bezeichnet man die in einer Ebene ausgebreitete Oberfläche. Breitet man alle Begrenzungsflächen in einer Ebene aus, so erhält man das Netz des Körpers
Mantelfläche eines Körpers
Die Mantelfläche eines Körpers ist dessen Oberfläche, abzüglich der Grund- und der Deckfläche
Diagonale in geometrischen Figuren und Körpern
Als Diagonale bezeichnet man die kürzest mögliche Verbindung zweier einander gegenüber liegender Eckpunkte in Vielecken oder einander gegenüber liegender Ecken eines Körpers.
Sehwinkel
Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt in der Ferne von einem Beobachter wahrgenommen wird.
Höhenwinkel
Der Höhenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen aufwärts gemessen wahrgenommen wird
Tiefenwinkel
Der Tiefenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen abwärts gemessen wahrgenommen wird
Kongruenzsätze
Die vier Kongruenzsätze ermöglichen eine rasche Überprüfung, ob zwei allgemeine Dreiecke in Form und Größe übereinstimmen. Kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt, sie unterscheiden sich nur in der Lage zueinander, es sei denn sie sind sogar deckungsgleich. Zwei Dreiecke ABC / A‘B‘C‘ heißen deckungsgleich (kongruent), wenn sie durch Kongruenzabbildungen ineinander übergeführt werden können. Um die Kongruenz von 2 Dreiecken feststellen zu können, müssen sie in folgenden 3 Bestimmungsstücken übereinstimmen
Kongruenz
Zwei deckungsgleiche Figuren nennt man kongruent. Damit sie - nach einer Kongruenzabbildung - die gleiche Fläche überdecken, müssen ihre Seiten gleich lang und ihre Winkel gleich groß sein.
WSW-Satz: Winkel-Seiten-Winkel-Satz
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und in den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen
\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\beta = \beta ';\,\,\,\,\,\gamma = \gamma ';\)
SWS-Satz: Seiten-Winkel-Seiten-Satz
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossener Winkel übereinstimmen
\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\gamma = \gamma ';\)
SSW-Satz: Seiten-Seiten-Winkel-Satz
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen
\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\beta = \beta ';\,\,\,\,\,{\text{mit}}\,\,b > a;\)
SSS-Satz: Seiten-Seiten-Seiten-Satz
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.
\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{c}{{c'}} = 1;\)
Gleichschenkeliges Dreieck
Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis. Bei einem gleichschenkeligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Das gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall vom gleichschenkeligen Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind. Man spricht dann aber wieder von "Seiten" und nicht von "Schenkeln".
Basiswinkel im gleichschenkeligen Dreieck
Die Basiswinkel im gleichschenkeligen Dreieck sind gleich groß
\(\alpha = \beta ;\,\,\,\gamma \ne 90^\circ \)
Schenkel vom gleichschenkeligen Dreieck
Die Schenkel vom gleichschenkeligen Dreiecksind gleich lang
\(a = b \ne c\)
Schenkellänge im gleichschenkeligen Dreieck
Die Länge der Schenkel im gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus der Länge der Basis und aus der Höhe auf die Basis
\(a = b = \sqrt {{{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)}^2} + {h_c}^2} \)
Basislänge im gleichschenkeligen Dreieck
Die Länge der Basis im gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus der Schenkellänge und aus der Höhe auf die Basis
\(c = 2 \cdot \sqrt {{a^2} - {h_c}^2} \)
Höhe auf die Basis im gleichschenkeligen Dreieck
Die Höhe hc teilt das gleichschenkelige Dreieck in zwei kongruente Dreiecke, weil sie eine Symmetrieachse ist. Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis.
\({h_c} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)}^2}} \)
Umfang vom gleichschenkeligen Dreieck
Der Umfang vom gleichschenkeligen Dreieck ergibt sich als doppelte Schenkellänge plus Basislänge
\(U = 2a + c\)
Fläche vom gleichschenkeligen Dreieck
Die Fläche vom gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus Basis mal halber Höhe auf die Basis
\(A = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2} = \dfrac{c}{2} \cdot \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \)
Illustration vom gleichschenkeligen Dreieck
Quadrat
Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind.
- Alle 4 Seiten a sind gleich lang, das Quadrat ist daher gleichseitig
- Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel, das Quadrat ist daher ein Rechteck
- Die beiden Diagonalen sind gleich lang, rechtwinkelig zu einander und halbieren einander
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist sowohl Inkreis-, Umkreismittelpunkt als auch Schwerpunkt
Umfang vom Quadrat
Der Umfang vom Quadrat entspricht der vierfachen Seitenlänge
\(U = a + a + a + a = 4a\)
Winkelsumme im Quadrat
Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der vier Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom Quadrat
Die Fläche vom Quadrat entspricht dem Quadrat der Seitenlänge
\(A = a \cdot a = {a^2}\)
Länge der Diagonalen im Quadrat
Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Quadrat entspricht dem Wurzel-Zweifachem einer Seitenlänge
\(d = e = f = a \cdot \sqrt 2\)
Inkreis im Quadrat
Der Radius vom Inkreis im Quadrat entspricht der halben Seitenlänge. Der Inkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen
\({r_i} = \dfrac{a}{2}\)
Umkreis vom Quadrat
Der Radius vom Umkreis vom Quadrat entspricht der halben Diagonale. Der Umkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen
\({r_u} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Illustration vom Quadrat
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Pyramidenstumpf
Von jeder Seite der Grundfläche verläuft je eine dreieckige Fläche zur Spitze der Pyramide. Wird die Pyramide unterhalb der Spitze abgeschnitten so bleibt eine Pyramidenstumpf zurück. Aus den dreieckigen Teilen der Mantelfläche werden viereckige Teile. Die Deckfläche liegt der Grundfläche gegenüber und ist parallel zur Grundfläche.
O | Oberfläche |
G | Grundfläche |
D | Deckfläche |
M | Mantel |
Oberfläche vom Pyramidenstumpf
Die Oberfläche vom Pyramidenstumpf setzt sich aus der Grund- und Deckfläche, sowie der Mantelfläche zusammen. Für die Mantelfläche der schiefen Pyramide gibt es keine geschlossene Formel. Die Mantelfläche nimmt aber zu, je schiefer die Pyramide wird.
\(O = G + D + M\)
Volumen vom Pyramidenstumpf
Das Volumen vom Pyramidenstumpf, unter der Voraussetzung dass Grund- und Deckfläche parallel zu einander sind, kann durch folgende Formel berechnet werden, in die nur die Grund-, die Deckfläche und die Höhe eingehen. Die Höhe ist der Abstand der Deck- von der Grundfläche.
\(V = \dfrac{h}{3} \cdot (G + D + \sqrt {G \cdot D} )\)
Illustration vom Pyramidenstumpf
Kugelkalotte
Eine Kugelkalotte, auch Kugelkuppel oder Kugelschale, entsteht, wenn man durch eine hohle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in eine untere und eine obere Kugelkalotte. Eine Kugelkalotte ist
- einerseits ein Hohlkörper mit einer kreisförmigen Öffnung an der Basis und einer konkav gewölbten Oberfläche.
- andererseits jener verbleibende Teil einer Kugeloberfläche, der jenseits der Schnittebene liegt.
Die Kugelkalotte ist somit gleichzeitig ein Hohlkörper als auch ein Teil einer Kugeloberfläche.
Kugelsegment
Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in ein unteres und ein oberes Kugelsegment.
- Ein Kugelsegment ist also ein Vollkörper, dessen Oberfläche sich aus der kreisförmigen Grundfläche und einer Kugelkalotte zusammensetzt.
- Ein Kugelsegment ist der von der Kugelkalotte und dem Grundkreis eingeschlossene Vollkörper.
Läuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, so entstehen zwei Halbkugeln.
Das Kugelsegment wird durch drei Bestimmungsgrößen definiert
r | Radius der Kugel |
a | Radius vom Grundkreis mit \(a \leqslant r\) |
h | Höhe |
Ein Kugelsegment ist der von der Kugelkalotte und dem Grundkreis eingeschlossene Vollkörper.
\(\eqalign{ & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = {\text{Kalotte + Grundkreis}} \cr & V = \frac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{ & r = 5cm \cr & h = 9cm \cr & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} = \sqrt {9 \cdot \left( {2 \cdot 5 - 9} \right)} = 3 \to a = 3cm \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h = \pi \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9 = 282,743 \to M = 282,743c{m^2} \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \pi \cdot \left( {2 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = 2 \cdot 5 \cdot \pi \cdot 9 + {3^2} \cdot \pi = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & V = \dfrac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \dfrac{{\pi \cdot 9}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 508,938 \to V = 508,938c{m^3} \cr} \)
Illustration vom Kugelsegment
Hohlkugel
Eine Hohlkugel, auch Kugelschale genannt, ist ein Hohlkörper aus zwei konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichen Radien. Die beiden Kugeln haben den gleichen Mittelpunkt. Von der vollen äußeren Kugel wird die hohle innere Kugel abgezogen. Es verbleibt die äußere Kugel mit einer Wandstärke, die bis zur inneren Kugel reicht. Innen ist die Hohlkugel, wie schon der Name sagt, hohl.
ra | Radius der äußeren Kugel |
ri | Radius der inneren Kugel |
\(\eqalign{ & V = \dfrac{4}{3} \cdot {r_a}^3 \cdot \pi - \dfrac{4}{3} \cdot {r_i}^3 \cdot \pi \cr & V = \dfrac{{4 \cdot \pi }}{3} \cdot \left( {{r_a}^3 - {r_i}^3} \right) \cr} \)
Unterschied zwischen Hohlkugel, einer hohlen Kugel und einer Kugelkalotte
- Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht.
- Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke.
- Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde.
Illustration einer Hohlkugel
Illustration vom Blick in ein Hohlkugelsegment
Winkelfunktionen am Einheitskreis
Betrachtet man die Winkelfunkionen ausschließlich im rechtwinkeligen Dreieck, dann beschränken sich die Winkel auf den Bereich zwischen 0° und 90°. Nachfolgend die Betrachtung der Winkelfunktionen am Einheitskreis, also einem Kreis mit dem Radius r=c=1, wodurch die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel zwischen 0° und 360° zugänglich werden.
Trigonometrischer Pythagoras
Der trigonometrische Satz des Pythagoras ist lediglich eine andere Formulierung vom Satz des Pythagoras. Setzt man im Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse c gleich 1 und drückt man die Längen der Katheten a, b durch die entsprechende trigonometrische Winkelfunktion Sinus bzw. Kosinus aus, so erhält man den trigonometrischen Pythagoras.
Satz des Pythagoras im rechtwinkeliges Dreieck:
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
Setzt man nun \(c = r = 1\), so ergibt sich der Satz des Pythagoras am Einheitskreis wie folgt:
\(\eqalign{ & {r^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \cr & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr} \)
Dass man c=r=1 setzt, entspricht einer "Normierung" der drei Seiten, derzufolge die Länge der Hypotenuse c=r somit 100% entspricht und jede der beiden Katheten jeweils einem Wert kleiner gleich 100% entspricht.
Alternative, gleichwertige Schreibweisen
\(\eqalign{ & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr & {\left( {\sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha } \right)^2} = 1 \cr} \)
Illustration von den Zusammenhängen im rechtwinkeligen Dreieck und im Einheitskreis
Gegenüberstellung der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck und am Einheitskreis
Rechtwinkeliges Dreieck | Einheitskreis: Hypotenuse = 1 |
betrachtet wird ein rechtwinkeliges Dreieck | betrachtet wird ein Punkt am Einheitskreis, der in einem von 4 Quadranten liegen kann |
Satz des Pythagoras \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) |
Trigonometrischer Satz des Pythagoras \(\eqalign{ & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr & {\left( {\sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha } \right)^2} = 1 \cr} \) |
Rechnen mit Seiten Rechnen im Winkelmaß, wobei Vollwinkel = 360° |
Rechnen mit periodischen Funktionen Rechnen im Bogenmaß, wobei Vollwinkel = \(2 \cdot \pi \) |
Der Sinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht dem Verhältnis von der Gegenkathete zur Hypotenuse \({\text{Sinus }}\alpha {\text{ = }}\dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\) |
Der Sinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht der y-Koordinate von P |
Der Kosinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse \({\text{Kosinus }}\alpha {\text{ = }}\dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\) |
Der Kosinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht der x-Koordinate von P |
a, b, c, \(\alpha \) | \(y = f(x) = \sin (x)\) |
Periodizität der Sinusfunktion
\(\sin x = \sin \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Sinusfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: pos | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: neg |
Periodizität der Kosinusfunktion
\(\cos x = \cos \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Kosinusfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: pos |
Periodizität der Tangensfunktion
Der Tangens wird an der Stelle abgelesen die einerseits auf jener Tangente liegt, die im Punkt (1│0) den Einheitskreis berührt und die andererseits auf dem Strahl vom Ursprung durch den Punkt P liegt.
\(\tan x = \tan \left( {x + k \cdot \pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Tangensfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: pos | Q4: neg |
Periodizität vom Kotangens
Der Kotangens wird an der Stelle abgelesen die einerseits auf jener Tangente liegt, die im Punkt (0│1) den Einheitskreis berührt und die andererseits auf dem Strahl vom Ursprung durch den Punkt P liegt.
\(\cot x = \cot \left( {x + k \cdot \pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Kotangensfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: pos | Q4: neg |
Periodizität vom Sekans
Der Sekans entspricht dem Kehrwert von der Kosinusfunktion. Der Funktionswert entspricht der Länge jenes Sekantenabschnitts am Einheitskreis der vom Ursprung 0 bis zu jenem Punkt Q in unten stehender Grafik verläuft, an dem auch der Tangens abgelesen wird. Die Sekante verläuft dabei durch den Punkt P und den Ursprung 0.
\(\sec x = \sec \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Sekansfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: pos |
Periodizität vom Kosekans
Der Kosekans entspricht dem Kehrwert von der Sinusfunktion. Der Funktionswert entspricht der Länge jenes Sekantenabschnitts am Einheitskreis der vom Ursprung 0 bis zu jenem Punkt R in unten stehender Grafik verläuft, an dem auch der Kotangens abgelesen wird. Die Sekante verläuft dabei durch den Punkt P und den Ursprung 0.
\(\csc x = \csc \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Kosekansfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: pos | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: neg |
Illustration davon, wie sich die Winkelfunktionen am Einheitskreis geometrisch ergeben
Wichtige Winkelfunktionswerte
Folgende Winkelfunktionswerte kommen in der technischen Praxis häufig vor und sollten einem vertraut sein:
\({\alpha ^\circ }\) | rad | \({\sin \alpha }\) | \({\cos \alpha }\) | \({\tan \alpha }\) | \({\cot \alpha }\) |
0° | 0 | 0 | 1 | 0 | \({ \pm \infty }\) |
30° | \({\dfrac{\pi }{6}}\) | \({\dfrac{1}{2}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}\) | \({\sqrt 3 }\) |
45° | \({\dfrac{\pi }{4}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}\) | 1 | 1 |
60° | \({\dfrac{\pi }{3}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\) | \({\dfrac{1}{2}}\) | \({\sqrt 3 }\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}\) |
90° | \({\dfrac{\pi }{2}}\) | 1 | 0 | \({ \pm \infty }\) | 0 |
180° | \(\pi\) | 0 | -1 | 0 | \({ \pm \infty }\) |
360° | \({2\pi }\) | 0 | 1 | 0 | \({ \pm \infty }\) |
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 0° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 30° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 45° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 60° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 90° am Einheitskreis
Multiplikation von Vektoren
Bei der Multiplikation von Vektoren unterscheidet man zwischen
- Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Das Resultat ist ein in der Länge veränderter Vektor
- Skalarprodukt als Multiplikation zweier Vektoren. Das Resultat ist ein Skalar. Wichtige Anwendung: Orthogonalitätskriterium und Winkel zwischen 2 Vektoren
- Kreuzprodukt als Multiplikation zweier Vektoren. Das Resultat ist ein dritter Vektor, der auf den beiden Ausgangsvektoren normal steht. Wichtige Anwendung: Parallelitätskriterium und Fläche des von 2 Vektoren aufgespannten Parallelogramms
- Spatprodukt als Multiplikation dreier Vektoren. Dabei wird zuerst das Kreuzprodukt zweier Vektoren gebildet. Mit dem daraus resultierenden Vektor und dem dritten gegebenen Vektor wird anschließend das Skalarprodukt gebildet. Das Resultat ist ein Skalar. Wichtige Anwendung: Volumen eines von 3 Vektoren aufgespannten Körpers
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Unter Skalarmultiplikation versteht man die Multiplikation eines Vektor \(\overrightarrow a \) mit einer reellen Zahl λ (Skalar). Der resultierende Vektor hat die λ-fache Länge des Ausgangsvektors. Für negative λ sind der Ausgangsvektor und der resultierende Vektor entgegengesetzt orientiert.
\(\lambda \cdot \overrightarrow a = \left( \matrix{ \lambda \cdot {a_x} \hfill \cr \lambda \cdot {a_y} \hfill \cr} \right)\,\,\,\,\,{\rm{wobei}}\,\,\,\,\,\lambda \overrightarrow a \left\| {\overrightarrow a } \right.\)
\(c \cdot \overrightarrow v = c \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {c \cdot {v_x}}\\ {c \cdot {v_y}}\\ {c \cdot {v_z}} \end{array}} \right)\)
Rechenregeln im Zusammenhang mit der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
\(\eqalign{ & \lambda \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \lambda \cdot \overrightarrow a + \lambda \cdot \overrightarrow b \cr & \left( {\lambda + \mu } \right) \cdot \overrightarrow a = \lambda \cdot \overrightarrow a + \mu \cdot \overrightarrow a \cr & 0 \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \cr}\)
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt bzw. das innere Produkt zweier Vektoren ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu und wird gebildet, in dem komponentenweise multipliziert wird, und anschließend die Summe der Produkte gebildet wird. Es findet Anwendung bei der Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren und beim Orthogonalitätskriterium welches besagt, dass wenn zwei Vektoren senkrecht auf einander stehen, ihr Skalarprodukt gleich Null ist
\( \eqalign{ & \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right) \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y} = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \cr & \cos \varphi = {{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b } \over {\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = {{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}} \over {\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }} \cr}\)
Orthogonalitätskriterium
2 Vektoren stehen im rechter Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = 0 \cr & {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0 \cr}\)
Achtung in \({{\Bbb R}^3}\):
- Das Skalarprodukt im 3-dimensionalen Raum macht eine Aussage darüber, ob die beiden Geraden im rechten Winkel auf einander stehen.
- Es macht aber keine Aussage darüber, ob die beiden Geraden in einer Ebene liegen und einander daher schneiden, oder ob sie in 2 parallelen Ebenen liegen und daher windschief zu einander sind.
Winkel zwischen 2 Vektoren
Zwischen zwei Vektoren kann man zwei Winkel einzeichnen, einen innen- und einen außenliegenden Winkel. Wenn nichts Gegenteiliges gesagt wird, ist immer der Innenwinkel gemeint. Zur Berechnung des Winkels bestimmt man zunächst
- das Skalarprodukt \(\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}\) der beiden Vektoren,
- danach jeweils den Betrag \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} \) bzw. \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} \) der beiden Vektoren
- und setzt dann in die Formel ein.
- Indem wir den ArkusKosinus nehmen, erhalten wir als Resultat den Winkel in Grad.
Den Kosinus vom Winkel zwischen zwei Vektoren erhält man, indem man das Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren dividiert.
\(\varphi = \arccos \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\) mit \(\left| {\overrightarrow a } \right| \ne 0;\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| \ne 0\)
Rechenregeln im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt
Kommutativgesetz
\(\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \overrightarrow b \circ \overrightarrow a \)
Distributivgesetz
\(\overrightarrow a \circ \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \circ \overrightarrow b + \overrightarrow a \circ \overrightarrow c \)
gemischtes Assoziativgesetz, wobei k ein Skalar ist
\(k \cdot \left( {\overrightarrow a \circ \overrightarrow b } \right) = \left( {k \cdot \overrightarrow a } \right) \circ \overrightarrow b = \overrightarrow a \circ \left( {k \cdot \overrightarrow b } \right)\)
Quadrat eines Vektors bzw. Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst
Betrachten wir den Spezialfall dass \(\overrightarrow b = \overrightarrow a \) , dann gilt:
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst bzw. das Quadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat des Betrags vom Vektor. Wir können das wie folgt zeigen:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \\ \overrightarrow b = \overrightarrow a \to \cos \left( 0 \right) = 1\\ \overrightarrow a \circ \overrightarrow a = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot 1\\ \overrightarrow a \circ \overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} \end{array}\)
Kreuzprodukt
Für das Kreuzprodukt sind auch die Bezeichnungen vektorielles Produkt bzw. äußeres Produkt üblich Das vektorielle Produkt zweier Vektoren ist ein (dritter) Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. (Rechtssystem).
\(\eqalign{ & \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right)\times\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{a_y} \cdot {b_z} - {a_z} \cdot {b_y}} \cr {{a_z} \cdot {b_x} - {a_x} \cdot {b_z}} \cr {{a_x} \cdot {b_y} - {a_y} \cdot {b_x}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{c_x}} \cr {{c_y}} \cr {{c_z}} \cr } } \right) \cr & \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \varphi ; \cr}\)
\(\eqalign{ & {\text{mit }}\varphi = \sphericalangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) & }\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow a \cr & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow b \cr} \)
Die Bildungsvorschrift für den doch etwas komplizierten Klammerausdruck lautet wie folgt:
Schreibe die Komponenten der beiden Vektoren an und füge die beiden oberen Zeilen unten noch einmal an
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{}\\ {{a_z}}&{{b_z}}&{}&{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Fange in der 1. Spalte in der 2. Zeile an und rechne: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 3. Zeile
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{{a_z} \cdot {b_x}}&{ - {a_x} \cdot {b_z}}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 4. Zeile
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{{a_z} \cdot {b_x}}&{ - {a_x} \cdot {b_z}}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{{a_x} \cdot {b_y}}&{ - {a_y} \cdot {b_x}}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Betrag vom Kreuzprodukt entspricht der Fläche vom Parallelogramm
Der Betrag des Vektors entspricht der Maßzahl der Fläche, des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
\({\rm{A = l}} \cdot {\rm{b = }}\left| {\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)} \right| = {\rm{Skalar}}\)
Illustration vom Kreuzprodukt
Parallelitätskriterium
Zwei Vektoren sind dann zueinander parallel, wenn der Betrag von dem Vektor, der sich aus dem Kreuzprodukt ergibt, Null ist
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \\ \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \end{array}\)
Zwei Vektoren sind dann zu einander parallel, wenn ein Vektor ein Vielfaches vom anderen Vektor ist.
\(\overrightarrow a \left\| {\overrightarrow b } \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow b = \lambda .\overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {\lambda .{a_x}} \cr {\lambda .{a_y}} \cr } } \right)\)
Rechenregeln im Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt
Das Kommutativgesetz gilt nicht für das Kreuzprodukt, sondern es besteht folgender Zusammenhang
\(\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow a } \right)\)
Das Distributivgesetz gilt für das Kreuzprodukt
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c \cr & \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \times \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c \cr} \)
Darüber hinaus gelten folgende Zusammenhänge
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow a = 0 \cr & \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b = \lambda \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cr} \)
Das Spatprodukt
Beim Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, wird zuerst von zwei Vektoren das Kreuzprodukt und vom so resultierenden Vektor zusammen mit einem dritten Vektor das Skalarprodukt berechnet. Es dient dazu das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Körpers zu berechnen. Solch einen Körper nennt man Parallelepiped oder Spat. Die Bezeichnung Spat ist uns aus der Mineralogie (Feldspat) vertraut. Das Spatprodukt dreier Vektoren liefert als Resultat ein Skalar.
\(V = l \cdot b \cdot h = A \cdot h = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \circ \overrightarrow c = \overrightarrow d \circ \overrightarrow c = {\rm{Skalar}}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Ebenengleichungen und ihre drei Darstellungsformen
In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt, nachfolgend die Parameterform, die Normalvektorform und die allgemeine Form der Ebenengleichung
X=(x,y,z) | beliebiger Punkt der Ebene |
P | fester Punkt der Ebene, Aufpunkt |
\(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) | Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen |
u, v | Parameter |
\(\overrightarrow n\) | Normalvektor der Ebene |
Parameterform der Ebenengleichung
Es handelt sich bei beiden nachfolgend angeführten Schreibweisen um "Parameterformen" der Ebene, da man alle Punkte der Ebene dadurch erhält, indem man für die Parameter u und v unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt.
Ebene in Koordinatenschreibweise
Jeder Punkt X der Ebene \(\varepsilon\) kann ausgehend von einem Startpunkt \({\rm{P}} \in \varepsilon\) entlang zweier Richtungsvektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\)erreicht werden.
\(\varepsilon :X = P + u.\overrightarrow a + v.\overrightarrow b \)
\(\varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = P + u \cdot \overrightarrow a + v \cdot \overrightarrow b \)
\(\varepsilon :\left\{ \matrix{ x = {p_x} + u \cdot {a_x} + v \cdot {b_x} \cr y = {p_y} + u \cdot {a_y} + v \cdot {b_y} \cr z = {p_y} + u \cdot {a_z} + v \cdot {b_z} \cr} \right.\)
Ortsvektor zu jedem Punkt X in der Ebene
Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem Punkt X
\(\overrightarrow x = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u \cdot \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + v \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)
Ebene durch 3 Punkte
Die 3 Punkte dürfen nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
\(P\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right);\,\,\,Q\left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right);\,\,\,R\left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)
2 Richtungsvektoren spannen die Ebene auf:
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right);\,\,\,\overrightarrow {PR} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)
Somit lautet die Ebenengleichung durch den Aufpunkt P und aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren:
\(\varepsilon :X = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)
Normalvektorform der Ebenengleichung
Bei der Normalvektorform der Ebene \(\varepsilon\) wird ein Aufpunkt P und ein Normalvektor \(\overrightarrow n\), welcher im rechten Winkel auf die Ebene steht, benötigt. Mit Hilfe dieser Bestimmungsgröße kann jeder beliebige Punkt X der Ebene berechnet werden. Die Koordinaten des Normalvektors sind zugleich die Koeffizienten der allgemeinen Form der Ebenengleichung
Normalvektorform der Ebene, wenn der Aufpunkt P bekannt ist
\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow n \cdot \left( {\overrightarrow X - P} \right) = 0\\ \overrightarrow n \cdot \overrightarrow X - \overrightarrow n \cdot P = 0 \end{array}\)
Normalvektorform der Ebene, wenn der senkrechte Abstand d vom Koordinatenursprung bekannt ist
Es gehören all jene Punkte X zur Ebene, für die das Skalarprodukt aus deren Ortsvektor mit dem Normalvektor dem minimalen Abstand vom Ursprung d entsprechen
\(\varepsilon :\overrightarrow n \circ \overrightarrow X = d\)
Hessesche Normalform der Ebene.
Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung vom Abstand eines Punktes im Raum von der Ebene. Ersetzt man den Normalvektor durch dessen Einheitsvektor, so erhält man die hessesche Normalform
\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow P } \right) = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cdot (X - P) = 0\\ \varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_x}}\\ {{x_y}}\\ {{x_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0 \end{array}\)
Allgemeine Form der Ebenengleichung
Bei der allgmeinen Form einer Ebene sind die Koeffizienten a, b und c zugleich die Koordinaten des Normalvektors und die Variablen x, y und z sind die Koordinaten all jener Punkte X, die auf der Ebene liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a, b und c jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.
\(\begin{array}{l} \varepsilon :a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right) \end{array}\)
Strahlensätze
Die drei Strahlensätze machen Aussagen über das Verhältnis von Strahlenabschnitten und Parallelenabschnitten. Zwei bzw. drei durch einen Scheitelpunkt verlaufende Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, wobei keine der beiden Parallelen durch den Scheitelpunkt verläuft. Dann gilt
1. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander, wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden
\(\begin{array}{l} \left| {ZA} \right|:\left| {ZB} \right| = \left| {ZA'} \right|:\left| {ZB'} \right|\\ \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)
2. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlen- zu Parallelenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die vom Schenkel aus gemessenen Abschnitte auf derselben Geraden
\(\begin{array}{l} \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right|\\ \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)
3. Strahlensatz über das Verhältnis von Parallelenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die entsprechenden beiden anderen Abschnitte auf den Parallelen.
\(\begin{array}{l} \left| {BC} \right|:\left| {B'C'} \right| = \left| {CA} \right|:\left| {C'A'} \right|\\ \left| {BC} \right|:\left| {CA} \right| = \left| {B'C'} \right|:\left| {C'A'} \right| \end{array}\)
Beispiel:
Teile eine unbekannt lange Strecke in gleiche Teile
Wir wenden den 1. Strahlensatz an, um eine Strecke mit unbekannter Länge in 4 gleiche Abschnitte zu unterteilen.
- Wir tragen die Stecke auf (rot)
- Wir tragen einen Strahl auf, der nicht mit der Strecke zusammen fällt (schwarz)
- Wir tragen von Schenkelpunkt aus einen 1. Kreis mit beliebigen Radius aus. Von dort wo der Kreis den Strahl schneidet tragen wir den nächste Kreis aus. Wir erzeugen so 4 gleich lange Abschnitte am Strahl (blau)
- Wir zeichnen die Verbindungsgerade vom 4. Punkt am Strahl mit dem Endpunkt der Strecke ein, sowie die 3 Parallelen dazu, jeweils durch die Schnittpunkte der Kreise mit dem Strahl (grün)
- Als Resultat erhalten wir die 4 Abschnitte auf der Strecke. Auf Grund der 4 gleich langen Abschnitte am Strahl, teilen die Parallelen auch die Strecke in 4 gleich lange Abschnitte.
Gleichseitiges Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten
Seitenlänge beim gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang
\(a = b = c = \dfrac{{2 \cdot h}}{{\sqrt 3 }}\)
Innenwinkel beim gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck betragen alle drei Innenwinkel 60°
\(\alpha = \beta = \gamma\)
Höhe beim gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Höhen gleich lang
\(h = \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt 3 \)
Umfang vom gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich der Umfang als Summe der drei gleichlangen Seiten
\(U = a + a + a = 3a\)
Fläche vom gleichseitigen Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich die Fläche als Produkt der Seitenlänge mal halber Höhe
\(A = {a^2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = a \cdot \dfrac{h}{2}\)
Illustration vom gleichseitigen Dreieck
Aufgaben
Aufgabe 84
Vektoren in der Physik
Erkläre an Hand zweier Beispiele aus der Physik, was einen Vektor ausmacht.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 93
Einheitsvektor ermitteln
Ermittle den Einheitsvektor zu
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right)\)