Erster Strahlensatz Verhältnis von Strahlenabschnitten
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Formeln
Strahlensätze
Die drei Strahlensätze machen Aussagen über das Verhältnis von Strahlenabschnitten und Parallelenabschnitten. Zwei bzw. drei durch einen Scheitelpunkt verlaufende Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, wobei keine der beiden Parallelen durch den Scheitelpunkt verläuft. Dann gilt
1. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander, wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden
\(\begin{array}{l} \left| {ZA} \right|:\left| {ZB} \right| = \left| {ZA'} \right|:\left| {ZB'} \right|\\ \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)
2. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlen- zu Parallelenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die vom Schenkel aus gemessenen Abschnitte auf derselben Geraden
\(\begin{array}{l} \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right|\\ \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)
3. Strahlensatz über das Verhältnis von Parallelenabschnitten
Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die entsprechenden beiden anderen Abschnitte auf den Parallelen.
\(\begin{array}{l} \left| {BC} \right|:\left| {B'C'} \right| = \left| {CA} \right|:\left| {C'A'} \right|\\ \left| {BC} \right|:\left| {CA} \right| = \left| {B'C'} \right|:\left| {C'A'} \right| \end{array}\)
Beispiel:
Teile eine unbekannt lange Strecke in gleiche Teile
Wir wenden den 1. Strahlensatz an, um eine Strecke mit unbekannter Länge in 4 gleiche Abschnitte zu unterteilen.
- Wir tragen die Stecke auf (rot)
- Wir tragen einen Strahl auf, der nicht mit der Strecke zusammen fällt (schwarz)
- Wir tragen von Schenkelpunkt aus einen 1. Kreis mit beliebigen Radius aus. Von dort wo der Kreis den Strahl schneidet tragen wir den nächste Kreis aus. Wir erzeugen so 4 gleich lange Abschnitte am Strahl (blau)
- Wir zeichnen die Verbindungsgerade vom 4. Punkt am Strahl mit dem Endpunkt der Strecke ein, sowie die 3 Parallelen dazu, jeweils durch die Schnittpunkte der Kreise mit dem Strahl (grün)
- Als Resultat erhalten wir die 4 Abschnitte auf der Strecke. Auf Grund der 4 gleich langen Abschnitte am Strahl, teilen die Parallelen auch die Strecke in 4 gleich lange Abschnitte.
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