Aufgabe 228
Gleichung der Tangente an den Graph eines Polynoms
Gesucht ist die Gleichung der Tangente gemäß \(y = kx + d\) an den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = - \dfrac{3}{8}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{8}\) an der Stelle \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Lösungsweg
Die 1. Ableitung \(f'\left( x \right)\) an der Stelle \(x = - \dfrac{1}{3}\) liefert und die Steigung k.
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = - \dfrac{3}{8}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{8}\\ f'\left( x \right) = - 3 \cdot \dfrac{3}{x} \cdot {x^2} - 2 \cdot \dfrac{3}{8} \cdot x + \dfrac{3}{8} = - \dfrac{9}{8}{x^2} - \dfrac{6}{8}x + \dfrac{3}{8}\\ f'\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = - \dfrac{9}{8} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - \dfrac{6}{8} \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{3}{8} = \\ = - \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{1}{9} + \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{8} = - \dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = \\ = 0,5 = k \end{array}\)
Danach errechnen wir den Funktionswert \(y = f\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)\)
\(\begin{array}{l} f\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = - \dfrac{3}{8} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^3} - \dfrac{3}{8} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{3}{8} \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{3}{8} = \\ = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{{27}} - \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{9} - \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{1}{{24}} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} = \\ = \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{3}{{72}} + \dfrac{{18}}{{72}} = \dfrac{{16}}{{72}} = \\ = \dfrac{2}{9} \end{array}\)
Somit kennen wir den Berührpunkt \(P\left( { - \dfrac{1}{3}\left| {\dfrac{2}{9}} \right.} \right)\) der Tangente mit dem Graph der Funktion
Da die gesuchte Geradengleichung durch diesen Punkt P verläuft und wir die Steigung k schon errechnet haben, können wir somit den fehlenden Ordinatenabschnitt d errechnen. Wir setzen dazu in die Geradengleichung ein:
\(\begin{array}{l} y = k \cdot x + d\\ \dfrac{2}{9} = 0,5 \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + d\\ \dfrac{2}{9} = - \dfrac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + d\\ d = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{{18}} + \dfrac{3}{{18}} = \dfrac{7}{{18}} \end{array}\)
Somit lautet die gesuchte Gleichung der Tangente: \(y = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(y = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.