Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen
Julia Menge
Die Darstellung der Julia Menge ist ein Beispiel für ein Fraktal, welches durch Rekursion aus einer nichtlinearen Gleichungen generiert wird. Nicht zusammenhängende Julia Mengen werden Cantor Mengen genannt, zusammenhängende Julia Mengen werden Mandelbrot Mengen genannt.
\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)
Indem man z0 variiert, kann man herausfinden, welche komplexen Startwerte zo , für ein gewähltes konstantes c , zur Julia Menge gehören und welche nicht. Die Julia-Menge ist also die Menge aller komplexer Startwerte z0, für welche die Folge zn für ein gewähltes konstantes c stets beschränkt bleibt, also konvergiert, d.h. sich immer mehr einem Grenzwert annähert.
Die Julia-Menge kann eine Staubwolke aus unendlich vielen Punkten sein, dann ist sie eine sogenannte Cantor-Menge, oder sie ist zusammenhängend, also verbunden, dann nennt man sie Mandelbrot Menge und stellt sie als Apfelmännchen-Fraktal dar. Für diese Unterscheidung muss man für das gewählte c nur einen einzigen Punkt untersuchen: Und zwar z0=0. Divergiert dieser Punkt in Richtung unendlich, so ist die Julia-Menge nicht zusammenhängend.
In der grafischen Darstellung hat die Julia Menge Im Unterschied zur Mandelbrot-Menge, unterschiedliche Aussehen, abhängig wie man c am Beginn festgelegt hat. D.h. für jedes c gibt es eine eigene Julia-Menge. Viele Julia-Mengen entsprechen der leeren Menge! Eine Julia-Menge ist genau dann nicht leer, wenn der Punkt c in der Mandelbrot-Menge liegt.