Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens
Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
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Formeln
Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen
Ebenso wie Gleichungen löst man auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen. Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. Bei Ungleichungen unterscheidet man zwischen Äquivalenzumformung mit bzw. ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
Ungleichungen kann man von links nach rechts und von rechts nach links lesen:
\({T_1} > {T_2} \Leftrightarrow {T_2} < {T_1}\)
"Wenn Term 1 größer als Term 2 ist, dann ist Term 2 kleiner als Term 1".
Zwei Ungleichungen mit gleichem Ungleichheitszeichen darf man zusammenfassen
\({T_1} \geqslant {T_2}\,\,\,\,\,{T_3} \geqslant {T_4} \Rightarrow {T_1} + {T_3} \geqslant {T_2} + {T_4}\)
"Wenn T1 größer gleich T2 und wenn T3 größer gleich T4 ist, dann ist auch die Summe aus T1 und T3 größer oder gleich T2 und T4".
Äquivalenzumformung ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens
Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Ungleichung nicht.
Addition oder Subtraktion von einer Konstanten oder einem Term auf beiden Seiten der Ungleichung:
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm c < {T_2} \pm c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm {T_3} < {T_2} \pm {T_3} \cr} \)
Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl oder einem positiven Term erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens:
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c < {T_2} \cdot c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot {T_3} < {T_2} \cdot {T_3} \cr} \)
bzw.
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c < {T_2}:c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:{T_3} < {T_2}:{T_3} \cr} \)
Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens
Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_2} > {T_1} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c > {T_2} \cdot c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c > {T_2}:c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr}\)
Beispiel:
Gegeben sei folgende Ungleichung
\(- 4 \cdot x + 6 < 14\)
Wir subtrahieren 6 von beiden Seiten der Ungleichung → keine Umkehrung vom Ungleichheitszeichen
\(\eqalign{ & - 4 \cdot x + 6 - 6 < 14 - 6 \cr & - 4 \cdot x < 8 \cr} \)
Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch -4 → Umkehrung vom Ungleichheitszeichen erforderlich!
\(\eqalign{ & - 4 \cdot x < 8\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 4} \right)} \right. \cr & x > \frac{8}{{ - 4}} \cr & x > - 2 \cr} \)
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Aufgaben
Aufgabe 6024
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind (vgl. Abbildung).
Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße X beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte 4, 10 oder 25 annehmen. Die Zahl 5 wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit p erzielt. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass jeder Kunde genau einen Einkauf tätigt und auch tatsächlich am Glücksrad dreht.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von 10% erhält.
(Ergebnis: \(2 \cdot p - 2 \cdot {p^2}\) )
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße X gilt:
\(E\left( X \right) = 9 \cdot {p^2} + 12 \cdot p + 4\)
Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von 16% gewähren.
3. Teilaufgabe c.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit p.
Berechnen Sie für diese Vorgabe den zugehörigen Mittelpunktswinkel des Sektors mit der Zahl 5.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt 1/9.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.
Es drehen 180 Kunden am Glücksrad.
Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 10 und höchstens 25 dieser Kunden den niedrigsten Rabatt für ihren Einkauf erhalten.
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Aufgabe 1640
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erdgasanbieter
Ein Haushalt möchte seinen Erdgaslieferanten wechseln und schwankt noch bei der Wahl zwischen dem Anbieter A und dem Anbieter B.
Der Energiegehalt des verbrauchten Erdgases wird in Kilowattstunden (kWh) gemessen.
- Anbieter A verrechnet jährlich eine fixe Gebühr von 340 Euro und 2,9 Cent pro kWh.
- Anbieter B verrechnet jährlich eine fixe Gebühr von 400 Euro und 2,5 Cent pro kWh.
Die Ungleichung \(0,025 \cdot x + 400 < 0,029 \cdot x + 340\) dient dem Vergleich der zu erwartenden Kosten bei den beiden Anbietern.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Lösen Sie die oben angeführte Ungleichung und interpretieren Sie das Ergebnis im gegebenen Kontext!
Aufgabe 1688
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ungleichungen lösen
Gegeben sind zwei lineare Ungleichungen.
\(\eqalign{ & 7 \cdot x + 67 > - 17 \cr & - 25 - 4 \cdot x > 7 \cr} \)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Gesucht sind alle reellen Zahlen x, die beide Ungleichungen erfüllen. Geben Sie die Menge dieser Zahlen als Intervall an!