Rundungsfehler

Rundungsregeln

Es kann sinnvoll sein, Zahlen zu runden. Etwa wenn bei Divisionen unerwünscht viele Nachkommastellen entstehen. So macht etwa die 3. Nachkommastelle bei einem Euro-Betrag oder ein zehntel Millimeter bei einem Hausbau in der täglichen Praxis keinen Sinn. Speziell im technischen Umfeld spricht man dann von Scheingenauigkeit (Gemessen wurde auf Millimeter, aber durch eine Division entstanden rechnerisch zehntel Millimeter) . Grundsätzlich kann man Zahlen auf jeden beliebigen Stellenwert auf oder abrunden.

Kaufmännisches Runden

Um den Rundungsfehler möglichst klein zu halten bedient man sich in der täglichen Praxis gerne des kaufmännischen Rundens. Beim kaufmännischen Runden wird ausschließlich auf Grund der ersten wegfallenden Dezimalstelle gerundet

• 0,1,2,3,4 werden abgerundet
• 5,6,7,8,9 werden aufgerundet
• negative Zahlen werden so gerundet, als würde man deren Betrag runden, wobei das negative Vorzeichen nach dem Runden natürlich wieder angeschrieben wird

Beispiel:
Der Nettopreis einer Ware beträgt 23,13€. Die deutsche Mehrwertsteuer beträgt 19%. Ermittle den kaufmännisch gerundeten Bruttopreis!

richtige Lösung
\(23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52\)
Die erste wegfallende Dezimalstelle ist eine "4", daher wird abgerundet.

falsche Lösung
Achtung: Man darf das Problem nicht von hinten aufrollen und die "7" in die Rundung mit einbeziehen.
Das würde nämlich wie folgt zu einer faschen Rundung führen:
\(23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,525 \approx 27,53\)

Summenerhaltendes Runden

Hier wird so gerundet, dass die Summe der gerundeten Zahlen exakt der Ausgangszahl entspricht. Dieses Problem stellt sich bei der Ermittlung der Sitzverteilung in Abhängigkeit von den Wählerstimmen und bei der Ermittlung vom Gesamt-Bruttopreis, wenn von Netto-Teilpreisen ausgegangen wird:

Beispiel:
Ein Produkt besteht aus 2 Komponenten, deren Nettopreise betragen 23,13 bzw. 9,33 €. Die deutsche Mehrwertsteuer beträgt 19%

Variante 1:
Wir berechnen den Netto-Summenpreis, ermitteln daraus den Bruttopreis vom Produkt und runden am Schluss
\(\left( {23,13 + 9,33} \right) \cdot 1,19 = 32,46 \cdot 1,19 = 38,6274 \approx 38,63\)

Variante 2:
Wir berechnen die Bruttopreise je Komponente, runden kaufmännisch und addieren zum Summenpreis.

\(\begin{array}{l} 23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52\\ 9,33 \cdot 1,19 = 11,1027 \approx 11,10\\ 27,52 + 11,10 = 38,62 \end{array}\)

→ Variante 1 und Variante 2 unterscheiden sich um 1 Cent.

Variante 3
Wir berechnen die Bruttopreise je Komponente, runden summenerhaltend und addieren zum Summenpreis.
Um summenerhaltend runden zu können, bestimmen wir den Fehler zwischen dem tatsächlichen Bruttopreis je Komponente und dem gerundeten Bruttopreis je Komponente. Wir runden jene Komponente die den größeren Fehler aufweist, sodass die Summe wieder stimmt.

\(\begin{array}{l} 23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52 \to {\Delta _1} = 27,5247 - 27,52 = 0,0047\\ 9,33 \cdot 1,19 = 11,1027 \approx 11,10 \to {\Delta _2} = 11,1027 - 11,10 = 0,0027\\ {\Delta _1} > {\Delta _2} \to 27,5247 \approx 27,53\\ 27,53 + 11,10 = 38,63 \end{array}\)

→ Variante 1 und Variante 3 unterscheiden sich nicht mehr.