Aufgabe 260
Logarithmus eines Produkts oder Quotienten
Folgende dekadische Logarithmen sind gegeben:
\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 2 \right) = \lg \left( 2 \right) \approx 0,30103 \cr & {\log _{10}}\left( 3 \right) = \lg \left( 3 \right) \approx 0,47712 \cr} \)
1. Teilaufgabe:
Berechne ohne Taschenrechner
\(\eqalign{ & \lg \left( 4 \right) = \cr & \lg \left( 5 \right) = \cr & \lg \left( 6 \right) = \cr & \lg \left( 8 \right) = \cr & \lg \left( 9 \right) = \cr} \)
2. Teilaufgabe:
Begründe warum man den lg(7) nicht auf diese Weise berechnen kann!
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir berechnen ohne Taschenrechner aber unter Zuhilfenahme folgender Formel:
\(\eqalign{ & {\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right) \cr & {\log _a}\left( {\frac{u}{v}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right) \cr} \)
Somit:
\(\eqalign{ & \lg \left( 4 \right) = \lg \left( {2 \cdot 2} \right) = \lg \left( 2 \right) + \lg \left( 2 \right) = 2 \cdot \lg \left( 2 \right) \approx 2 \cdot 0,30103 \approx 0,60206 \cr & \lg \left( 5 \right) = \lg \left( {\dfrac{{10}}{2}} \right) = \lg \left( {10} \right) - \lg \left( 2 \right) \approx 1 - 0,30103 \approx 0,69897 \cr & \lg \left( 6 \right) = \lg \left( {2 \cdot 3} \right) = \lg \left( 2 \right) + \lg \left( 3 \right) \approx 0,30103 + 0,47712 \approx 0,77815 \cr & \lg \left( 8 \right) = \lg \left( {2 \cdot 2 \cdot 2} \right) = \lg \left( 2 \right) + \lg \left( 2 \right) + \lg \left( 2 \right) \approx 3 \cdot 0,30103 \approx 0,90309 \cr & \lg \left( 9 \right) = \lg \left( {3 \cdot 3} \right) = \lg \left( 3 \right) + \lg \left( 3 \right) = 2 \cdot \lg \left( 3 \right) \approx 2 \cdot 0,47712 \approx 0,95424 \cr} \)
2. Teilaufgabe
Man kann die Zahl 7 nicht in als Produkt oder Quotient aus den Zahlen 2, 3 und 10 darstellen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & \lg \left( 4 \right) \approx 0,60206 \cr & \lg \left( 5 \right) \approx 0,69897 \cr & \lg \left( 6 \right) \approx 0,77815 \cr & \lg \left( 8 \right) \approx 0,90309 \cr & \lg \left( 9 \right) \approx 0,95424 \cr} \)
2. Teilaufgabe
Man kann die Zahl 7 nicht in als Produkt oder Quotient aus den Zahlen 2,3 und 10 darstellen.