Aufgabe 262
Fasse zu einem einzigen Term zusammen
\(\eqalign{ & 2\lg \left( a \right) + 3\lg \left( b \right) = \cr & \lg \left( a \right) - 3\lg \left( b \right) + 2\lg \left( c \right) = \cr & \cr & \lg \left( {1 - a} \right) + \lg \left( {1 + a} \right) - 2 \cdot \lg \left( a \right) = \cr & \lg \left( {a + b} \right) - \lg \left( {a - b} \right) + 2 \cdot \lg \left( {10} \right) = \cr & \cr & 3 \cdot \left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - 2 \cdot \lg \left( c \right)} \right] = \cr & \frac{1}{2} \cdot \lg \left( a \right) + 4 \cdot \lg \left( b \right) = \cr} \)
Lösungsweg
Unter Verwendung der folgenden Rechenregeln für Logarithmen
\(\eqalign{ & {\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right) \cr & {\log _a}\left( {\frac{u}{v}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right) \cr} \)
können wir wie folgt anschreiben:
\(\eqalign{ & 2\lg \left( a \right) + 3\lg \left( b \right) = \lg \left( {{a^2}} \right) + \lg \left( {{b^3}} \right) = \lg \left( {{a^2} \cdot {b^3}} \right) \cr & \lg \left( a \right) - 3\lg \left( b \right) + 2\lg \left( c \right) = \lg \left( a \right) - \lg \left( {{b^3}} \right) + \lg \left( {{c^2}} \right) = \lg \left( {\dfrac{{a \cdot {c^2}}}{{{b^3}}}} \right) \cr & \cr & \lg \left( {1 - a} \right) + \lg \left( {1 + a} \right) - 2 \cdot \lg \left( a \right) = \lg \left( {\left[ {1 - a} \right] \cdot \left[ {1 + a} \right]} \right) - \lg \left( {{a^2}} \right) = \lg \left( {1 - {a^2}} \right) - \lg \left( {{a^2}} \right) = \lg \left( {\dfrac{{1 - {a^2}}}{{{a^2}}}} \right) \cr & \lg \left( {a + b} \right) - \lg \left( {a - b} \right) + 2 \cdot \lg \left( {10} \right) = \lg \left( {\dfrac{{a + b}}{{a - b}}} \right) + \lg \left( {{{10}^2}} \right) = \lg \left( {100 \cdot \dfrac{{a + b}}{{a - b}}} \right) \cr & \cr & 3 \cdot \left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - 2 \cdot \lg \left( c \right)} \right] = {\left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - \lg \left( {{c^2}} \right)} \right]^3} = \lg {\left( {\dfrac{{a \cdot b}}{{{c^2}}}} \right)^3} \cr & \dfrac{1}{2} \cdot \lg \left( a \right) + 4 \cdot \lg \left( b \right) = \lg \left( {{a^{\frac{1}{2}}}} \right) + \lg \left( {{b^4}} \right) = \lg \left( {\sqrt a } \right) + \lg \left( {{b^4}} \right) = \lg \left( {\sqrt a \cdot {b^4}} \right) \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & 2\lg \left( a \right) + 3\lg \left( b \right) = \lg \left( {{a^2} \cdot {b^3}} \right) \cr & \lg \left( a \right) - 3\lg \left( b \right) + 2\lg \left( c \right) = \lg \left( {\dfrac{{a \cdot {c^2}}}{{{b^3}}}} \right) \cr & \cr & \lg \left( {1 - a} \right) + \lg \left( {1 + a} \right) - 2 \cdot \lg \left( a \right) = \lg \left( {\dfrac{{1 - {a^2}}}{{{a^2}}}} \right) \cr & \lg \left( {a + b} \right) - \lg \left( {a - b} \right) + 2 \cdot \lg \left( {10} \right) = \lg \left( {100 \cdot \dfrac{{a + b}}{{a - b}}} \right) \cr & \cr & 3 \cdot \left[ {\lg \left( a \right) + \lg \left( b \right) - 2 \cdot \lg \left( c \right)} \right] = \lg {\left( {\dfrac{{a \cdot b}}{{{c^2}}}} \right)^3} \cr & \dfrac{1}{2} \cdot \lg \left( a \right) + 4 \cdot \lg \left( b \right) = \lg \left( {\sqrt a \cdot {b^4}} \right) \cr} \)